第一篇：《紫薇斗数技法讲义》第二十章
《紫薇斗数技法讲义》第二十章
紫薇斗数古法歌诀
十喻歌
吉凶最要细分明
本对合邻有重轻
四面楚歌终必败
千祥云集自然亨
自强才是好人家
邻舍惟添锦上花
若到逢源真境地
春风只可感相差
两邻相侮岂为灾
自伐才教大可哀
易躲当头一棍棒
难防左右袭兵来
(一)本方吉 ：谓之由内自强。
(二)本方凶 ：谓之从根自伐。
(三)对方吉 ：谓之迎面春风。
(四)对方凶 ：谓之当头恶棒。
(五)合方吉 ：谓之左右逢源。
(六)合方凶 ：谓之左右受敌。
(七)邻方吉 ：谓之两邻相扶。
(八)邻方凶 ：谓之两邻相侮。
(九)方宫皆吉：谓之千祥云集。
(十)方宫皆凶：谓之四面楚歌。
女命赋
府相之星女命躔，必当子贵与夫贵。廉贞清白能字守。更有天同理亦然。端正紫微太阳星，早遇贤夫性可凭。太阳寅到午，遇吉终是福。左辅天魁为福寿，右弼天相福来临。禄存厚重多衣食，府相朝垣命必荣。紫府巳亥相互辅，左右扶持福必生。巨们天机为破荡。天梁月曜女命贫。擎羊火星为下贱。文昌文曲福不全。武曲之宿为寡宿。破军一曜性难明。贪狼内狠多淫佚。七杀沉吟福不生。十干化禄最荣昌，女命逢之大吉祥，更得禄存相凑合，旺夫益子受恩光。火铃羊陀及巨门，地空地劫又相临，贪狼七杀廉贞宿，武曲加临克害侵。三方四正嫌逢煞，更在夫宫祸患深，若值本宫无正曜，必主生离克害真。以上论赋，俱系看命之法，条条有验，宜细玩味。得之于心，其富贵贫贱，荣华寿夭，了然在胸矣。
太微赋总括
斗数至玄至微，理旨难明，虽设问于各篇之中，犹有言而未尽，至如星之分野，各有所属，祸福深浅，寿夭贤愚，贫淫正直，各有所司，不可一概论议。其星分布一十二垣，数定乎三十六位，入庙为奇，失度为需，大抵以生命为福德之本，加以根源为穷通之资。星有同躔，数有分定，须明其生克之要，必详乎得垣失度之分。观乎紫微舍躔，司一天仪之象，率列宿而成垣，土星苟居其垣，若可移动，金星专司财库，最怕空亡。帝星动则列宿奔驰，贪守空而财源不聚。各司其职，不可参差。苟或不察其机，更忘其变，则数之造化远矣。例曰：禄逢冲破，吉处藏凶；马遇空亡，终身奔走。生逢败地发也虚花；绝处逢生，花而不败。星临庙旺，再观生克之机；命坐强宫，细察制化之理。日月最嫌反背，禄马最喜交驰。倘居空亡，得失最为要紧；若逢败地，扶持大有奇功。紫微天府全依辅弼之功，七杀破军专依羊铃之虐。诸星吉逢凶也吉；诸星凶，逢凶也凶。辅弼夹帝为上品，桃花犯主为至淫。君臣庆会，才善经邦；魁钺同行，位至台辅。禄文拱命，富而且贵；日月夹财，不权则富。马头带剑，威震边疆；刑求夹印，刑杖惟司。善荫朝纲，仁慈之长；贵入贵乡，逢之富贵；财居财位，遇者富奢。太阳居午，谓之日丽中天，有专权之贵，敌国之富。太阴居子，号曰水澄桂萼，得清要之职，中谏之才。紫微辅弼同宫，一乎百诺居上品；文耗居寅卯，谓之众水朝东。日月守不如照合，荫福聚不怕凶危。贪居亥子，名为犯水桃花；忌遇贪狼，号曰风流彩杖。七杀廉贞同位，路上埋尸；破军暗耀同乡，水中作冢。禄居奴仆纵有官也奔驰，帝遇凶徒虽获吉而无道；帝坐命库则曰金舆捧栉，福安文耀谓之玉袖天香。太阳文昌于官禄宫，皇殿朝班，富贵全美；太阴会文曲于妻宫，蟾宫折桂，文章令闻。禄存守于田财，堆金积玉；财荫坐于迁移，巨商高贾。耗居禄位，沿途乞食；贪会旺宫，终身鼠窃。杀居绝地，天年夭似颜回；贪坐生乡，寿考永如彭祖。忌暗同居身命疾厄，沉困尪赢，凶星会于父母迁移，刑伤破祖；刑煞同廉贞于官禄，枷扭难逃，官符加刑煞于迁移，离乡遭配。善福居空位，天竺生涯；辅弼单守命宫，离宗庶出。七杀临于身命逢羊刃，战阵而亡；铃羊合于命宫遇白虎，须当刑戮。官符发于吉曜流煞，怕逢破军；羊铃凭太岁以引行，病符官符皆坐祸。奏书博士与流禄，尽作吉祥；力士将军同青龙，以显其权。童子限如水上泡沫，老人限似风中残烛。遇煞无制乃流年最忌，人生荣辱限元必有休咎，命限逢乎驳杂，学至此诚玄微矣，示尔学徒，勤予参考。
玄微论（增补太微论）
