常微分方程答案 第三章

第一篇：常微分方程答案 第三章

习题3.1

1.求方程dyxy2通过点(0,0)的第三次近似解。dx

解：fx,yxy2，令0(x)y00，则

1xy0fx,0xdxxdxx00xx12x 2

2xy0fx,1xdxx0xx0121215xxdxxx 2202

3xy0fx,2xdxx0x

x

0 12152121518111xxxxxdxxx2022016044002

为所求的第三次近似解。

3.求初值问题

dy22xy,R:x11,y1,(1)dx

y10的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计。解：因为fx,yx2y2，ab1，Mmaxfx,y4，所以x,yR

153b1hmina，从而解得存在区间为x1，即x。444M4

又因为fx,yx2y2在R上连续，且由fy2y2L可得fx,y在R上关于y满足Lipschitz条件，所以Cauchy问题(1)在53x有唯一解44yx。

令0(x)y00，则

1xy0fx,0xdxx2dxx01xx13x1 3

2xy0x

x0221311xx3x4x7fx,1xdxxx1dx1429318633x

MLh1

误差为：2xx

L21!24

10.给定积分方程

xfxKx,d(*)

a

b

其中fx是a,b上的已知连续函数，Kx,是axb，ab上的已知连续函数。证明当足够小时(是常数)，(*)在a,b上存在唯一的连续解。证明：分四个步骤来证明。

㈠.构造逐步逼近函数序列

0xfx

n1xfxKx,nd,n0,1,2,

ab

由fx是a,b上的连续函数可得0x在a,b上连续，故再由Kx,是

axb，ab上的连续函数可得1x在a,b上连续，由数学归纳法易证

nx在a,b上连续。

㈡.证明函数列nx在a,b上一致收敛。

考虑级数

0xkxk1x,k1



xa,b(2)

由

0xkxk1xnx

k1

n

知，nx的一致收敛性与级数(2)的一致收敛性等价。

令Mmaxfx，LbamaxKx,。由(2)有

axb

axb,ab

1x0xKx,fd

a

b

Kx,fd

a

b

maxKx,maxf

axb,ab

ab



b

a

dML

所以

2x1xKx,10d

a

b

Kx,10d

a

b

MLKx,dML2

a

b

假设对正整数n，有不等式

nxn1xMLn,则

b

xa,b(3)

n1xnxKx,nn1d

a

Kx,nn1d

a

b

xa,b

ML

n1

Kx,dMLn,a

b

所以(3)对任意正整数n都成立。

因为MLn为正项级数，且当足够小时，n1

LbamaxKx,1(4)

axb,ab

故ML收敛，从而由Weierstrass判别法，级数kxk1x一致收敛，n

n1

k1



故级数(2)一致收敛，所以函数列nx在a,b上一致收敛。

㈢.证明limnxx是积分方程(*)在a,b上的连续解。

n

因为由㈠和㈡可得nx在a,b上连续，nx在a,b上一致收敛，故

x在a,b上连续，且函数列Kx,nx在a,b上一致收敛，所以对

n1xfxKx,nd

a

b

两边取极限可得

limn1xfxlimKx,nd

n

nab

b

fxKx,limnd

a

n

从而

xfxKx,d

a

b

所以x是积分方程(*)在a,b上的连续解。

㈣.证明x是积分方程(*)在a,b上的唯一解。

设x是积分方程(*)在a,b上的另一连续解，则

xfxKx,d

a

b

令gxxx，则

gxKx,d

a

b

Kx,d

a

b

maxxxKx,d

axb

a

b

Lmaxgx

axb

对xa,b都成立，上式两边对x取最大值可得

maxgxLmaxgx

axb

axb

如果maxgx0，则由上式有

axb

L1

这与(4)矛盾，故maxgx0，即gx0，所以xx，从而x是积

axb

分方程(*)在a,b上的唯一解。证毕。

第二篇：常微分方程实验报告一

吕梁学院数学系《常微分方程》实验报告

《常微分方程》实验报告一

专业

班级

姓名

学号

实验地点

实验时间

实验名称：向量场、积分曲线作图实验目的：熟悉实验内容：

Matlab软件；掌握画向量场、积分曲线的命令。

（给出实验程序与运行结果）吕梁学院数学系《常微分方程》实验报告

实验分析：

第三篇：南昌航空大学常微分方程A卷

南昌航空大学20XX—20XX学年第二学期期末考试

课程名称：常微分方程

闭卷

A卷120分钟

题号

一

二

三

四

五

六

合计

满分

实得分

评阅人

得分

班级-------------------

学号--------------

姓名-----------------

重修标记

b5E2RGbCAP

一、选择题<每题2分,共10分）

1、下面是哪个是二阶线性微分方程<）.A．

B．

C．

D．

2、函数是下面哪个微分方程地解<）.A．

B．

C．

D．以上全不是

3、下面哪个矩阵不可能是一个齐次线性微分方程组地解矩阵<）.A．

B．

C．

D．

命题教师<签字）

试做教师<签字）

系、室主任<签字）

4、下面微分方程不能用分离变量法求解地是<）.A．

B．

C．

D．

5、下面哪个函数不是微分方程地通解<）.A．

B．

C．

D．

评阅人

得分

二、填空题<每题2分,共10分）

1、求满足地解等价于求积分方程____________

地连续解.2、方程有只含地积分因子地充要条件是______________.3、已知，是一个二阶非齐次线性常微分方程地三个特解,则该方程地通解为_________.4、设A是实矩阵,是地基解矩阵,则该方程地一个实基解矩阵为________.5、与初值问题等价地微分方程组是________.评阅人

得分

三、计算题<第1—5小题每题8分,第6小题10分,共50分）

1、用分离变量法求地通解.2、将化为伯努利方程并求通解.3、判断是否为恰当方程,并求通解.4、求解二阶方程.5、求解常系数线性微分方程.6、求线性微分方程组地基解矩阵.评阅人

得分

四、<12分）设矩形域，1、给出函数在R上关于y满足利普希茨条件地定义；

2、叙述初值问题解地存在唯一性定理.评阅人

得分

五．<12分）设是线性微分方程组地基解矩阵,请用常数变异法求地通解以及满足初值地特解.评阅人

得分

六．<8分）

六.<6分）已知是地解,请利用降阶

法求出该方程地通解.

第四篇：2014年春福师《常微分方程》在线作业二答案

2014年春福师《常微分方程》在线作业二 1-5BAABB6-10BAABA 11-15BBBAB16-20ABBAB 21-25BABBB26-30ABAAB 31-35BBBBB36-40BBBAA 41-45BAABB46-50BBBBB

第五篇：常微分方程定性与稳定性方法试卷

常微分方程定性与稳定性方法试卷

2x1dx12x2,22dt(1x1)1.（20分）讨论系统 dx 零解的稳定性。2x2x2122222dt(1x)(1x11)

d2xdxdx22mb()xx0,mb0 对2.（20分）证明振动方程 2dtdtdt

任何参数都不存在闭轨线和奇异闭轨线。

dx2xyP(x,y),dt3.（20分）设有系统 dy试分析其轨线1yx2y2Q(x,y).dt的全局结构。

01104.（20分）设A=002000dx00Ax,x(0)x0的解，，求初值问题 dt0110

并分析其奇点邻域内轨线的性态。

dx3yxx,dt5.（20分）讨论系统dy 奇点(0,0)邻域内极限环的xy3dt

分支问题。