数学就悖论正论大全,一起来证明1=2(转)

第一篇：数学就悖论正论大全,一起来证明1=2(转)

今天上数学课各种好玩的东西。于是就找到好多这个来分享一下。。

当然不是我写的。。并且大部分的人好像只会去看第一个就不想看了。。

而且大部分一般人都知道a-b=0不能约的。所以大家可以跳过第一条来看。

还是可以开动脑子想想关于自我指涉例句之类的东西吧。

这篇关于数学上的悖论谬论的论证的文章是由北大中文系Matrix67所写，读来感觉很有意思，和大家一起分享，来一场头脑风暴。

1=2？史上最经典的“证明”

设 a = b，则 a·b = a^2，等号两边同时减去 b^2 就有 a·bb^2。注意，这个等式的左边可以提出一个 b，右边是一个平方差，于是有 b·(ab)。约掉(ab 的，因为我们假设了 a = b，也就是说 aS，解得 S = 1/2。

学习了微积分之后，我终于明白了，这个无穷级数是发散的，它没有一个所谓的“和”。无穷个数相加的结果是多少，这个是需要定义的。

无穷级数的力量(2)

同样的戏法可以变出更多不可思议的东西。例如，令

x = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …

则有：

2x = 2 + 4 + 8 + 16 + …

于是：

2x(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …)=-1

也就是说：+ 2 + 4 + 8 + 16 + … =-1

平方根的阴谋(1)

定理：所有数都相等。

证明：取任意两个数 a 和 b，令 t = a + b。于是，a + b = t

(a + b)(ab)

a^2t·b

a^2t·b

a^2t·b +(t^2)/

4(at/2)^

2at/2

a = b

怎么回事儿？

问题出在倒数第二行。

永远记住，x^2 = y^2 并不能推出 x = y，只能推出 x = ±y。

平方根的阴谋(2)= √1 = √(-1)(-1)= √-1·√-1 =-1

嗯？

只有 x、y 都是正数时，√x·y = √x·√y 才是成立的。

-1 的平方根有两个，i 和-i。√(-1)(-1)展开后应该写作 i·(-i)，它正好等于 1。

复数才是王道

考虑方程

x^2 + x + 1 = 0

移项有

x^2 =

1等式两边同时除以 x，有

x =1/x

把上式代入原式中，有

x^2 +(-11/x = 0

即

x^3 = 1

也就是说 x = 1。

把 x = 1 代回原式，得到 1^2 + 1 + 1 = 0。也就是说，3 = 0，嘿嘿！

其实，x = 1 并不是方程 x^2 + x + 1 = 0 的解。在实数范围内，方程 x^2 + x + 1 = 0 是没有解的，但在复数范围内有两个解。

另一方面，x = 1 只是 x^3 = 1 的其中一个解。x^3 = 1 其实一共有三个解，只不过另外两个解是复数范围内的。考虑方程 x^31)(x^2 + x + 1)= 0，容易看出 x^3 = 1 的两个复数解正好就是 x^2 + x + 1 的两个解。因此，x^2 + x + 1 = 0 与 x^3 = 1 同时成立并无矛盾。

注意，一旦引入复数后，这个谬论才有了一个完整而漂亮的解释。或许这也说明了引入复数概念的必要性吧。

颇具喜剧色彩的错误

众所周知，+ 2 + 3 + … + n = n(n+1)/

2让我们用 nn / 2 + 1

可以看到 n = 1 是这个方程的唯一解。

也就是说⋯⋯ 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/ 2 仅在 n = 1 时才成立！

这个推理过程中出现了一个非常隐蔽而搞笑的错误。等式两边同时加 1 后，等式左边得到的应该是+ 2 + 3 + … +(n-2)+(n-1)+ 1块钱等于 1 分钱？

我要用数学的力量掏空你的钱包！请看：元 = 100 分 =(10 分)^2 =(0.1 元)^2 = 0.01 元 = 1 分

用这个来骗小孩子们简直是屡试不爽，因为小学（甚至中学）教育忽视了一个很重要的思想：单位也是要参与运算的。事实上，“100 分 =(10 分)^2” 是不成立的，“10 分” 的平方应该是 “100平方分”，正如 “10 米” 的平方是 “100平方米” 一样。

数学归纳法的杯具(1)

下面这个“证明”是由数学家 George Pólya 给出的：任意给定 n 匹马，可以证明这 n 匹马的颜色都相同。

对 n 施归纳：首先，当 n = 1 时命题显然成立。若命题对 n = k 成立，则考虑 n = k + 1 的情形：由于 {#1, #2, …, #k} 这 k 匹马的颜色相同，{#2, #3, …, #k+1 } 这 k 匹马也相同，而这两组马是有重叠的，可知这 k+1 匹马的颜色也都相同了。