希夷先生曰:斗数之列众星，由大易之分八卦，八卦非彖系不明，五星非讲明何措，是以观斗数者，再三审动静之机，第一辨宾主之分，动静循环不已，主宾更迭无拘，主若无情，何宾之有，宾不能对，何足取哉！愧彼羊陀，惟视禄存之好恶，笑吾日月也。思空劫之兴亡，杀有杀而无刑，虽杀有救；刑有刑而易单，终身不克。火星旺宫为富论，羊陀得令岂凶神？两邻加侮尚可撑持，同室与谋最难防备。斤火焚天马，重羊逐禄存。劫空亲戚无常，权禄行藏靡定。君子哉魁钺，小人也羊铃。凶不皆凶，吉无纯吉。主强宾弱，可保无虞。主弱宾强，凶危立见。主宾得失两相宜，限运命身当互见。身命最嫌羊陀七杀，遇之未免为凶。二限甚忌贪破巨贞，逢之定然作祸。命遇魁昌当得贵，限逢紫府定财多。凡观女人之命，先观夫子二宫，若值煞星，定三嫁而心不足，或逢羊陀，须啼哭而泪不干。若观男命，始以福财为主，再审迁移如何，二限相因，吉凶同断。限逢吉曜，平生动用和谐；命作凶乡，一是求谋龃龉。廉禄临命，女德纯阴贞洁之德；同梁守命，男得纯阳中正之心。君子命中亦有羊陀四杀，小人命中岂无科禄权星，要看得垣失垣，专论入庙失陷。若论小儿，详推童限，小儿命生凶乡，三五岁必然夭折，更有限逢恶杀，五七岁必至夭亡。文昌文曲天魁秀，不读诗书也可人。多学少成，只为擎羊逢劫杀。为人好讼，盖因太岁遇官符。命之理微，熟察星辰之变化；数之理远，细详格局之兴衰。北极加凶杀，为道为僧；命遇凶星，为奴为仆。如武破廉贪，固深谋而贵显，加羊陀空劫，反小志以孤寒。限辅旺星，虽弱而不弱；命临吉地，虽凶而不凶。断桥截路，大小难行；卯酉二空，聪明发褔。命身遇紫府，叠积金银；二主逢劫空，衣食不足，谋而不遂。命限遇入擎羊，东作西成。限身遭逢府相科权禄拱，定为攀桂之高人。空劫羊铃，决作九流术士。情怀舒畅，昌曲命身；诡诈虚浮，羊陀陷地。天机天梁擎羊会，早见刑克晚见孤。贪狼武曲廉贞逢，少受贫而后受褔。此皆斗数之奥诀，学者熟之。
玉蟾发微论
白玉蟾先生日：观天斗数与五星不同，按此星辰与诸术大异。四正吉星定为贵，三方煞拱少为奇；对照兮详凶详吉，合照兮观贱观荣。吉星入垣则为吉，凶星失地则为凶。命逢紫微，非特寿而且荣；身遇煞星，不但贫而且贱。左右会于紫府，极品之尊；科权陷于凶乡，功名蹭蹬。行限逢乎弱地，未必为灾；立命会在强宫，必能降顽。羊陀七杀，限运莫逢，逢之定有刑伤；天哭丧门，流年莫遇，遇之实防破害。南斗主限必生男，北斗加临先得女。科星居陷地，灯火辛勤；昌曲在弱乡，林泉冷淡。奸谋频设，紫微愧遇破军；淫奔大行，红鸾差逢贪宿。命身相克，则心乱而不闲；玄媪三宫，则邪淫而耽酒。煞临三位，定然妻子不和；巨到二宫，必是兄弟无义。刑煞守子宫，子难奉老；诸凶照财帛，聚散无常。羊陀守疾厄，眼目昏盲；火铃到迁移，长途寂莫。尊星列贱位，主人多劳；恶星应命宫，奴仆有助。官禄遇紫府，富而且贵；田宅遇破军，先破后成。褔德遇空亡劫，奔走无方；相貌加刑煞，刑克难免。后学者执此推详，万无一失。
百字千金诀
枢库坐命遇吉
富贵始终亨通
机月同梁福寿
日月左右长生
杀遇终须进退
武破吉化峥嵘
贪贞主垣性劣
昌曲入庙科名
禄存到处皆灵
最怕羊火陀铃
巨化吉宿富贵
同凶也不昌荣
魁钺扶拱发达
一生近贵功名
局中最嫌空劫
诸星不可同宫
千金断诀莫渡愚人
形性赋
原夫紫微帝座，生为厚重之客；天府尊星，也作纯和之体。金屋圆满，玉兔清奇，天机为不长不短之姿，情怀好善。武曲有至要至紧之操，心性刚强；天同肥满，目秀清奇。廉贞眉阔，口宽面横，为人性暴，好忿好争；贪狼为善恶之星，入庙必应长耸。巨门门乃是非之曜，出垣必定顽嚣；天相精神，天梁稳重。七杀子路暴虎冯河，火铃似豫让吞炭为哑，暴虎冯河兮自灾凶猛，吞炭装哑兮暗狼声沉。俊雅文昌，磊落文曲，在庙定生异痣，失陷必有斑痕。左辅右弼，为温良规模；擎羊陀罗，有矫诈体态。若逢魁钺，必具足威仪；果合三台，则十全模范。星论座位，最怕空亡，杀落空亡，无力观其禄权。破军不仁，背重眉阔，坐腰斜舌性态如春，乃是禄存之圣德，情怀似火，此诚破耗之威权。禄逢梁荫，抱私财益与他人；耗遇贪财，逞淫情于井底。贪星入于马垣，易善易恶；恶曜扶同善曜，禀性不常。财居空亡，巴三揽四；文曲旺宫，闻一知十。暗合廉贞，为贪滥之曹吏；身命司数，实奸盗之技儿。男居身旺，最要得躔；女居死绝，专看福星。命最嫌于败位，财却怕于空亡。机刑杀荫孤星论，嗣续之官加恶星忌耗，不为奇特。陀忌耗囚凶曜，守相貌之躔，决然伤体兼之破祖。童格宜相，根基要察。紫微肥满，天府精神，天梁生厚；日月曲相与天机皆为美俊之姿，乃是清奇之格，上长下短，目秀眉清。武曲贪狼，形小声高而量大；天陀同忌，肥满目眇而晦暗。耗煞擎羊，身体遭伤，陀罗巨暗，必生异痣。若居死绝之限，童子哺乳徒劳其力，老者亦然。此星宿中之纲领，乃为星纬之机关，玩味专精，以参玄妙。限有高低，星寻喜怒，假如运限驳杂，终有浮沉。或曰：凶送凶迎，皆为偃蹇无情，遭逢困厄，如逢煞地，更要推详；但遇空亡，必须细察星垣论
