中国古代数学

第一篇：中国古代数学

引言

中国是四大文明古国之一，也是数学的发源地之一，由于地域、文化等特点，中国古代数学与欧洲数学存在着巨大的差别.这不仅表现在对理论与计算的偏重上，还表现在数学与社会关系的处理上.欧洲数学注重理论的逻辑推演和系统的建立.而与之相对，中国数学注重算法的研究和知识的现实可用性.这些特点使得中国数学在很长一段时间里成就位居世界之首.尤其是在古希腊数学衰落之后，中国数学取得了许多举世瞩目的成就.当西欧进入黑暗时代时，中国数学却在腾飞，许多成就比后来欧洲在文艺复兴和文艺复兴之后取得的同样成就早得多.这些成就的取得固然令我们感到骄傲，但到了十四世纪以后中国数学却开始走向了衰落.几百年来，中国人在数学这片领域上几乎找不到任何重大的发现与创新.这其中的原因不能不令我们深思.对历史进行研究能让我们看到中国古代数学由兴到衰的过程.对产生这种结果的诸多因数进行分析就能让我们深刻认识到衰落的真正原因，从而弃其糟粕，取其精华.中国古代数学究竟取得了那些重要成就？中国古代数学又是怎样走向衰落的？为弄清这些问题，首先让我们来回顾一下中国的数学发展史.2 中国古代数学发展简史

数学在中国的历史悠久绵长.在殷墟出土的甲骨文中有一些是记录数字的文字，包括从一至十，以及百、千、万，最大的数字为三万；司马迁的史记提到大禹治水使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，而且知道“勾三股四弦五”；《易经》中还包含有组合数学与二进制思想.2002年在湖南发掘的秦代古墓中，考古人员发现了距今大约2200多年的九九乘法表，与现代小学生使用的乘法口诀“小九九”十分相似.算筹是中国古代的计算工具，它在春秋时期已经很普遍；使用算筹进行计算称为筹算.中国古代数学的最大特点是建立在筹算基础之上，这与西方及阿拉伯数学是明显不同的.但是，真正意义上的中国古代数学体系形成于自西汉至南北朝的三、四百年期间.《算数书》成书于西汉初年，是传世的中国最早的数学专著，它是1984年由考古学家在湖北江陵张家山出土的汉代竹简中发现的.《周髀算经》编纂于西汉末年，它虽然是一本关于“盖天说”的天文学著作，但是包括两项数学成就——（1）勾股定理的特例或普遍形式（“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日.”——这是中国最早关于勾股定理的书面记载）；（2）测太阳高或远的“陈子测日法”.《九章算术》在中国古代数学发展过程中占有非常重要的地位.它经过许多人整理而成，大约成书于东汉时期.全书共收集了246个数学问题并且提供其解法，主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等.在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同.注重实际应用是《九章算术》的一个显著特点.该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲.《九章算术》标志以筹算为基础的中国古代数学体系的正式形成.中国古代数学在三国及两晋时期侧重于理论研究，其中以赵爽与刘徽为主要代表人物.赵爽是三国时期吴人，在中国历史上他是最早对数学定理和公式进行证明的数学家之一，其学术成就体现于对《周髀算经》的阐释.在《勾股圆方图注》中，他还用几何方法证明了勾股定理，其实这已经体现“割补原理”的方法.用几何方法求解二次方程也是赵爽对中国古代数学的一大贡献.三国时期魏人刘徽则注释了《九章算术》，其著作