这个证明错在，从 n = 1 推不出 n = 2，虽然当 n 更大的时候，这个归纳是正确的。这是数学归纳法出错的一个比较奇特的例子：基础情形和归纳推理都没啥问题，偏偏卡在归纳过程中的某一步上。

数学归纳法的杯具(2)

下面，我来给大家证明，所有正整数都相等。

为了证明这一点，只需要说明对于任意两个正整数 a、b，都有 a = b。

为了证明这一点，只需要说明对于所有正整数 n，如果 max(a, b)= n，那么 a = b。

我们对 n 施归纳。当 n = 1 时，由于 a、b 都是正整数，因此 a、b 必须都等于 1，所以说 a = b。若当 n = k 时命题也成立，现在假设 max(a, b)= k + 1。则 max(a1)= k，由归纳假设知 a1，即 a = b。这个问题出在，a1 有可能不是正整数了，因此不能套用归纳假设。

所有三角形都是等腰三角形

别以为谬证都是隐藏在数字和字母之中的。下面就是一个经典的几何谬论。

画一个任意三角形 ABC。下面我将证明，AB = AC，从而说明所有三角形都是等腰三角形。

令 BC 的中垂线与 ∠A 的角平分线交于点 P。过 P 作 AB、AC 的垂线，垂足分别是 E、F。由于 AP

是角平

分线，因此 P 到两边的距离相等，即 PE = PF。于是，由 AAS 可知 △APE ≌ △APF。由于 DP 是中垂线，因此 P 到 B、C 的距离相等，由 SSS 可知 △BPD ≌ △CPD。另外，由于 PE = PF，PB = PC，且 ∠BEP = ∠CFP = 90°，由 HL 可知 △BEP ≌ △CFP。现在，由第一对全等三角形知 AE = AF，由最后一对全等三角形知 BE = CF，因此 AE + BE = AF + CF，即 AB = AC。

这个证明过程其实字字据理，并无破绽。证明的问题出在一个你完全没有意识到的地方——这个图形就是错的！事实上，BC 的中垂线与 ∠A 的角平分线不可能交于三角形的内部。我们可以证明，P 点总是落在 △ABC 的外接圆上。如图，P 是 BC 的中垂线与外接圆的交点，显然 P 就是弧 BC 的中点，即弧 BP = 弧 PC。因此，∠BAP = ∠CAP，换句话说 P 恰好就在 ∠A 的角平分线上。

P 在 △ABC 外的话，会对我们的证明产生什么影响呢？你会发现，垂足的位置发生了本质上的变化—— F 跑到 AC 外面去了！也就是说，结论 AE + BE = AF + CF 并不错，只是 AF + CF 并不等于 AC 罢了。

一个可怕的逻辑错误

下面这个勾股定理的“证明”曾经发表在 1896 年的 The American Mathematical Monthly 杂志上：

假设勾股定理是正确的，于是我们可以得到

AB^2 = AC^2 + BC^

2BC^2 = CD^2 + BD^2

AC^2 = AD^2 + CD^2

把后两式代入第一个式子，有

AB^2 = AD^2 + 2·CD^2 + BD^2

但 CD^2 = AD·BD，因此

AB^2 = AD^2 + 2·AD·BD + BD^2

即

AB^2 =(AD + BD)^2

即

AB = AD + BD

而这显然成立。因此，我们的假设也是成立的。

这个证明是错误的。假设结论正确，推出一个矛盾，确实能说明这个假设是错误的（这就是反证法）；但假设结论正

确，推出它与条件吻合，这却并不能说明假设真的就是正确的。错误的假设也有可能推出正确的结果来。最经典的例

子就是，不妨假设 1 = 2，由等式的对称性可知 2 = 1，等量加等量有 1+2 = 2+1，即 3 = 3。但 3 = 3 是对的并不能表明 1 = 2 是对的。

如此反证

下面这个有趣的故事来源于 Lewis Carroll 的一篇题为 A Logical Paradox 的小论文。

Joe 去理发店理发。理发店有 A、B、C 三位师傅，但他们并不总是待在理发店里。Joe 最喜欢 C 的手艺，他希望此时 C 在理发店里。他远远地看见理发店还开着，说明里面至少有一位师傅。另外，A 是一个胆小鬼，没有 B 陪着的话 A 从不离开理发店。

Joe 推出了这么一个结论： C 必然在理发店内。让我们来看看他的推理过程。

反证，假设 C 不在理发店。这样的话，如果 A 也不在理发店，那么 B 就必须在店里了，因为店里至少有一个人；然而，如果 A 不在理发店，B 也理应不在理发店，因为没有 B 陪着的话 A 是不会离开理发店的。因此，由 “C 不在理发店” 同时推出了 “若 A 不在则 B 一定在” 和 “若 A 不在则 B 也一定不在” 两个矛盾的结论。这说明，“C 不在理发店” 的假设是错误的。