紫微帝座，以辅弼为佐贰，做数中之主星，乃有用之源流。是以南北二斗集而成数，为万物之灵。盖以水淘溶，则阴阳既济，水盛阳伤，火盛阴灭，二者不可偏废，故知其中者，斯为美矣。寅乃木之垣，乃三阳交泰之时，草木萌芽之所，至于卯位，其木至旺矣。贪狼天机是庙乐，故得天相水、巨门水到卯为之疏通，木赖水栽培，加以水之交灌，三方文曲水、破军水相会尤妙。又加禄存土、巨门水到丑，天梁土到未，陀罗金到于四墓之所土，或得擎羊金相会，以土为金墓，则金通不为疑。加以天府土、天同水以生之，是为金旺土肥，顺其德以生成。巳午未乃火位，巳为水土所绝之地，更午垣之火，余气流于巳，水则顺流，火气逆焰，必归于巳。午属火德，能生于巳绝之地，所以廉贞火居焉。至于午火旺，离明洞照表里，而文曲水入庙。若会紫府，则魁星揣斗，加以天机木、贪狼木，谓之变景，更加奇特。申酉属金，乃西方太白之气，武居中而好生，擎羊居酉为角煞，加以巨门、禄存、陀罗、天梁而劫之愈急，须得逆行，逢善化逆，是谓妙用。亥水属文曲破军之庙地，乃文明清高之星，万里派源之洁，如大川之泽，可润枯焦。居于亥位，将入天河，是故为渺。破军水于子旺之乡，如巨海之浪、澎湃汹涌，可远观而不可以近倚，破军是以居焉，若四墓之克，充其涌漫，亥子上文曲，必得武曲之金，使其源流不绝，方为妙矣。其余诸星以身命推之，无施不至，至妙者矣。
起例歌诀总括
希夷仰观天上星，作为斗数推人命，不依五星要过节，只论年月日时生。先安身命次定局，紫微天府布诸星，劫空殇使天魁钺，天马天禄带煞神。前羊后陀并四化，红鸾天喜火铃刑，二主大限并小限，流年后方安斗君。十二宫分详庙陷，流年祸福此中分，禄权科忌为四化，唯有忌星最可憎。大小二限若逢忌，未免其人有灾迍。科名科甲看魁钺，文昌文曲主功名。紫府日月诸星聚，富贵皆从天上生；羊陀火铃为四煞，冲命冲限不为荣。杀破贪狼俱作恶，庙而不陷掌三军；魁钺昌加无吉应，若还命限陷尤嗔。尚有流羊陀等宿，此与太岁从流行，更加丧吊白虎凑，殇使可以断生死。若有同年同月日，祸福何有不准乎？不准俱用三时断，时有差迟不可凭。此是希夷真口诀，学者需当仔细精，后具星图并论断，其骨髓赋
太极星躔，乃群宿众星之主。天门运限，即扶身助命之源。在天则运用无常，在人则命有格局。先明格局，次看恶星。或有同年同月同日同时而生，而有贫贱富贵寿夭之异；或在恶限积百之金银；或在旺乡遭连年之困苦；祸福不可一途而尚；吉凶不可一事而推。要知一世之荣枯，定看五行之宫位。立命可知贵贱，安身便晓根基。第一先看福德，在三细考迁?，分对宫之体用，定三合之源流。命无正曜，夭折孤贫；吉有凶星，美玉玷瑕。既得根源坚固，须知合局相生，坚固则富贵延长，相生则财官昭着。命好身好限好，到老荣昌；命衰身衰限衰，终身乞丐。夹贵夹禄少人知，夹权夹科世所宜。夹日夹月谁能遇，夹昌夹曲主贵兮。夹空夹劫主贫贱，夹羊夹陀为乞丐。廉贞七杀反为积富之人，天梁太阴却作飘蓬之客。廉贞主下贱之孤寒，太阴主一生之快乐。生来贫贱，劫空临财褔之乡。出世荣华，权禄守身命之地。先贫后富，须还命值武贪。先富后贫，只为运逢劫杀。文昌文曲，为人多学多能；左辅右弼，生性克宽克厚。天府天相乃为衣禄之神，为仕为官定主亨通之兆。苗而不秀，科星陷于凶乡。发不住财，禄主躔于弱地。七杀朝斗，爵禄荣昌；紫府同宫，终身褔厚。紫微居午无杀凑，位至公卿。天府临戌有星扶，腰金衣紫。科权禄拱，文誉昭彰。武曲庙旺，威名显奕。科明禄暗，位列三台。日月同宫，官居侯伯。巨机同宫，公卿之位。贪铃并守，将相之名。天魁天钺，盖世文章。天禄天马，惊人甲第。左辅文昌吉星会，尊居八座。贪狼火星居庙旺，名镇诸邦。巨日同宫，官封三少。紫府朝垣，食禄万钟。科权对拱，跃三汲于禹门。日月并明，佐九重于尧殿。府相同来会命宫，全家食禄。三合明珠生旺地，稳步蟾宫。七杀破军宜出外，机月同梁作吏人。紫府日月居旺地，定断公侯器。日月科禄丑宫中，定是方伯公。天梁天马陷，飘荡无疑。廉贞杀不加，声名远播。日照雷门，荣华富贵。月朗天门，进爵封侯。寅逢府相，位登一品之荣。墓会左右，尊居八座之贵。梁居午地，官资清显。曲遇梁星，位至台纲。科禄巡逢，周勃欣然入相。文星暗拱，贾谊允矣登科。擎羊火星，威权出众。同行贪武，威压边夷。李广不封，擎羊逢于力士。颜回殀折，文昌陷于天殇。仲由猛烈，廉贞入庙遇将军。子羽才能，巨宿同梁冲且合。寅申最喜同梁会，辰戌应缣陷巨门。禄倒马倒，忌太岁之合劫空。运衰限衰，喜紫微之解凶恶。孤贫多有寿，富贵即夭亡。吊客丧门，绿珠有坠楼之厄。官符太岁，公冶有嫘绁之忧。限至天罗地网，屈原有沉溺之殃。限逢地劫地空，阮籍有途穷之苦。文昌文曲会廉贞，丧命天年。命空限空无吉凑，功名蹭蹬。生逢地空，犹如半天折翅。命中遇劫，恰如浪里行舟。项羽英雄，限至地空而丧国。石崇富豪，限行地劫以亡家。吕后专权，两重天禄天马。杨妃好色，三合文昌文曲。天梁遇马，女命贱而且淫。昌曲夹墀，男命贵而且显。极居卯酉，多为脱俗之僧。