《九章算术注》不仅对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，并且多有创造.其发明的“割圆术”（圆内接正多边形面积无限逼近圆面积），为圆周率的计算奠定了基础，同时刘徽还算出圆周率的近似值——“3927/1250（3.1416）”.他设计的“牟合方盖”的几何模型为后人寻求球体积公式打下重要基础.在研究多面体体积过程中，刘徽运用极限方法证明了“阳马术”.另外，《海岛算经》也是刘徽编撰的一部数学论著.南北朝是中国古代数学的蓬勃发展时期，计有《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等算学著作问世.祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性.他们着重进行数学思维和数学推理，在前人刘徽《九章算术注》的基础上前进了一步.根据史料记载，其著作《缀术》（已失传）取得如下成就：①圆周率精确到小数点后 14世纪中、后叶明王朝建立以后，统治者奉行以八股文为特征的科举制度，在国家科举考试中大幅度消减数学内容，于是自此中国古代数学便开始呈现全面衰退之势，到了近代已远远落后于西方国家的数学水平.在中国古代数学几千年的发展历程中，我们不难看出中国古代数学思想与西方数学思想的诸多不同点，也就是其独具特色的一面.接下来让我们来分析一下中国古代数学的思想特点.3 中国古代数学思想特点（1）.（实用性）《九章算术》收集的每个问题都是与生产实践有联系的应用题，以解决问题为目的.从《九章算术》开始，中国古典数学著作的内容，几乎都与当时社会生活的实际需要有着密切的联系.这不仅表现在中国的算学经典基本上都遵从问题集解的体例编纂而成，而且它所涉及的内容反映了当时社会政治、经济、军事、文化等方面的某些实际情况和需要，以致史学家们常常把古代数学典籍作为研究中国古代社会经济生活、典章制度（特别是度量衡制度），以及工程技术（例如土木建筑、地图测绘）等方面的珍贵史料.而明代中期以后兴起的珠算著作，所论则更是直接应用于商业等方面的计算技术.中国古代数学典籍具有浓厚的应用数学色彩，在中国古代数学发展的漫长历史中，应用始终是数学的主题，而且中国古代数学的应用领域十分广泛，著名的十大算经清楚地表明了这一点，同时也表明“实用性”又是中国古代数学合理性的衡量标准.这与古代希腊数学追求纯粹“理性”形成强烈的对照.其实，中国古代数学一开始就同天文历法结下了不解之缘.中算史上许多具有世界意义的杰出成就就是来自历法推算的.例如，举世闻名的“大衍求一术”（一次同余式组解法）产于历法上元积年的推算，由于推算日、月、五星行度的需要中算家创立了“招差术”（高次内插法）；而由于调整历法数据的要求，历算家发展了分数近似法.所以，实用性是中国传统数学的特点之一.（2）.（算法程序化）中国传统数学的实用性，决定了他以解决实际问题和提高计算技术为其主要目标.不管是解决问题的方式还是具体的算法，中国数学都具有程序性的特点.中国古代的计算工具是算筹，筹算是以算筹为计算工具来记数，列式和进行各种演算的方法.有人曾经将中国传统数学与今天的计算技术对比，认为算筹相应于电子计算机可以看作“硬件”，那么中国古代的“算术”可以比做电子计算机计算的程序设计，是一种软件的思想.这种看法是很有道理的.中国的筹算不用运算符号，无须保留运算的中间过程，只要求通过筹式的逐步变换而最终获得问题的解答.因此，中国古代数学著作中的“术”，都是用一套一套的“程序语言”所描写的程序化算法.各种不同的筹法都有其基本的变换法则和固定的演算程序.中算家善于运用演算的对称性、循环性等特点，将演算程序设计得十分简捷而巧妙.如果说古希腊的数学家以发现数学的定理为目标，那么中算家则以创造精致的算法为已任.这种设计等式、算法之风气在中算史上长盛不衰，清代李锐所设计的“调日法术”和“求强弱术”等都可以说是我国古代传统的遗风.古代数学大体可以分为两种不同的类型：一种是长于逻辑推理，一种是发展计算方法.这也大致代表了西方数学和东方数学的不同特色.虽然以算为主的某些特点也为东方的古代印度数学和中世纪的阿拉伯数学所具有，但是，中国传统数学在这方面更具有典型性.中算对于算具的依赖性和形成一整套程序化的特点尤为突出.例如，印度和阿拉伯在历史上虽然也使用过土盘等算具，但都是辅助性的，主要还是使用笔算，与中国长期使用的算筹和珠算的情形大不相同，自然也没有形成像中国这样一贯的与“硬件”相对应的整套“软件”.（3）.（模型化）“数学模型”是针对或参照某种事物系统的特征或数量关系，采用形式话数学语言，概括的近似地表达出来的一种数学结构.古代的数学模型当然没有这样严格，但如果不要求“形式化的数学语言”，对“数学结构”也作简单化的解释，则仍