从已有的条件看，C 当然有可能不在理发店。但是，为什么 Joe 竟然证出了 C 一定在理发店呢？因为他的证明是错的。其实，“若 A 不在则 B 一定在” 和 “若 A 不在则 B 也一定不在” 并不矛盾——如果事实上 A 在理发店，那么这两个条件判断句都是真的。“若 A 不在则 B 一定在” 真正的否定形式应该是 “A 不在并且 B 也不在”。

自然语言的表达能力

我曾在《另类搞笑：自我指涉例句不完全收集》一文中写过：

引用

定理：所有的数都可以用 20 个以内的汉字表达（比如 ***76640000 可以表达为“二十三的阶乘”，***000000000 可以表达为“一后面二十三个零”）

证明：反证，假设存在不能用 20 个以内的汉字表达的数，则必有一个最小的不能用 20 个以内的汉字表达的数，而这个数已经用“最小的不能用 20 个以内的汉字表达的数”表达出来了，矛盾。

当然，这个定理明显是错的，因为 20 个汉字的组合是有限的，而数是无限多的。这个证明错在哪儿了呢？我也没办法一针见血地道出个所以然来，大家一起来讨论吧。

有趣的是，我们有一个与之相关的（正确的）定理：存在一个实数，它不能用有限个汉字来表达。这是因为，有限长的汉字字符串是可数的，而实数是不可数的。更有趣的是，这个定理的证明必然是非构造性的。

两边同时取导数(1)

取一个正整数 N。则有

N^2 = N + N + N + … + N（N 个 N）

两边同时取导数，有

2N = 1 + 1 + 1 + … + 1 = N

两边同时除以 N，得=

1数学威武！

这个推理是有问题的（废话）。随着 N 的增加，等式右边的 N 的个数却没变，因此 N^2 的增长率比等式右边更大。

两边同时取导数(2)

令 x = 1，两边同时取导数，1 = 0。哈哈！

问题出在哪儿？这里有意略去答案不写，呵呵。

链式法则也出错？

下面这个例子告诉我们，数学符号混淆不得，分清每个数学符号的意义有多重要。

定义 f(x, y):=(x + y)^2，然后令 x = uv, u + v)=(2u)^2。链式法则求的并不是 ∂f/∂v，而是 ∂F/∂v。

不定积分的困惑

我们尝试用分部积分法求解 ∫(1/x)dx。

令 u = 1/x，dv = dx

du =-1/x^2 dx，v = x

于是 ∫(1/x)dx =(1/x)x-∫ x(-1/x^2)dx = 1 + ∫(1/x)dx

怎么回事？

不怎么回事。这个等式是成立的。别忘了，不定积分的最后结果要加上一个常数 C。

记得学高数时，求一积分，两哥们儿做出来的答案差别很大，而且试了很久也没能把其中一个答案变形成另外一个。后来终于恍然大悟：他们的答案是有可能不相同的，可以差一个常数嘛！

貌似漏掉了什么

很多 Goldbach 猜想、孪生素数猜想的“证明”都栽在了下面这个有时候很不容易注意到漏洞。

让我们来证明一个看上去有些不可思议的结论： π^e 是一个有理数。首先注意到，对任意有理数 r，logπr 都是无理数，否则令 s = logπr，我们就有 π^s = r，这与 π 是超越数矛盾。

现在，假设 π^e 是无理数，也就是说对任意有理数 r，π^e 都不等于 r。这也就是说，对任意一个 r，logππ^e 都不等于 logπr。由前面的结论，logππ^e 就不等于任意一个无理数。但 logππ^e 是等于 e 的，这与 e 的无理性矛盾了。因此，我们的假设是错的—— π^e 是一个有理数。