贞居卯酉，定是公胥之辈。左府同宫，尊居万乘。廉贞七杀，流荡天涯。邓通饿死，运逢大耗之乡。夫子绝粮，限到天殇之地。铃昌陀武，限至投河。巨火擎羊，终身缢死。命里逢空，不飘流即主贫苦。马头带剑，非殀折即主刑伤。子午破军，加官进爵。昌贪居命，粉身碎骨。朝斗仰斗，爵禄荣昌。文桂文华，九重显贵。丹墀桂墀，早遂青云之志。合禄拱禄，定为巨擘之臣。阴阳会昌曲，出世荣华。辅弼遇财官，衣绯着紫。巨梁相会廉贞并，合禄鸳鸯一世荣。武曲闲官多手艺，贪狼陷地作屠人。天禄朝垣，身荣富贵。魁星临命，位列三台。武曲居干戌亥上，最怕太阴逢贪狼。化禄还为好，休向墓中藏。子午巨门，石中隐玉。明禄暗禄，锦上添花。紫微辰戌遇破军，富而不贵有虚名。昌曲破军逢，刑克多劳碌。贪武墓中居，三十才发褔。天同戌宫为反背，丁人化吉主大贵。巨门辰戌为陷地，辛人化吉禄峥嵘。巨机酉上化吉者，纵遇财官也不荣。日月最缣反背，乃为失辉。身命定要精求，恐差分数。阴骘延年增百褔，至于陷地不遭伤。命实运坚，槁苗得雨；命衰限衰，嫩草遭霜。论命必推星善恶，巨破擎羊性必刚。府相同梁性必好，火劫空贪性不常。昌曲禄机清秀巧，阴阳左右最慈祥。武破廉贪冲合，局全固贵；羊陀七杀相杂，互见则伤。贪狼廉贞破军恶，七杀擎羊陀罗凶。火星铃星俱作祸，劫空殇使悔重重。巨门忌星皆不吉，运身命限忌相逢。更兼太岁官符至，口舌官非决不空。吊客丧门又相遇，管教灾疾两相攻。七杀守命终是殀，贪狼入命必为娼。心好命微亦主寿，心毒命固亦夭亡。今人命有千金贵，运去之时岂久长，数内包藏多少理，学者须当仔细详。
紫微诸星庙陷诀
紫微天机子午宫 太阳巨相寅申中 天府七杀辰戌利 巳亥之中忌天同
廉贞最好未申庙 贪武天梁辰戌同 子午寅申阴化吉 若还遇恶有何荣
巳酉丑中昌曲贵 寅午戌上不丰隆 破军子午真得利 左右更喜紫微宫
禄存切忌火空劫 辰戌丑未擎羊雄 寅申巳亥陀罗庙 二星八位五雷同
科权禄陷嫌加煞 若然遇之限亨通 更有铃星东南美 寅午戌中是庙宫
中部诀最分明，若能依此推人命，何用琴堂讲五星？
准绳赋
命居生旺定富贵，各有其宜。身坐空亡论荣枯，专求其要。紫微帝坐在南极，不能施功。天府令星在陷地，岂能为福。天机四杀同宫，也善三分。太阴火铃同位，反成十恶。贪狼为善宿，入庙不凶。巨门为恶曜，得垣尤美。诸凶在紧要之乡，最宜受制。擎羊在身命之位，却受孤单。若见煞星倒限最凶，福荫临之，庶几可解。大抵在人之机变，更加作意之推详。辨生克制化以定穷通，看好恶正偏以言祸福。官星居于福地，近贵荣财。福星居于官宫，却成无用。身命得星为要，限度遇吉为荣。若言子息有无，专在擎囚耗杀，逢之则喜，妻妾亦然。相貌逢凶，必带破相；疾厄逢忌，定有尪羸。须言定数以求，更再同年之相合，总为纲领，用作准绳。
赋性论
原夫紫微帝座，生为厚重之容。金乌（太阳）圆满，玉兔（太阴）清奇。天机为不长不短之姿，性怀好善。太阳相貌雄壮，面方圆满，聪明慈爱，不较是非。武曲乃至刚至毅之操，心性果决。天同肥满，目秀清奇。廉贞眉宽口阔而面横，为人性暴，好忿好争。天府尊星，当主纯和之体，善良温和，多学多能。太阴聪明清奇，心性温和，度量宽宏，博学多能。贪狼为善恶之星，入庙必然长耸，出垣必定顽嚣。巨门乃是非之曜，在庙敦厚温良。天相精神，相貌持重。天梁稳重，玉洁冰清。七杀目大凶狠，心性急躁，喜怒无常，破军不仁，背厚眉宽，行坐腰斜而奸诈，好行惊险。文昌俊雅，眉清目秀﹔文曲磊落，口舌便佞，在庙定生异痣，失陷必有斑痕。左辅右弼温良规模，端庄高士。天魁天钺具见威仪，与三台八座则十全模范。相貌持重和蔼，乃是禄存之盛德。情怀似火烽冲，此诚破耗之威权。擎羊陀罗，形丑貌陋，有矫诈体态。火星刚强出众，毛鬓多异，唇齿四肢有伤。铃星性毒破相，胆大出众。星临庙旺，最怕空劫，煞落空亡，竟无威力。权禄乃九窍之奇，耗劫散平生之福。禄逢梁荫，抱私财益与他人。耗遇贪狼，逞淫情于井底。贪狼入于马垣，易善易恶﹔恶曜扶同善曜，禀性不常。财居空亡，巴三览四﹔文曲旺宫，闻一知十。男居生旺，最要得地﹔女居死绝，专看福德。命最嫌立于败位，财源却怕逢空亡。机刑杀荫孤星，论嗣续之宫，加恶星忌耗，不为奇特。陀耗囚之曜，守父母之躔，决然破祖，刑伤兼之。童格宜相根基。紫微肥满，天府精神，禄存天梁，应系厚重。日月昌曲与天机，皆为美俊之姿，乃是清奇之格，上长下短，目秀眉清。武曲贪狼，形小声高而量大。天同陀忌，肥满目眇，形丑貌粗。文值耗煞擎羊，身体遭伤，若遇陀罗巨暗，必生暗异之痣。若居死绝之限，童子哺乳，徒劳其力，老者亦然寿终。此是数中之纲领，乃为星纬之机关，玩味专精，以参玄妙。限有高低，星寻喜恶。假如运限驳杂，终为浮沉，至若将终，朝元最紧。限行逢忌，或曰凶送凶迎，皆为偃蹇无情，遭逢困厄。如逢杀地，更要推详，倘遇空亡，必须细察。精研于此，不患不神。