然可以应用这个定义.按此定义，数学模型与现实世界的事物有着不可分割的关系，与之有关的现实事物叫做现实原形，是为解释原型的问题才建立应用数学模型的.《九章算术》中大多数问题都具有一般性解法，是一类问题的模型，同类问题可以按同种方法解出.其实，以问题为中心、以算法为基础，主要依靠归纳思维建立数学模型，强调基本法则及其推广，是中国传统数学思想的精髓之一.中国传统数学的实用性，要求数学研究的结果能对各种实际问题进行分类，对每类问题给出统一的解法；以归纳为主的思维方式和以问题为中心的研究方式，倾向于建立基本问题的结构与解题模式，一般问题则被化归、分解为基本问题解决.由于中国传统数学未能建立起一套抽象的数学符号系统，对一般原理、法则的叙述一方面是借助文辞，一方面是通过具体问题的解题过程加以演示，使具体问题成为相应的数学模型.这种模型虽然和现代的数学模型有一定的区别，但二者在本质上是一样的.（4）.（寓理于算）由于中国传统数学注重解决实际问题，而且因中国人综合、归纳思维的决定，所以中国传统数学不关心数学理论的形式化，但这并不意味中国传统仅停留在经验层次上而无理论建树.其实中国数学的算法中蕴涵着建立这些算法的理论基础，中国数学家习惯把数学概念与方法建立在少数几个不证自明、形象直观的数学原理之上，如代数中的“率”的理论，平面几何中的“出入相补”原理，立体几何中的“阳马术”、曲面体理论中的“截面原理”（或称刘祖原理，即卡瓦列利原理）等等.中国古代数学的特点虽然在一定的程度上促进了其自身的发展，但正是因为这其中的某些特点，中国古代数学走向了低谷.4 中国古代数学由兴转衰的原因分析（1）．独尊儒术，蔑视逻辑.汉武帝时，“罢黜百家，独尊儒术”使得当时注重形式逻辑的墨子思想未能得到继承和发展.儒家思想讲究简约，而忽视了逻辑思维的过程.这一点从中国古代的典籍中能找到最准确的说明.《周髀算经》中虽然给出了勾股定理，但却没给出证明.《九章算术》同样只在给出题目的同时，给出一个结果和计算的程式，对其中的逻辑思维却没有去说明.中国古代数学这种只注重计算形式（即古代数学家所谓的“术”）与过程，不注重逻辑思维的做法，在很长一段时间里禁锢了中国古代数学发展.这种情况的出现当然也有其原因，中国古代传统数学主要是在算筹的基础上发展起来的，后来发展到以算盘为工具的计算时代，但是这些工具的使用在另一方面为中国人提供了一种程式化的求解方法，从而忽视了其中的逻辑思维过程.此外，中国传统数学讲究“寓理于算”.即使高度发达的宋元数学也是如此.数学书是由一系列的数学问题组成的.你也可以称它们为“习题解集”.数学理论以‘术”的形式出现.早期的“术”只有一个过程，后人就纷纷为它们作注，而这些注释也很简约.实际上就是举例“说明”，至于说明了什么，条件变一下怎么办，就要读者自已去总结了，从来不会给你一套系统的理论.这是一种相对原始的做法.但随着数学的发展，这种做法的局限性就表现出来了，它极不利于知识的总结.如果只有很少一点数学知识，那么，问题还不严重，但随着数学知识的增长，每个知识点都用一个题目来包装，而不把它们总结出来就难以从整体上去把握这些知识.这无论对学习数学还是研究，发展数学都是不利的.（2）． 崇尚玄学，迷信数术，歪曲数学思想.魏晋时期，儒学虽然受到一定的冲击，但其统治地位并未受到动摇.老庄学说和儒家学说相反相成便形成了玄学.玄学原本探究的是有关人生的哲学，但后来与数学混在了一起.古人曾就常常以玄术来解释数学问题，使得数学概念和方法遭到歪曲.张衡是我国著名科学家.当时他虽然已经知道圆周率“周一径三”不准确，但由于他始终相信“周一径三”来源于“参天两地”的说法，一直没深入探究，因而未能将圆周率推算到更精确的地步，这不能不说是一大遗憾.当玄术和数术充塞数学时，数学已经明显存有落后的隐患.（3）． 故步自封，墨守成规，拒绝数学符号.中国古代数学是以汉语描述的，历来不重视汉字以外的数学符号，给逻辑思维带来很大的困难，使我国长期不能形成演绎推理的传统，严重影响了我国数学的发展.从明朝开始，中国就走上了闭关锁国的道路.这种行为与小农思想相适应，早在秦代就已经出现端倪，建一条长城将自己围起来，对外面的东西不闻不问.相比之下，西方在度过了中世纪的黑暗时期后，进入了文艺复兴时期.欧洲的扩张、航海技术开阔了西方人的眼界，同时也大大推动了数学的发展.在18世纪的改革和动荡中，新出现的资产阶级推翻了英、法的君主政治.封建的政治、社会和经济思想被经典的自由主义哲学所取代，这种哲学促进了19世纪的工业革命.社会生产力的提高成了西方数学发展的源源不断的动力.最终，近代的数学在西方被建立起来，而曾是数学大国之一的中国，在其中却无所作为.（4）.此外，中国长期处于封建社会，迟迟未能进入资本主义阶段，也是导致中国古代数学发展停顿的直接原因.从整体上看，数学是与所处的社会生产力相适应的.中国社会长期处于封闭的小农经济环境，生产力低下，不仅没有工业，商业也不发达.整个社会对数学没有太高的要求，自然研究数学的人也就少了.恩格斯说，天文学和力学是推动数学发展的动力，而在当时的中国这种动力已趋近枯竭.5 我从中国古代数学的研究中得到的几点启示：

通过对中国古代数学史及数学思想史的研究，我们看到了中国古代数学由兴到衰的历史过程，并分析了其由兴到衰的历史原因.由此，针对中国古代数学发展的特殊历史背景，我对今后数学发展方向作出了以下意见：

（1）.继承并创新中国古代传统数学思想的精华.数学应服务于生产实践，这是一个不争的事实.虽然很多理论都是在贯之以“纯数学”，但是，我们应该相信，这些理论只是数学上的一个过渡，它的引入是为了解决其他的问题而展开的.现代数学教育中经常会引入一些现实中的模型，让学生用数学方法加以解决，这就是很好的做法.一方面它让学生认识到了数学源于生活，服务于生活的理念；令一方面它有效得锻炼了学生数学建模的思想，并从真正意义上让学生学懂学活了.很多人怀疑中国古代数学知识已经过时，就在一些数学思想也与现代格格不入.其实这是不正确的.近年来，我国著名数学家吴文俊同志从中国古代数学擅长于算，习惯将算法程序化这一做法中得到了启示，从而研究开辟了机器证明数学命题的新领域.这就是很好的例子，它说明中国古代数学思想并没有过时，要想走出创新和成就的瓶颈，我们就必须认真研究中国古代数学的历史和世界数学的现状，并有效得将二者进行结合.（2）.数学研究应沿着注重逻辑思维的过程以及理论体系的建立这一路线发展，虽然当今数学发展已经相当完备，但仍有大量的问题有待我们去努力解决.就比如：如何将数学的各个分支用一中简约的数学思想统一起来？这个难题有许许多多的数学工作者在为之奋斗，并取得了一的成绩，群论的建立就是其中优秀的范例.难以想像，如果对数学的理论体系没有一定的了解，并且不注重逻辑思维的过程，而又试图解决这一问题是多么困难的事.（3）.数学研究要以一种科学的态度去对待.就比如马克思主义辩证思想，只要我们的数学研究秉承着这样一种思想，就不会走太多的弯路，更不会走上歧途.中国古代数学是与玄术并行发展的，这难免阻碍了数学的发展.而由于中国文化的特点，这种思想依然对一大批数学工作着有着较深的影响.我们的数学要发展和创新就不能不摒弃一切有碍数学发展的因素.（4）.我们的每个理论研究者都应密切关注国内国外的学术动态，吸收一切有用的、正确的、外来的文化与知识，而不能做一个闭门造车的数学工作者.数学发展至今，很多