对于有理数 r，logπr 确实是无理数；但遍历所有的有理数 r，并不能让 logπr 遍历所有的无理数，而 e 正好就等于某个漏掉的无理数。

不过，也不要想当然地认为，π^e 当然是一个无理数。目前为止，π^e 是否有理还是一个谜。

第二篇：教学设计1：大家一起来

大家一起来 教学设计

教学目标

1．通过回忆和同伴一起做的事例，课上一起做的活动，感受“一起来”的好处和快乐。

2．在活动中尝试总结“一起来”的妙招，经验，不断提升自身的认识。3．学会在“一起来”中培养合作意识、初步学会与人互动、分享，提高交往能力。

教学重点

在合作中总结出一起做的方法。提高一起做的能力。教学难点

通过课上的活动进一步培养学生的合作意识、初步学会与人互动、分享，提高交往能力。

教学准备(一)教师准备： 1．游戏道具。2．课件。

(二)学生准备：和同伴一起合作的照片。教学过程

一、有人帮，不一样

师：从第一幅图中我们知道了什么？

生：两个人蒙上眼睛画图，把图画画的歪斜。师：第二幅图片中知道了什么？

生：两个人配合画画，却能把画画的很漂亮。

小结：看来有些事情光靠自己个人的努力是办不成的，需要大家一起做才能成功。

二、生活中的合作

1．在生活中，你们有没有在一起做很快乐的事情呀？请你向大家介绍一下 你们都做了什么事情、是怎样做的，感觉如何？

生：轮流摇，大家都可以跳。生：一起背，背得更快、更准。

2．小结：同学们在一起做的事情可真多，看得出来在合作成功之后你们都很高兴、很快乐。

三、为啥合作不下去

1．师：我们来演《西游记》。生：两人都要演猴子。生：我才不演猪八戒呢！生：最后没演好，相互责怪。

2．你们在一起做的时候，有什么好的方法和成功的妙招吗？

老师这设计了几个活动，分小组讨论讨论，选择一个活动，想想要怎样才能出色地完成这些任务？

3．读一读：

小朋友，来合作，有分工，巧配合。遇问题，不埋怨，团结合作才快乐。

4．小结：每个小组都有自己的妙招，有的为了合作成功互相商量、有的在一起来时听从组长安排，有的做事情时大家心往一块想、互相帮助。看来合作要成功，都得会用妙招。四、一起做做看

1．师：看到书上这几幅图，你们的小窍门是什么？ 生：让小球以最快的速度全部出来。生:我们一起做幅美丽的剪贴画吧！

2．在日常生活中，人们还有哪些相互合作的事例？引导同学体会互相合作的重要性。

五、小鹿和猴子

猴子：桃子一定很好吃！小鹿：叶子肯定也美味。

小鹿：呀！水太深了，过不去！小鹿：我带你过河。小鹿：还是吃不到。猴子：小鹿，看我的！猴子：小鹿，快接着！小鹿：桃叶真美味！

师：小鹿和猴子，为什么都吃到了自己的美味？

小结：一起来时，要多为大家着想，不能任性、逞能。要以集体的利益为重。在一起时，要学会商量、学会谅解、学会谦让。

六、课堂总结

通过这节课的学习，你有什么感受？

同学们，一起来快乐多多，一起来进步会更大。让我们尝试着一起来吧！

第三篇：初二下数学证明(一)

线段的垂直平分线和角平分线的性质

1线段的垂直平分线（也叫中垂线）：

线段垂直平分线的性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等！逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上！

三角形三边的垂直平分线定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等！2角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等！

角平分线的逆定理：在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角平分线上！

三角形角平分线定理:三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！

一、填空题

1．三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离_________．

2．到线段两端距离相等的点在这条线段的_________．

3．已知线段AB外两点P、Q，且PA=PB，QA=QB，则直线PQ与线段AB的关系是_________．

4．底边AB=a的等腰三角形有_________个，符合条件的顶点C在线段AB的_________上．

5．如图，直线 l上一点Q满足QA=QB，则Q点是直线l与_________的交点．

6．在△ABC中，AB=AC=6 cm，AB的垂直平分线与AC相交于E点，且△BCE的周长为10 cm，则BC=______ cm．

7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，AB的垂直平分线与AC相交于E点，连结BE，若∠CBE∶∠EBA=1∶4，则∠A=______度，∠ABC=_________度．

二、选择题

8．下列命题中正确的命题有_________．[]

①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A．1个B．2个C．3个D．4个

9．下列作图语句正确的是____

A．过点P作线段AB的中垂线

B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB=BC

C．过直线a，直线b外一点P作直线MN使MN∥a∥b

D．过点P作直线AB的垂线

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交斜边AB于D，AB=12 cm，AC=6 cm，则图中等于60°的角共有_________．[]

A．2个B．3个C．4个D．5个

11．△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交直线BC于D，若∠BAD－∠DAC=22.5°，则∠B等于_________． A．37.5°B．67.5°C．37.5°或67.5°D．无法确定

12.如图4-4-3所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有()A．1处B.2处C.3处D.4处

13如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB=10cm，则AC=()A.6B.8C.5D.10 14.下列说法正确的是()

A.每个命题都有逆命题B.直角都是邻补C.若1/a=1/b则a=b.D.真命题的逆命题是真命题.三、解答题

12．已知如图，在△ABC中，AB

=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC．

13．在△ABC中，AB=AC=a，AB的垂直平分线交AC于D点，若△BCD的周长为m，求证：BC=m－a．

14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N

求证：CM=2BM

15如图：△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，DE

AB,DFAC,垂足分别为E、F。.求证：DE=DF

．

16如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。求证：AF为∠BAC的平分线。

17：如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD，垂足为E.BF∥AC交CE的延长线于F.求证：AB垂直平分DF.18在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，你能求出这个等腰三角形的底角的大小吗？（利用分类思想解题）