第二篇：作文技法讲义
拟题六法
整体评价一篇作文好不好，主要要从题目、开头、结尾、立意、选材、形式创新、书写几个方面来把握。今天我们就一起学习第一步：拟题
俗话说的好：题好文一半，题目是文章的眼睛，一个好的题目能吸引读者，给读者留下一个好的印象，它是让你的作文能否进入读者眼睛，走进读者内心世界的第一张门票；所以，我们要精心打造一个夺人眼目的题目，让读者的眼睛为之一亮，一下子就抓住读者。今天我教给你六种拟题的技法。
（一）套用法
把歌曲名、歌词、电视剧名、影片名、诗文名句、成语、俗语、歇后语、名人名言、广告词等直接引用或稍加改编后用作标题
下面我举几例：大家可以看看他套用用了那种
1、《想说爱你不容易》《向前、向前、向前！》《我是一只小小鸟》《隐形的翅膀》《我选择，我相信》《一生之计在于“今”》《衣带渐宽终不悔》
（二）修辞法
我们常见的修辞手法有比喻，拟人，对偶，夸张，反问等，拟题时可以灵活巧妙的运用一种
1、比喻：《那一刻，我们的爱开花》2008河北
《心灵的地震》2008长沙
2、拟人：《粉笔的自述》《地球就诊记》《初三和我有个约会》
3、对偶：《挫折着，美丽着》《生命不息，追求不止》
4、夸张：《花瓶能装下整个春天》《那个障碍粉碎了我》（以挫折为话题）《千年月色万年情》（以故乡为话题）
5、反问：《不经风雨怎能见彩虹？》《没有付出，怎求回报？》《财富，何罪之有？》
6、呼告：《别了，初三》《老师，给我一点自由吧》《再见了，母校》
（三）设置悬念
这种方法就是在拟题上设置一个诱人的悬念，引人入胜，从而紧紧抓住读者的心，激起读者急于探求内容的强烈愿望
如《十六岁，老朽了》（以素质教育为话题）《一只老鼠的日记》（人与自然）《我与203室不得不说的秘密》《三个女生一台戏》（以男孩女孩为话题）
（四）中外结合
这种方法就是引用或音译一些人们熟悉的外语单词或短语作为题目，让标题具有幽默色彩，往往给人带来一种轻松愉快的感觉 如《How are you,E-mail》（以科技为话题）《搞笑课堂Oen and two》（校园生活）《Come on 给我感觉》（幸福）《Internet，my love》（以电脑为话题）
（五）怪异另类这种方法避开常俗，怪异，另类，会达到惹人注目的效果 如《真想做个差生》、《我爱停电》、《1 2 3 4 5 6 7》（友谊）、《世上只有爸爸狠》、《网？网！》
（六）诗情画意
这种方法就是运用诗歌散文的语言，营造一种优美的意境，韵味无穷 如《那河，那船，那人》（以乡情为话题）《风中飞舞的白手帕》（友谊）《白云，夕阳，歌声》（生命）、《红舞鞋，蓝精灵》《心泉叮咚》（以母爱为话题）
见材料P462页
凤头七法
见教材477页
俗话说，好的开端是成功的一半，一定要精美，吸引读者。
文章的开头就像凤凰的头，引人看，开头要简洁，入题快，语言要有文采，使人一看就有读下去的欲望，一定要引人入胜。抓住读者
一、设置悬念，吸引读者
例：我快要死了——我躺在病床上，四周漆黑一片，十分寂静，偌大的房间里，只能听得见我微弱的呼吸声。护士只有到我该吃药、打针的时候才会进来，而且很少和我说话。我已经习惯了，我不会有太多的抱怨，因为我知道我快要死了。我凝视着窗外，告诉自己要坦然面对死亡。
【技巧点拨】这篇文章的开头设计了一个悬念，我快要死了，于是读者不由得被吸引住了，会想，他怎么会
快要死了呢？他得了什么病？后来怎么样？这一连串的问题自然而然地把你的目光带到了下文，使你迫不及待地想知道下文。这种开头方法，抓住了人们阅读时的好奇心理，精心设计，吸引读者阅读，效果很好。
二、开门见山，高明观点
例：朋友，当你看见一堆堆垃圾高如小山，一条条河流恶臭难闻，一股股有害气体毒害人体时，你的感想如何？我那时是气愤的想大声呼叫：“请关注人类的生存环境吧！”
【技巧点拨】考场上议论文的写作一定要鲜明地亮出自己的观点。写作时开门见山，摆明态度，不失为一种普通但又实用的方法。这篇文章的开头采用设问的方式，一问一答，简洁有力，鲜明地亮出了自己的观点，为下文的展开打下了基础。
三、联想回忆，巧妙叙述
例：独立小院，月光如水，静静地流泻在我的身边，使我感到了心沉水底的清凉，引起了我对你的不尽思念！曾记得也是这样一个月色溶溶的夜晚，我把你送上了开往异乡的列车……小小年纪，孤身一人在异乡奋斗的你，一切还好吗？