分支都已经发展地相当完备了，一个研究者倘若对世界数学在本领域的现状缺乏了解的情况下开展研究工作，必定会走弯路.多元化的信息时代为我们提供了便捷的世界文化知识交流渠道.网络就是很好的例子，我们可以充分地加以应用，从而共同推动数学的发展.（5）.建立健全的国家发展体制.只有在一种迫切的发展动力下，才能激发人的潜力，从而创造出成绩.当代中国经济发展迅猛，生产力不断发展壮大.这种状况对我们的每个数学工作者提供了良好的契机，只要我们的数学工作者将目光更多地投入到生产实践中去，让科学服务于生产实践，就能有所成就，有所创新.6 结束语

中国传统数学思想具有显著的民族性特征.我国传统数学是沿着注重从实践经验中产生和发展数学的思维方式发展数学的，擅长于算，运算主要以算筹作为工具.但同时却又在逻辑思维上存有欠缺.这与西方许多国家发展数学的道路是不同的.中国传统数学思想有着自已的渊源和模式，有其长，也有其短.在初等数学领域之内，正是这种传统数学思想把我国数学推向世界的最高峰.许多国家与我国相比，望尘莫及.好的传统我们应当学会继承和发展.我们应当好好研究中国古代数学的独特之处，并将其加以应用，以指导当代的数学研究工作.对于落后不利于数学发展的思想我们又要学会放弃，就比如中国古代数学曾一度故步自封，这是极其不利于其自身发展的做法.我们要从中吸取教训，努力加强中西文化交流，尽可能多得吸取西方数学的精华与长处.这样我们的数学才能在真正意义上走想成熟.继承和发展中国传统数学思想，“纯粹的”民族传统是不行的，要面向世界，面向现代化.我们应该恰当调节数学和环境的关系，为数学提供源源不断的动力机制.并建立一套完善的理论体系，把应用广泛地拓展开来.另一方面我们要提高数学抽象结构，加强其内在联系，注重分析，全面把握，只有这样才是真正意义上认识了我国古代数学思想中体现出来的优与劣，我们的数学也才能拥有一片光明的前景.致谢:本论文的顺利完成主要得益于张正才教授和李圣国老师的辛勤指导和帮助.在此表示感谢！

参考文献

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第二篇：中国古代数学专著

让更多的孩子得到更好的教育

中国古代数学专著——《九章算术》

《九章算术》是中国古代数学专著，承先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经许多学者的删补才最后成书，这大约是公元一世纪的下半叶。它的出现，标志着中国古代数学体系的形成。

后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。

《九章算术》共收有 246个数学问题，分为九章。分别是：方田、栗米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。

《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。

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第三篇：中国古代数学的成就

中国古代数学的成就

中国是世界文明古国之一。数学是中国古代科学中一门重要学科，其发展源远流长，成就辉煌，其中包括圆周率、割圆术、十进位制计数法、算经十书、勾股定理、杨辉三角和剁积术、珠算等。我想就着这几项谈谈我国古代数学的成就。

一：圆周率。古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。十九世纪前，圆周率的计算进展相当缓慢。中国古算书《周髀算经》中有“径一而周三”的记载，认为圆周率是常数。

我国数学家刘徽在注释《九章算术》时只用圆内接正多边形就求得π的近似值，也得出精确到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术。他用割圆术一直算到圆内接正192边形，得出π≈根号10。

汉朝时，张衡得出π的平方除以16等于5/8，即π等于10的开方。虽然这个值不太准确，但它简单易理解，所以也在亚洲风行了一阵。王蕃发现了另一个圆周率值，这就是3.156，但没有人知道他是如何求出来的

南北朝时代著名数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7。他的辉煌成就比欧洲至少早了1000年。其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲不知道是祖冲之先知道密率的，将密率错误的称之为安托尼斯率。

二、割圆术。3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周长的方法。中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。三、十进位制计数法。十进位制记数法在我国原始社会就已经形成，完成于奴隶社会初期的商代，到商代已发展为完整的十进制系统，并且有了“十”、“百”、“千”、“万”等专用的大数名称。1899年从河南安阳发掘出来的象形文字，是大约3000多年前的殷代甲骨文。其中载有许多数字记录，最大的数目字是3万。如有一片甲骨上刻着“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人。”(八日辛亥那天的战争中，消灭了敌方2656人)。这段文字说明我国在公元前1600年，已经采用了十进位值制记数法。这种记数法中，没有形成零的概念和零号，但由于引入了几个表示数位的特殊的数字如