19如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，若BC=12cm，求△DBC的周长！

20，等腰三角形ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，若△DBC的周长为35，求BC的长

21如图，三角形ABC中，DE垂直平分AC，交AC于点E，交BC于点D，△ABD的周长为13cm，AC=6cm，则△ABC的周长为多少？

22，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，求△DEB的周长。

23.已知，如图，O是⊿ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于

E，若BC = 10 cm，求⊿ODE的周长；

C

24.已知，如图⊿ABC中，∠ACB的平分线交AB于E，∠ACB的补角∠ACD的平分线为CG，EG∥BC交AC于F，EF会与FG

相等吗？为什么？

D

25.已知：如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE＝CD，连结AD、BE交于点P，作BQ⊥AD，垂足为Q．求证：BP＝2PQ.数学思想方法专题辅导：（1）分类讨论：

例4.若等腰三角形腰上的高线等于腰长的一半，求其顶角的大小。（注：等腰三角形有三种）

（2）转化思想：

对应练习：如图，在三角形ABC中，∠1=∠2，∠ABC=2∠C,求证：AB+BD=AC。

第四篇：一1、一3数学评语

亲爱的周湘淑：

如果说我们班的每位同学都是夜空的繁星，那么你是其中最璀璨的一颗。因为你有一颗善良、热情的心，老师真为你高兴。希望你永远保持这份热情，充分自信地迎接每一次新的挑战。

亲爱的陈诚：

不管是校内还是校外，见到老师与同学，你总会主动招呼，真懂礼貌。你还是个乐于为集体出力的“热心娃娃”。你思维较活跃，也常有奇思妙想之处，希望你能抓住每一个可以锻炼自己的机会，使自己逐步锻炼成才。

亲爱的郝思嘉：

你知道吗？你是个可爱的女孩！尊敬老师，和小伙伴相处愉快。但上课时，老师却很少看见你举手，努力吧，孩子，只要你用心了，尽力了，你会发现学习充满了乐趣。

亲爱的陈淑怡：

你是个聪明伶俐、活泼好动的孩子。课堂上能积极发言，但较不专心。课后经常捉弄同学，老师希望你能改掉坏习惯，逐步成长为优点越来越多的好学生，这样，老师和同学们一定会更喜欢你。

亲爱的张嫣冉：

你是一个可爱的小女孩，尊敬老师，和小伙伴相处愉快，希望在学习上多与同学交流，遇到问题及时请教老师，改进学习方法，勤思多问，提高成绩。亲爱的魏子昊：

你是个可爱、活泼的男孩子。但课上自控能力较差，不太自觉，时而认真，时而马虎。做任何事必须一丝不苟，踏踏实实，学习更需如此，你知道吗？在新的一年里，老师祝你百尺竿头，更进一步。

亲爱的董丽姝：

在老师的眼里，你是一位很乖巧可爱的女孩，看你平时言语不多，课堂上你却专心听讲，认真完成作业，常常受到同学和老师的赞赏。如果课堂上你也能把手举得高高的，让同学听听你那独到的见解，那就更好了！老师期待着……

亲爱的李泽宇：

你是个聪明机灵而又活泼的孩子。在学习上，老师希望你能积极一些，主动一些，认真—些。平时要严格要求自己，与同学和睦相处。你定能成为一个品学兼优的孩子，你的爸爸、妈妈也会为你自豪的。

亲爱的张旭晨：

你是一个待人诚恳，心地善良的孩子，劳动积极，热爱集体，喜欢帮助同学。如果你今后上课时更认真一些，做作业再认真一点，学习上更自觉一点，老师相信，在不久的将来，老师一定能看到一个进步很大的你。在新的学期里。老师期待着你的进步！

亲爱的周嘉颖：

你聪明伶俐，可上课的状态不太好。作业的书写不够快。学习投入的有效时间还不够。希望你乐于接受老师交给的任务。把不懂的问题及时解决。希望你经常参加体育活动，锻炼好身体。

亲爱的张天赐：

你是个聪明活泼的孩子，思维敏捷，上进心强，基础知识扎实，课堂很爱回答问题，但有时会有点小调皮。老师希望你以后会更加稳重，会更加细心，不要骄傲，做一个更加出色的男孩儿。

亲爱的付一帆：

你是个懂事，淳朴，上进心很强的女孩，你尊敬老师，团结同学，待人有礼貌，成绩优秀，只是上课发言还不够大胆，老师希望你以后要变得更加大胆，更加细心，加油！

亲爱的王馨：

你是一个思想纯朴，待人随和、诚恳的孩子。同学关系好，热爱集体，乐意助人是你的美德。班务工作任劳任怨，从不推诿。希望在学习上多与同学交流，遇到问题及时请教老师，改进学习方法，勤思多问，提高成绩。