【技巧点拨】考试中，常有追忆式文题出现，需要考生追忆过去发生的某一件事。此时不妨联想回忆，引发思绪，着篇文章的开头就导用了这一方法。文中先写月色，由蓉蓉月色引发了我的联想，使我回忆起同样在这样一个夜晚发生的故事，这样开头，洋溢着一种浓郁的情感氛围，利于抒发情感。
四、突出矛盾，渲染气氛 例：“你这书记趁早别当了，半点用也没有！”从学校风尘仆仆赶来的我，离家门还有百米来远，就闻到一股浓浓的火药味，听到了妈妈对爸爸的呵斥声，一种“黑云压城”的感觉猛烈袭上我的心头。妈妈也是多事，爸爸干什么她都要干预一通，搞不好就暴跳如雷。好在爸爸宰相肚里能撑船，每次都是任凭妈妈一阵暴风骤雨过后，才用几句绵里藏针的话收拾残局。今天不知道又为了什么。
【技巧点拨】记叙文的写作要善于制作矛盾，在矛盾中展开故事情节才能吸引人。这篇文章在一开头就抖出一个矛盾冲突。目的是迅速抓住读者的心，引发读者的阅读兴趣。
五、巧用修辞，展示文采
例：爱心是冬日里的一缕阳光，驱散了凛冽的寒霜；爱心是久旱后的一场甘霖，滋润了皲裂的心田；爱心是汪洋中的一个航标，指明了新生的希望。《把爱心带给他人》
例：盈盈月光，我掬一捧最清的；落落余晖，我拥一缕最暖的；灼灼红叶，我拾一片最热的；萋萋芳华，我摘一束最灿的。对人以和，待人用善。《待人和善》
【技巧点拨】修辞是语言运用中不可缺少的部分。巧妙而又贴切的修辞方法的运用能使语言增添许多风采。在考场作文中，考生若能熟练运用修辞方法打靓语言，定能收到良好的效果。
六、描写环境，烘托背景 例：晚风吹过河面上最后一波涟漪，夕阳收起它最后一束余晖，秋霜目送去最后一只归雁。我们默默的站着，目光游离在那若即若离的记忆之门上。当许许多多都已凋尽，我们起码还可以对自己说：“别伤心，我已体验过那种感觉，虽然只是曾经拥有。”
【技巧点拨】环境描写可以渲染气氛，可以衬托人物，可以推动故事情节的发展。如果在文章的开头先进行一段简洁的环境描写，既可以为文章提供一个特定的背景，又能使文章形成一种特殊的氛围，能极大地引发读者的阅读兴趣。
七、广泛引用，突出矛盾 例：“请把我的歌，带回你的家，请把你的微笑留下…….”每当耳边响起这熟悉的旋律，自己就仿佛遇见了多年不见的老朋友一样，感觉格外亲切。《歌声与微笑》
例：“月朦胧，鸟朦胧，帘卷海棠红。”每当我吟诵这句诗，心中便有说不出的陶醉。心也朦胧，眼也朦胧，眼前真个展现了同一幅画来。
【技巧点拨】引用法是一种很常见的文章开头法，引用的内容是很丰富的，若是议论文则常用名人名言以增强论证效果，突出主题。此外，还可以引用古语、谚语、对联等。
精美开头
例《父亲的雨伞，使我感动》
小时候，我最怕突然下大雨的日子，已记不清有多少次，我是多么希望爸爸能来给我送雨伞呀！妈妈工作单
位离得太远，自己回家都经受暴风雨的考验，更不用说来接我了。可爸爸呢？我相信他的工作不会忙到连给我送伞的时间都没有。对此，我几乎不抱任何幻想。记得上学第一次遇上大雨，在我苦苦等待不得已自己跑回家之后，父亲只是笑着摸摸我那湿漉漉的脑袋，说：“很好嘛！自己还是回家了嘛！记住，下雨了，也要勇敢前进啊！”
例《语文的韵味》
开头：游鱼是用肢体传达它们的信息，人类则用语言表达自己的情感。汉语是13亿中国人及诸多海外华人的母语，我们不能没有它。在那次刻骨铭心的活动中，我更加体会到它的神奇。
结尾六法
文章的结尾很重要，它能提炼中心，点明主旨，深化中心，还能收尾呼应完整结构。豹尾六法之一：自然收束式
不论哪种文体的文章，在把内容表达完了之后，自然而然地收束全文，而不去设计意蕴深刻的哲理语句，不去雕琢丰富的象征形体，这样的结尾谓之“日然收束式”。它完全避免了文章画蛇添足、无病呻吟的结尾毛病，显得单纯明快、朴素无华，在中考作文中得到广泛运用。考场作文气氛紧张，竞争激烈，不可能过多地讲究什么“式”什么“法”。只要富于激情，挥洒自如，写到哪里就是哪里，能充分体地表情达意就是一篇好的文章，但讲究“自然”并不意味着随心所欲，马虎草率，而是顺着文章思路发展的自然趋势收束全文。在所学的课文中，这样的例子较多，在此不加赘述。
二、收尾呼应式
结尾与开天要相呼应，写出既呼应开头，又不简单重复的语句，这种结尾的方式是各类文章极常见的收束方法。这种收束方法能唤起读者心理上的美感，产生一种收尾圆合，浑然一体的感觉。如《一件珍贵的衬衫》开头写了：“在我的家里，珍藏着一种白色的的确良衬衫。”结尾写到：“四年来，这件珍贵的衬衫，我精心地收藏着，没有舍得穿它一次。”又如郭沫若先生的《白鹭》一文开头写道：白鹭是一首精巧的诗。结尾又说：“白鹭实在是一首诗，一首韵在骨子里的散文诗。”