十、百、千、万等．能确切地表示出任何自然数，因而也是相当成功的十进位值制记数法，历代稍有变革，但基本框架则一直延用至今。

四、《算经十书》。《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，他们曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书。十部书的名称是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《辑古算经》、《缀术》。其中阐明“盖天说”的《周髀算经》，被人们认为是流传下来的中国最古老的既谈天体又谈数学的天文历著作。其中提到大禹治水时所应用的数学知识，成为现存文献中提到最早使用勾股定理的例子。

五、勾股定理。勾股定理勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“。（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”。他们发现勾股定理的时间都比我国晚，我国是最早发现这一几何宝藏的国家。

六、杨辉三角和剁积术。扬辉对筹算乘除捷算法进行了总结和发展，创“纵横图”之名．继沈括“隙积术”之后，关于高阶等差级数的研究创“垛积术”。

七、珠算。珠算是以算盘为工具进行数字计算的一种方法。“珠算”一词﹐最早见于汉代徐岳撰的《数术记遗》，其中有云:“珠算﹐控带四时﹐经纬三才。”北周甄鸾为此作注﹐大意是﹕把木板刻为三部分﹐上下两部分是停游珠用的﹐中间一部分是作定位用的。每位各有五颗珠﹐上面一颗珠与下面四颗珠用颜色来区别。上面一珠当五﹐下面四颗﹐每珠当一。可见当时“珠算”与现今通行的珠算有所不同。中国珠算﹐从明代以来﹐极为盛行﹐先后传到日本﹑朝鲜﹑东南亚各国﹐近年在美洲也渐流行。由于算盘不但是一种极简便的计算工具﹐而且具有独特的教育职能﹐所以到现在仍盛行不衰。

中国古代数学凭借这些辉煌成就在16世纪左右都处于领先地位，是名副其实的数学强国。这些数学成就对中华民族以及世界文明都做出了重大的贡献，是值得炎黄子孙珍视的骄傲。希望中国的当代数学家们能够继承古代数学家的精神，树立促进中国数学发展的长远目标，不懈努力，争取使中国在世界上早日成为数学大国。

第四篇：数学史论文‘’论中国古代数学的特点‘’

论中国古代数学的特点

摘要：世界上各种文化都会深深的打上地理环境的烙印，数学也不例外。数学的产生和发展是通过数学家个人来实现的, 因此数学的发展就不能不受到不同地域、不同哲学思想等方面的影响, 形成具有民族或时代特点的数学。中国古代数学与西方数学都是世界数学史上两颗璀璨的明珠，都有着各自的特点，但是毋庸置疑都为世界数学的发展做出了突出贡献，促进了数学的发展。

关键词：中国古代数学、实用性、西方数学、共同发展

数学，作为人类文明的重要组成部门，有着非常悠久的历史，与其他文化一样，数学科学也是几千年来人类智慧的结晶。从远古时期的结绳记事、屈指计数到借助于现代点电子计算机进行计算、证明与科学管理，从利用规矩等工具进行的勾股测量等具体操作到抽象的公理化体系的产生„„

中国是一个有着悠久历史和灿烂文化的文明古国, 数学是中国古代最为发达的学科之一，据出土的文物考证, 在中国数概念的形成不晚于7000 年前, 数概念的产生标志着中国数学的起源。此后, 在古代中国智慧的结晶——十进制记数法的推动下, 中国数学经历了三次发展高潮: 分别是两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期, 其中宋元时期达到了中国传统数学的顶峰,诞生了刘徽、贾宪、沈括、祖冲之父子等数学家。在秦汉时期也出现了《周髀算经》、《九章算术》、《数书九章》、《缉古算经》和《五经算术》等数学著作, 其中《九章算术》代表中国传统数学的最高成就, 它的完成标志着中国数学体系的建立。以《九章算术》为代表的中国传统数学具有以下两个特点:

1、以计算为中心。

演算在中国传统数学里占有重要的地位, 几乎每一部中国古代数学著作都是以“问题—解答”的形式存在。以计算为主的中国传统数学, 还导致了算筹和算盘等计算工具的发明。但中国传统数学把计算发展到淋漓尽致的地步, 不仅有精妙的迭代和高超的技巧, 还从中归纳出分数四则运算理论、比例计算理论、正负数运算理论、方程理论、勾股理论、割圆术、体积理论、同余理论等举世公认的成就。另外, 它的计算方法往往从一整类问题中概括出来, 具有一般性, 对现在的数学机器证明具有参考价值。、社会性

以帝王君主为主的政治体制对中国传统数学的影响。首先，中国是一个相对来说比较安定的国家，各地文化差异不大，没有刺激文化发展的因素；其次，中国是一个专制型非常强的国家，哪怕有着“百家争鸣”的景象但是也没维持多久，而且在这样的严苛制度下，人民的思想相对钝化，没有学术意识，只能听从帝王的话，这也是影响中国古代数学的一大原因；最后，在古代大多数文化人便是朝中的官员，在这种制度下，他们有着绝对的权威，下面的人也只能言听计从，这也导致了中国古代数学的形式较为单一。