亲爱的李源斌：

你是个聪明的男孩子，反应快。可是学习还不够自觉、上课还不够专注、作业还不够认真！希望你能改进缺点，不断进步！

亲爱的朱凯晨：

你聪明好学，思维敏捷，口才一流，成绩优秀。尊敬老师，团结同学，待人有礼貌，热情大方。堂上一次次有创意的回答都让老师知道你真能干！希望你能再接再励，一直做个出色的男孩子，加油吧！

亲爱的张梓航：

你是一个思想纯朴、心地善良的男孩。上课专心听讲，回答问题总少不了你的参与，成绩优秀，尊敬老师，团结同学。因此，深受同学和老师的喜爱。以后你要更加努力，才能更加的出色，加油吧！

亲爱的孙睿宸：

你是一个待人诚恳，心地善良的孩子，劳动积极，热爱帮助同学，和同学友好相处。假如你继续努力一点，学习上自觉一点，多看字，作业也写得清楚一些，老师相信你的成绩一定会进步很多的。

亲爱的时光毅：

你是个聪明、活泼的男孩子。同时在你身上还闪耀着男孩子特有的旺盛力，无论是严寒，还是酷暑，你浑身是劲，最让老师高兴的是你学习认真了，成绩提高了，好样的，继续努力吧！

亲爱的付锦阳：

你是个学习认真，老实本分的孩子。能踏踏实实地完成老师的任务！老师希望你能改进学习方法，提高课堂听课效率，学习不断进步！更加优秀！亲爱的朱一菲：

你是个聪明伶俐、活泼好动的孩子。书写端正，字体大方漂亮，作业完成相当好，是你最大的亮点，尊敬师长，关心集体，帮助同学，一直受老师同学的好评。但在学习上也要注意学习方法，这样才会有更大的进步！

一（3）班

亲爱的王腾浩：

你是一个待人诚恳，心地善良的孩子，劳动积极，热爱帮助同学，和同学友好相处。假如你继续努力一点，学习上自觉一点，多看字，作业也写得清楚一些，老师相信你的成绩一定会进步很多的。

亲爱的熊致远：

你是个热爱学习、积极向上的学生，喜欢动脑筋，喜欢钻研，理解能力强，自觉性强，老师很喜欢你。只是有时候上课也爱玩东西，这点可有些不够好。老师希望你能改正这小小的缺点，我还相信，你的聪慧加上不懈的努力，你的才华一定会更出众。加油吧！

亲爱的范成宇：

你是一个思想纯朴、心地善良的男孩。上课专心听讲，回答问题总少不了你的参与，尊敬老师，团结同学。因此，深受同学和老师的喜爱。以后你要更加努力，才能更加的出色，加油吧！

亲爱的张晟：

你是一个思维敏捷的学生。本学期，你还有一点点的懒性，有时作业也不完成，因此学习成绩有点下降。老师希望你在新的学年中学会自觉，更加认真，你将会是一个很出色的学生。

亲爱的王泽鑫：

你是一个诚恳，心地善良的孩子，热爱上学，热爱劳动，团结同学。但是老师觉得你还不够认真学习，不够勤奋，有时作业不能完成。假如你继续努力一点，学习上自觉一点，多看字，老师相信你一定会进步很多的。在新的学期里。老师期待着你的进步！

亲爱的许子怡：

其实你是一个有着上进心、热爱学习的孩子，你也很聪明，这个学期你能和班上的同学友好相处了。在学习上也有一定的进步，但写字写得太慢，而且课堂上也不喜欢回答问题，老师觉得如果你能改正你的缺点，你进步一定会很大的。加油吧！

亲爱的王璐瑶：

你是个聪明的女孩，你的努力老师都看在眼里，进步也是有目共睹的，老师由衷地为你感到高兴，但你还有不足，老师建议你多读书，提高自己的语言表达能力；多练字，让自己的字工整有力度；多观察，端正自己的学习态度。老师相信，只要你继续努力下去，会有更大的成功在等着你。亲爱的朱桑舞：

你是一个聪明、认真的孩子。尊敬老师，团结同学，待人有礼貌。学习上能刻苦钻研，作业整洁，成绩优秀。这个学期在你的努力之下，你开始变得爱回答问题了，也变得更加细心了。课堂外有时也是个小调皮，呵呵，老师希望你以后一直要努力下去，做个出色的女孩。加油吧！

亲爱的王小咪：

你是个懂事，淳朴，上进心很强的女孩，你尊敬老师，团结同学，待人有礼貌，成绩优秀，只是上课发言还不够大胆，老师希望你以后要变得更加大胆，更加细心，加油！

亲爱的沈文轩：

你是个有礼貌的学生。是一个热爱学习，上进心强的学生。在学校里，与同学不团结的现象少了，也更爱帮助同学了，劳动也很积极。课堂上，你大胆而又细心，爱动脑，爱动口，作业按时完成，书写越来越工整，成绩优秀且稳定，老师喜欢这样的你。新的学期，希望你更加认真，继续努力，继续加油！