三、卒章显志式
这种结尾，就是在文章结束时，以全文的内容为依托，运用间接地语言，把主题思想明确地表达出来，或者在全文即将结尾时，把写作意旨交代清楚，所以这种结尾方法又称“画龙点睛式”如《枣核》结尾写到：“改了国籍，不等于就改了民族感情，而且没有一个民族像我们这么依恋故土的。”又如《谁是最可爱的人》最后一句点题：“你一定会深深的爱我们的战士——他们确实是我们最可爱的人。”
四、名言警句式
用名言、警句、诗句收尾，着意于引申文章，揭示某种人生的真谛。它往往出现在散文、记叙文、杂文的结尾，用三言两语，表述出含义深刻的耐人寻味的哲理或警策性内容，使之深深地印在读者的心中，起到“言已尽，意无穷”的效果。如《驿路梨花》结尾写道：“驿路梨花处处开。”再如《每逢佳节》一文结尾引用了王维的诗《九月九日忆山东兄弟》“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲。遥知兄弟登高处，遍插茱萸少一人。”结尾新颖，感情真挚，点明了思念海外亲人的题旨。
五、抒情议论式
用抒情议论的方式收束文章，能够表达作者心中的情愫，激起读者情感的波澜，引起读者的共鸣，有着强烈的艺术感染力。这种结尾方式主要用于写人记事的记叙文中，也可以用于说明文、议论文的写作。抒情议论式结尾的形式是多种多样的，所以采取这种方式结尾比较自由，好的“抒情议论”式结尾必然油然而生真情，给读者以真实感，充足感。如《花市》的结尾写到：“她笑微微的站在百花丛中，也想一枝花，像一枝挺秀淡雅的兰花吧。”
六、欧.亨利式
欧亨利式结尾，超级震撼心扉。所谓“欧亨利式结尾”，通常指短篇小说大师们常常在文章情节结尾时突然让人物的心理情境发生出人意料的变化，或使主人公命运陡然逆转，出现意想不到的结果，但又在情理之中，符合生活实际，从而造成独特的艺术魅力。这种结尾艺术，在美国作家欧。亨利的作品中有成分的体现。如《麦琪的礼物》中，妻子卖掉自己美丽的秀发，给丈夫买了一条白金表链；可是同时，丈夫却卖掉了祖传的金表，为妻子买了一套昂贵的梳子。这种结尾可以在极短的时间内震撼读者，所以应试作文如果以小小说为文体，欧.亨利式结尾时首先。
精美结尾：
《挫折着，美丽着》
从古至今，那句话仍然长传不衰。人常道，吃一堑，长一智。很多事情我们记得最深刻的的或许不是因为它预示着成功的喜悦，而是挫折给我们的那道刻骨铭心的伤疤。这会是我们千金不易的财富。以后的日子，会时刻教会我们更多的东西，从而为我们赢得更多的收获。
黎明破晓，让我们一起迎接那些困难吧，怀着感恩的心，面对所有的挫折。相信我——你会看到挫折后的美丽。
例《精彩瞬间》
在那以后，我发现生活是绚丽多姿的；在那以后，我发现生活中精彩无处不在；在那以后，我发现生活中的瞬间因精彩而美丽；在那以后，我发现来人世是一种享受——享受精彩的瞬间；在那以后，我发现生命中的本质便是欣赏，欣赏精彩的瞬间……一切一切的变化，只因有精彩瞬间的相伴。
例《冬日抒情》
“冬天来了，春天还会远吗？”这句名诗几十年来不断被人引用，无非是象征着希望。在这透明的冬天里，人们可以用清醒的头脑，认清脚下的路，一步步走，躺着不动或再走弯路，都会推迟希望的现实。
精美开头和结尾 例《黑！黑！黑！》
开头：门外又响起了那熟悉的不能再熟悉的脚步声。我知道那是爸爸。此刻，他正在黑暗中准备着出门的东西，而在别人看来，或许根本就不知道我正享受着别人无法理解的父爱。
结尾：是黑暗告诉了我父爱，是黑暗让我了解了父爱，又是黑暗让我被父爱所感动，让我有了别样的怦然心动的感觉。
我爱黑暗，更爱黑暗中的父爱。例《放心吧，有我们在》
开头：中国的文化，绝版的文化，我们来迟了。
天空，流动着岁月的云。那场火还在烧吗？美得心痛的风景固化为刺，哽在你的咽喉红肿、发炎、结痂。之后，成了不堪回首的耻辱。飞溅的血泪湿透了你最苍白的灵魂，风轻轻的翻阅沉重的黄袍。看，记忆之外的笑容没有了内容！中国的文化，绝版的文化，我们来迟了。
结尾：中国的文化，绝版的文化，请停止你的哀怒，停止你的哭泣，停止你的悲伤，停止你的迷茫，因为有我们在。放心吧，有我们在，你的生命会再度辉煌！放心吧，有我们在，你的精神会带着绚丽！放心吧，有我们在，绝版的你从此不再绝版。
例《架起交流的桥梁》开头：
如果说交流是小草，那么语言就是那和暖的春风，可以让小草更加青壮；如果说交流是黑夜，那么语言就是夜幕中那明亮的繁星，可以让天空更加明朗；如果说交流是风帆，那么语言就是风，可以将人与人之间的小船送到恬静的港湾。