3、实用性强。

首先，中国文明史大河背景下的农耕文明，农业经济成为发展的关键，农业的发展离不开统筹和规划，学术要为这些现实服务，于是造就了中国传统数学的实用性；其次，儒家思想在中国古代有着领导性的地位，它重视实用, 追求功利性。如中国古代数学家在著书立说时, 或多或少都会谈到数学的实用价值。社会实践成了衡量数学好坏的标准, 如果数学适合生活需要, 能够解决实际问题就是好数学, 会得到发展,否则得不到重视甚至被抛弃。这种思想几千年来一直以来都影响着中国古代的数学家。这也导致了中国古代数学具有浓厚的实用性。

如春秋时期齐国的官书《考工记》，它展现的就是当时手工生产设计的规范、制作工艺等问题，其中就涉及到了众多数学知识，但是该书的目的是为了使群众更好更熟练的运用其技能，制作出精良的工艺品，还有现在人们日产生活中所不可或缺的十进位值制、干支纪日法、天文历法等等。这些无一不体现了中国古代数学的实用性。

而西方数学诞生了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯等数学巨匠, 也出现了《几何原本》、《圆的度量》、《论球和圆柱》、《圆锥曲线论》和《数学汇编》等对后来影响深远的数学著作,在西方人的世界里数学是是纯粹的、抽象的、在逻辑上互相联系的, 并且它们之间的内在联系被揭示出来之后才有价值。亚里士多德崇尚推理和证明, 并把数学推理规律规范化和系统化, 创立了独立的逻辑学, 其中的基本逻辑原理矛盾律和排中律成为数学中间接证明的核心。这些哲学思想使西方传统数学走上了理性的道路；另外, 西方的数学家大多是一些哲学家和学者, 他们研究数学是为了追求真理或探索自然, 基本上不会考虑数学的应用性, 因此西方传统数学基本上都是纯数学, 抽象度高、应用性低。

从上面分析可以看出中国传统数学以算法为中心、以解决社会实际问题为目的, 优点是实践性强, 缺点是缺乏概念的科学建设和命题的逻辑证明;西方传统数学以逻辑证明为重点, 强调演绎推理, 但脱离了社会实践。分析从前、感受现在，我们也能发现，任何一种单一的数学模式都不是现今人类数学的唯一发展模式。中国古代数学和西方数学作为世界数学史上两颗璀璨的明珠，都有着各自的特点，但是毋庸置疑都为世界数学的发展做出了突出贡献，促进了数学的发展。

数学是一门博大精深的科学，生活中处处都有数学思想的体现，将数学应用于生活，能为我们解决很多问题。只有深刻了解数学的历史，才能学好数学，将数学知识转化从而运用到生活中。中国古代数学和西方数学的历史尤为重要。通过两种数学历史的对比，我们对数学有了更深的了解，对数学的热情度也大大提升！参考文献：

1、朱家生.数学史.高等教育出版社.2011.5

2、李文林.数学史概论.高等教育出版社.2002.1

3、克莱因.古今数学思想.上海科技出版社.1979.1

4、王玉启.数学思想史.吉林大学出版社.1990.5、中国知网

6、百度百科

第五篇：《中国古代数学中的算法案例》教案

《中国古代数学中的算法案例》教案

一、教案背景

1，面向学生：高中

2，学科：数学

3，课时：1 4，学生课前准备：通过阅读课本找出中国古代数学中的算法案例，结合案例，了解一下中国古代主要的数学家和数学著作。

二、教学课题 １． 知识与技能目标：

（１）了解中国古代数学中求两个正整数最大公约数的算法以及割圆术的算法；

（２）通过对“更相减损之术”及“割圆术”的学习，更好的理解将要解决的问题“算法化”的思维方法，并注意理解推导“割圆术”的操作步骤。２． 过程与方法目标：

（１）改变解决问题的思路，要将抽象的数学思维转变为具体的步骤化的思维方法，提高逻辑思维能力；（２）学会借助实例分析，探究数学问题。３． 情感与价值目标：

（１）通过学生的主动参与，师生，生生的合作交流，提高学生兴趣，激发其求知欲，培养探索精神；（２）体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀。

三、教材分析

本节为为高中数学人教B版必修三中第一章第三节课，本节课的重点是理解书中介绍的中国古代的三个问题的算法，难点是为算法编写程序。

求最大公约数的更相减损之术

教材对这个算法编好了程序，可让学生通过执行程序来学习体会此算法，注意让学生自主解释此算法的有穷性。欧几里得的辗转相除法也是求最大公约数的有效算法，在实际问题中和抽象代数理论上都有重要应用，它的程序可参看本小节中的探索与研究，可鼓励学生自主编写程序。

割圆术

可以启发学生自己编写算法，和Scilab程序，试验证明，学生对此非常感兴趣 秦九韶算法

一方面，这个算法是目前仍在广泛使用（很多文献中称之为霍纳法）；另一方面，秦九韶算法给我们提供了一个比较算法优劣的机会，一般地说，在中学生的程度上比较分析算法的优劣不是容易的事，所以要利用这个机会让学生对算法的优劣性有所体会。