亲爱的蔡枫霖：

珍珠，在老师的眼里，你是一位乖巧可爱的女孩，你的嗓音甜美、字迹端正，成绩优秀，常常受到同学和老师的赞赏。要是上课能更加认真倾听，积极发言，在学习中大胆施展自己的才干，你将更加出色！亲爱的仪泽林：

你是一名聪明、性格开朗的孩子。尊敬老师，团结同学，待人有礼貌。学习上能刻苦钻研，课堂上总能听到你那清脆悦耳的回答声，成绩优秀。你工作积极，乐意当老师的小助手。有时课堂上你会管不住自己，会说话，老师希望你要知道自己存在的问题，在以后学习中克服它，你一定会是个很出色的学生，加油吧！

亲爱的陈致轩：

你是一个待人诚恳，心地善良的孩子，劳动积极，热爱集体，喜欢帮助同学。如果你今后上课时更认真一些，做作业再认真一点，学习上更自觉一点，老师相信，在不久的将来，老师一定能看到一个进步很大的你。在新的学期里。老师期待着你的进步！

亲爱的郭西涵

你是一名勤奋好学的孩子。学习上能刻苦钻研，课堂上总能听到你那清脆悦耳的回答声；你的作业一次比一次整洁；平时你总是带着甜甜的笑容，与同学友好相处。这学期在你的努力之下，成绩还是不错的，只是有些知识时间久了没有复习的话，就会有点忘了，希望你以后继续努力，做个更出色的孩子。

亲爱的胡绍：

你是个可爱的小男孩，虽然在平常的学习中，偶尔会犯迷糊，可是老师相信你只要付出努力，一定可以收获成功！

亲爱的李衡：

姝颖，你忽闪着一双聪颖、智慧的大眼睛，在全班同学和老师心目中你是一名优秀的好班长。你上课专心听讲、作业认真完成。老师布置的事情，你能默默地记在心里，积极去做。老师希望今后你在学习中能大胆施展自己的才干，使自己更加出色！

亲爱的杜欣怡：

你是一个聪明、活泼、上进心很强的孩子。老师一直都很喜欢你。不过老师有时也会批评你，那是因为你上课会开小差，作业拖拉。老师希望你能改正缺点，使自己更加出色！

亲爱的叶恒锦：

老师很欣赏你口算时的细心，你学起数学来事那样的轻松，可见你是个聪明灵巧的孩子。这个学期在课堂上你时常能回答问题了，小动作少了，字也越写越漂亮了，真是不简单!孩子，一份耕耘，一份收获，你付出多少，就会收获多少。

亲爱的吴双：

小小的你对待学习一丝不苟，那端正的字迹在班里是出了名的，全部同学都默默地把你作为榜样。若你能在作业时加快速度，你的学习效率会有明显的提高。加油吧!希望你能又好又快!

亲爱的曾洁：

瘦小的你，小得都让老师不忍心用教鞭敲你。你是位听话乖巧的好女孩，可是当老师看到你写作业时拖拉的样子，看到你作业本上不太工整的字迹，看到你上课经常做小动作时，老师不禁皱眉了。聪明的女孩，下学期你一定不会让老师失望的，对吗？

亲爱的庄佳欣：

你是一个积极要求上进的女孩，你聪明、机灵，热爱班集体，关心同学，积极参加班级活动。但学习上还欠勤奋、踏实，字也写得不好，我真为你有些担心。愿你快快改正缺点，做一个勤奋好学、踏实上进的好学生！

亲爱的沈静怡：

你对待学习比较踏实，劳动时总那么勤快，同学间的小事，你常常忍让。你发现没有，只要努力一下，你的字就可以写得漂亮，让脑子多思考一下，你就可以得出令人满意的答案。努力吧，你将会有更大的进步！

亲爱的林洛而：

转眼间，你已经在小学里度过一年了。在这一学期里，老师看见了你的进步。有时候，你很乖巧，有时候，你也很调皮。老师希望你能学会自理自立，学会一些基本的本领，争做优秀的一年级学生。

亲爱的曹嘉胤：

顽皮淘气你就像“小一休”，可聪明伶俐呢„„你一定很羡慕那些成绩优秀的同学，你一定认为他们很聪明，学得很轻松。其实不然，真正聪明的人，学习的时候比一般人更要使劲。希望你能像啄木鸟医生那样，捉掉自己身上的“小懒虫”，努力使自己取得优秀的成绩，做一个真正的“小一休”。

亲爱的孔欣婷：

你是个聪明的女孩，你的努力老师都看在眼里，进步也是有目共睹的，老师由衷地为你感到高兴，但你还有不足，老师建议你多读书，提高自己的语言表达能力;多练字，让自己的字工整有力度;多观察，端正自己的学习态度。老师相信，只要你继续努力下去，会有更大的成功在等着你。