四、教学方法

通过典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解决问题的过程整理成程序框图。

五、教学过程

说明如何导入该课程，主要教学点的设计，知识拓展等。

1、课前任务：

请同学们自己查一些资料或者上网搜索一些中国古代的数学家以及其主要成就： 【百度知道】中国古代数学家

（提前认识一下中国古代的数学成就，激励同学们需要继续努力）

2、课上探讨：

同学们是否知道，我们在小学、初中学到的算术、代数，从记数到多元一次联立方程组以及方程的求根方法，都是我国古代数学家最先创造的，有的比其他国家早几百年甚至上千年，我们人民在长期的生活、生产和劳动过程中，创造了整数、分数、小数、正负数及其计算，以及无限逼近任意实数的方法，在代数学、几何学方面，我国在宋、元之前也都处于世界前列，更为重要的是我国古代数学的发展有着自己鲜明的特色，走着与西方完全不同的道路，在今天看来这条道路仍然有很大的优越性。这条道路的一个重要特色就是“寓理于算”，也就是本节中所讲的要把解决问题“算法化”。下面我们举一些我国古代数学中算法的例子，让同学们更进一步体会“算法”的概念，看一看中国古代数学家的伟大成就和显著特色。

下面就中国古代的数学成就，结合算法的知识，主要了解一下下面三个方面的内容：求两个正整数最大公约数的算法、割圆术和秦九韶算法。

一、求两个正整数最大公约数的算法：更相减损之术

我们知道，如果整数a能被整数b整除，则b称为a的一个约数，一个整数可能有好几个约数。例如，12能被1,2,3,4,6,12整除，这6个数都是12的约数。16的有1,2,4,8,16这5个约数。我们看到2和4，既是12的约数，又是16的约数，2和4叫做12和16的公约数，公约数2和4中，4最大，4称作12和16的最大公约数。如何找到一种算法，对任意两个正整数都能求出它们的最大公约数呢？下面给出我国古代数学家的一个算法，这个算法被称做“更相减损之术”。

【百度百科】更相减损之术

http://baike.baidu.com/view/1431259.htm（了解更相减损之术的出处，开拓知识容量）

我们以求16,12这两个数的最大公约数为例加以说明。用两个数中较大的数减去较小的数，即16-12=4，用差数4和最小的数12构成新的一对数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，知道产生一对相等的数，这个数就是最大公约数。整个操作如下： 4是12和16的最大公约数。

这种算法的道理何在？不难看出，对任意两个数，每次操作后所得的两个数与前两数具有相同的最大公约数，而两数的值逐渐减少，经过有限步地操作后，总能得到相等的两个数，即求得两数的最大公约数。例1：求78和36的最大公约数。解：

这种算法，只做简单的减法，操作方便、易懂，也完全符合算法的要求，它完全是机械的运算，据此很容易编出程序，在计算机上运算，把这个算法与我们下面探索与研究中介绍的欧几里德算法比较，看看这个算法的优越性。下面是我们用Scilab编出的程序，供大家参考。实际上，你可用你在信息技术课上学到的任一种程序设计语言编出程序，从中体会一下这个算法的优越性。为了方便叙述，我们称这种算法为“等值算法” 用等值算法求最大公约数的程序： a=input(“please give the first number”);b=input(“please give the second number”);while a<>b

if a>b

a=a-b

else

b=b-a

end end print(%io2(2),a,b)

把这个程序保存成文件，可随时调入Scilab界面运行，求任意两个正整数的最大公约数。课后任务：

【百度百科】九章算术

【百度百科】刘徽

【百度百科】辗转相除法

（增加知识容量）

二、割圆术

我国魏晋时期的数学家刘徽，他在注《九章算术》中采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率，用刘徽自己的原话就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”他的思想后来又得到祖冲之的推进和发展，计算出圆周率的近似值在世界上很长时间里处于领先地位。

刘徽从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步地逼近圆面积，最后求出圆周率的近似值。可以想象在当时需要付出多么艰辛的劳动，现在让我们用刘徽的思想，使用计算机求圆周率的近似值，计算机最大的特点是运算速度快，只要我们将运算规律告诉计算机，计算机会迅速得到所求的答案。

我们先对单位圆内接正六边形、正十二边形、正二十四边形„„的面积之间的关系进行分析，找出它们之间的递增规律。

【百度图片】刘徽割圆的弧田图

如上图所示，假设圆的半径为1，面积为S，圆内接正n边形面积为，边长为，边心距为，根据勾股定理。

正2n边形的面积为正n边形的面积 再加上n个等腰三角形的面积和，即 ①

正2n边形的边长为。

刘徽割圆术还注意到，如果在内接n边形的每一边上，做一高为CD的矩形，就可得到

这样我们就不仅可计算出圆周率的不足近似值，还可计算出圆周率的过剩近似值。

正六边形的面积开始计算，即n=6，则正六边形的面积。用上面的公式①重复计算，就可得到正十二边形、正二十四边形„„的面积。因为圆的半径为1，所以随着n的增大，的值不断趋近于圆周率，这样不断计算下去，就可以得到越来越精密的圆周率近似值。下面我们根据刘徽割圆术的算法思想，用Scilsb语言写出求 的不足近似值程序： n=6 x=1 s=6*sqrt(3)/4 for i=1:1:5

h=sqrt(1-(x/2)^2)

s=s+n*x*(1-h)/2

n=2*n

x=sqrt((x/2)^2+(1-h)^2)end print(%io(2),n,s)

运行程序，当边数为192时，就可以得到刘徽求的的圆周率的近似值3.14，当边数为24576时，就得到了祖冲之计算的结果3.1415926.由于是用圆内接正多边形逼近圆，因而得到的圆周率总是小于 的实际值。作为练习，请同学们编出程序求 作为 的过剩近似值。课后任务

【百度文库】祖冲之和圆周率 http://wenku.baidu.com/view/f5e8cfc789eb172ded63b7c7.html

三、秦九韶算法

【百度百科】秦九韶http://baike.baidu.com/view/18635.htm

已知一个一元n次多项式函数，当，我们可按顺序一项一项地计算，然后相加，求得。下面看看我们宋代（约13世纪）大数学家秦九韶是如何计算多项式函数值的。

让我们以5次多项式函数为例加以说明。设

首先，我们把这个多项式一步一步的进行改写：

上面的分层计算，只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由内向外逐层计算，知道最外层的一个括号，然后加上常数项。

这种算法与直接算法比较，有什么有什么优越性呢？首先，这种算法一共做了5次乘法，5次加法，与直接计算相比较大大节省了乘法的次数，是计算量减少，并且逻辑结构简单。

对任意一元n次多项式，类似的叙述如下：

上面的方法，现在大家称它为秦九韶方法。直到今天，这种算法仍是世界上多项式求值的最先进的算法。

这种方法的计算量仅为：乘法n次，加法n次。我们看看其他算法的计算量。

用直接求和法，直接计算多项式 各项的值，然后把他们相加。可知乘法的次数为，加法次数为n。

逐项求和在直接求和法的基础上做了改进，先把多项式写成 的形式，这样多项式的每一含x的幂的项都是 与 的乘积（k=1,2,3，„„，n），在计算

项时把 的值保存在变量c中，求 项时只须计算，同时把 的值存入c中，继续下一项的运算，然后把这n+1项的值相加。

容易看出逐项求和法所用乘法的次数为2n-1，加法次数为n，当 时，通过上面的比较，我们可看到秦九韶算法比其他算法优越得多。

3、课堂小结：

本节主要学习了中国古代的三个算法问题：更相减损之术求两个正整数的最大公约数、割圆术求圆周率和秦九韶求一元n次多项式的值，重点在于这三种方法的应用，难点就是如何去编制算法语言，主要以了解为主。

4、当堂练习：

⑴.下面各组关于最大公约数的说法中不正确的是（C）

A.80与36的最大公约数是4

B.294与84的最大公约数是42 C.85与357的最大公约数是34

D.228与741的最大公约数是57 ⑵.我国数学家刘徽采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的计算方法来求圆周率，其算法的特点为（C）A.运算速率快

B.能计算出 的精确值

C.“内外夹逼”

D.无限次地分割 ⑶.用秦九韶算法求多项式 的值时，应把 变形为（D）A.B.C.D.⑷.用更相减损之术求81与135的最大公约数时，要进行

次减法运算。

5、课后作业

⑴.145与232的最大公约数是（）A.145

B.19

C.29

D.32 ⑵.用秦九韶算法计算多项式 在 时的值时，的值为（）A.-845

B.220

C.-57

D.34 ⑶.用圆内接正多边形逼近圆，因而得到的圆周率总是（）的实际值 A.大于等于

B.小于等于

C.等于

D.小于

⑷.已知一个5次多项式，用秦九韶算法求当 时，多项式的值，可把多项式写成如下的形式

。⑸求两个数51与85的最大公约数及最小公倍数。

⑹（创新应用）

《孙子算经》有这样一道题目：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”你能设计一个程序解决这个问题吗？

六、教学反思

算法是中国古代数学的优良传统.《九章算术》及其刘徽开创了中国传统数学构造性和机械化的算法模式.中国传统数学以算为主、以术为法的算法体系,同古希腊以《几何原本》为代表的逻辑演绎和公理化体系异其旨趣,在数学历史发展的进程中争雄媲美,交相辉映.吴文俊先生提出,数学机械化思想贯穿于中国传统数学,数学机械化思想是我国古代数学的精髓.他分析了中国传统数学的光辉成就在数学科学进步历程中的地位和作用.明确指出,源于西方的公理化思想和源于中国的机械化思想,对于数学的发展都发挥了巨大作用,理应兼收并蓄.现代计算机科学是算法的科学,它所需的数学方法,与《九章算术》中传统的方法体系若合符节.吴文俊先生正是吸取了中国古代数学的思想精华,创立几何定理的机器证明方法,用现代的算法理论,焕发了中国古代数学的算法传统,开创了数学机械化的新纪元。

通过学习本节课，一方面了解中国古代数学的重要成就，另一方面，提高同学们学习的积极性，知道学习算法对平常的学习生活有总打的作用。