亲爱的戴缘源：

你是一个内向、诚实的女孩，与同学团结友爱，劳动勤快。课堂上，你能积极举手发言;课后，你能认真地完成作业，而且写得一手好字。愿你活泼可爱，全面进步！

亲爱的桂嘉豪：

虽然你平时寡言少语，但是老师看得出你是一个学习认真的好孩子，经过本学期的努力，你取得了极大的进步，身上的闪光点不断让老师惊喜！老师希望你能在下学期的学习中给我更多的惊喜！

亲爱的杨思彤：

老师欣赏你的活泼开朗，你常常像个小姐姐一样出现在同学的面前，上课时最有创意的答案总是从你口中蹦出来，因为你看书看得多，这真是让老师欣慰，你有管理班级的能力，学习上你总有一股上进的力量，也无形中成了大家的榜样，希望你继续努力，帮助老师学会管理班级，也能让自己得到更多的锻炼。

亲爱的杨韵恩：

在老师眼里，你是个不善多言的孩子。还有一颗细腻敏感的心，你尊敬师长，友爱同学，关心集体，乐意为大家服务。你自觉认真，每一次作业都认真对待从不拖拉，只是上课回答问题时还是有一些不自信，如果能胆子更大一点就好了，不要害怕说错。

亲爱的倪荣添：

你是个表面文静、内心活泼的男孩。你能尊敬师长，友爱同学，能按时完成老师布置的作业，只是我觉得你上课时主动举手发言还是少了些，这还是你稍微缺少自信心的表现，其实你很棒，对的东西总是在错误的事情中总结出来的，所以不要害怕，希望你能更勇敢，做一个对自己充满信心的好孩子。

亲爱的钱泽安：

你是个外表成熟、内心活泼的小男孩，在学习上态度认真，老师希望你能在课堂中更加勇敢，积极举手，大胆发言！

第五篇：2014年新北师大版数学《一起来分类》教学设计

《一起来分类》教学设计

教学目标

1、在活动中，让学生体会分类的思想方法，感受分类在生活中的用途，增加学习数学的兴趣。

2、在给事物分类的过程中，体验活动的结果在同一标准下的一致性、不同标准的多样性：培养学生初步的观察能力，比较能力和动手操作能力。

3、体会生活中处处有数学，使学生养成有条理地整理事物的习惯。

教学重点难点

重点：全体学生经历分类的过程，学会按一定标准或自定标准进行分类。

难点：使学生体验分类标准的多样性，根据不同的分类标准可以有不同的分类。

关键：结合学生熟悉的事物，让学生经历分类的活动。教学过程

一、复习引入

1、上节课我们学习了有关分类的知识，今天我们继续学习分类的知识。[板书：一起来分类]

2、同学们拿出我们课前发的题，独立完成，看谁做的又对又快。(要求每行不是同类的，把它圈起来．)

（1）

（2）指生说明自己选择的答案和理由．

二、探究新知

（一）整理书包

1、老师拿出课前准备好的书包，指生到台前整理，看谁用最短时间把书包整理好，并说一说你是怎样整理的，为什么这样整理？

2、谁还有不同的整理方法。

3、听完成同学们各自发言之后，你同意哪种方法，使用起来更方便，分别举手示意。

学生整理书包方法有

1．所有的书放在一起，所有的本放在一起，分两类． 2．分学科分．

3．大本书、小本书、大本、小本． ……

4、小结：分类在同一标准下，分类的结果是确定的；通过实践操作，我们发现在不同的标准下分类的结果是多样的．

（二）如果把我们班的同学分成两类，想一下，你会怎么分呢？说说你的理由。

指生回答。

（三）试一试，出示课件

1、师：昨天，我们已经把附页中的图剪下来了，同学们仔细的观察图形，想一想，这么多的图形，应该怎样分类，按什么来分，分成几组呢？老师看一看，谁分得又快又好。现在，我们就一起把这些图来分一分吧！

2、指生回答，生边说，师相机出示课件。（按颜色分、按形状分……）

三、课堂练习

1、同学们打开书，看练一练第1题。（1）指生读题

（2）学生自己观察，明确图意。（3）拿出水彩笔，涂一涂。

（4）指生回答，并说一说哪些是同一类的。师相机出示课件涂色。

2、出示图片，分成两组，分一分，说一说。

指生回答，同时说一说你是怎样分类的。师根据学生回答，相机演示课件。（按年龄、性别，戴眼镜和不戴眼镜等）

3、出示图片，分一分，说一说。（1）图上画着什么？

（2）指生回答，师相机演示。

4、看书上第4题，动笔算一算，在得数相同的算式上涂上一样的颜色。

指生回答，师演示。

四、总结

通过本节课的学习，同学们有了很多的收获，我们学会了分类方法多样性，下节课我们继续学习。