结尾：语言是伟大的，它如温暖的阳光把人与人之间的那座冰山融化，它如和谐的音符把冷漠孤寂的心唤醒，它如湿润的春风般滋润人们的感情。
例《门其实开着》
开头：我终于明白林黛玉和简爱的不同就是，简爱在门内，而黛玉却被关在门外。——题记
我，十六岁，一个梦想缤纷的年龄，却有挥之不去的淡淡的忧伤，见孤雁南飞，便有“无可奈何花落去”的惆怅；见枫叶变红，便有“剪不断，理还乱”的忧思。生活中那扇快乐之门总将我关在门外，独自徘徊，顾影自怜。
结尾：我明白了，于是，我也试着去打开那扇门，当我伸手触到它时，它“吱呀“一声开了，啊，门其实是开着的，只是我一直都没有这股勇气去打开它而已。从此，我开始很快乐的生活，见鸟斜飞天空，便有“俀引诗情到碧霄”的感慨，见草木枯荣，便想起“野火烧不尽，春风吹又生”。我摆脱了林妹妹，和简爱交了好朋友，打开那扇快乐之门，我好幸福。
朋友，你是否也为生活中紧锁的眉、酸涩的泪、徘徊的脚步、断肠的苦酒所羁绊，而迟迟不敢去打开生活中的快乐之门呢？鼓起勇气吧，相信我，门其实是开着的。此刻，我在美的光阴中行走，快乐似一首歌，在我心中浅吟低唱！我愿与你一同分享！哦，门其实是开着的！
例《永不言弃》
开头：努力，并不一定成功；但放弃，则一定会失败。坚持就是胜利，在最后一秒还未到来之前，结果永远在未知的生活中。我们无法回避挫折，只能面对，重要的是在挫折中能坚持到底，永不言弃，直至击败挫折。还记得刘翔永不言弃的速度，中国女排永不言弃的顽强，爱迪生永不言弃的勇气。他们都有一个共同的特点，那就是坚信挫折时人生的考验，这不是看你的技术，而要靠的是毅力，毅力是决定考验成败的关键。这一切都告诉我们，永不言弃是一种品格，更是一种顽强，永不言弃的人总会胜利。
结尾：如果你正在家里舒服的享用美食，享受生活，那么请你抽出时间来想一想：如果没有爱迪生的永不言弃，生活便没有了光明；没有革命志士的永不言弃，我们便没有了幸福；没有科学家的永不言弃，我们便没有了科技…..总之，永不言弃后会是胜利！加油吧！例《爱的传递》开头： 敬爱的老师：
你好！
以前，我是一只迷失方向的蝴蝶，虽然美丽但看不到前景；我是一只柔弱无力的小鸟，虽然有翅膀但无法飞翔。自从遇到了您，我的生活才开始绽放光彩。
你没有常人所赞美的那种甜蜜的微笑，也没有大家所欣赏的那种柔情细语，可在我心里，您的每一个动作，每一句话语，都在传递着爱的暖流。
结尾：您的一句话，让教室顿时响起了热烈的掌声；也是您的那句话，让我感受到了关爱他人的与被人关爱的快乐。一个曾经失落的孩子，就因为您的那一个眼神，那一句话语，真的变成了能够自由飞翔的天使。俗话说，滴水之恩，当涌泉相报。老师的这份特别的关爱，一定会在我心中酿出香醇的心灵之泉。
例《感谢他们》
开头：繁华的街道车水马龙，行人匆匆，时间如飘散的烟花，纷乱得让人有些措手不及。我从不奢望在生活这个复杂的魔方中索取什么，但生活赐给我的已经足够多，并让我学会了感恩。感激生活赐于我的那些昂贵、动心、永久的礼物…..结尾：是的，停止抱怨的生活、工作或是身边的人吧，当你真正怀揣着感恩的心去生活，你会发现一切都是那么美好；感谢亲爱的父母给你做的早餐，感谢大自然给予我们的阳光和雨露，感谢老师教会了你知识，甚至感谢你的对手让你克服了又一个困难……在逆境中怀揣着感恩的心，明天就会更加美好。
命题、半命题作文的写作方法和技巧
1、审题指导
审准题意，明确题目的范围及重点，找准题眼。题眼就是文题中最关键的标明限制成分的词语和写作内容的“重心”，它不仅反映着文章的主题，决定着文章的内容，而且也决定着文章的结构和主题思想的深度。
如果文题是偏正式结构，题眼一般是修饰语，处于中心词位置的词，直接规定写作的内容与角度；而修饰成分的词语往往影响着选材。例如《我的自画像》“题眼是“我的”，限制了写作的范围“只能写我”；“画像”规定了写作的内容，是对自己的身材、容貌、服饰、打扮及表情、仪态、风度等展开肖像描写。
如果问题是主谓结构，题眼一般是谓语，如《我是靓女》，题眼应是“靓女”修饰语“我”规定着选材的范围，必须写我，否则就跑题了。
如果文题是动宾结构，题眼一般是动词，如《观察镜中的我》题眼应是“观察”，重点写“观察”到的我的
“肖像，包括五官和气质。
如果文题是“记。。”“谈。。”“小议。。。”题眼应该在后面的关键词上。如果题目是一个词，它本身就是题眼，如《他》，这时我们大题小做，以小见大，小处落笔才有的可写，才能写具体，可写成“中学时期的他”“现在的他”“他的性格、兴趣爱好，思想品质”等。
审出题目中的关键词或中心词。如果半命题作文往往要提供一些填写的词语，可以从中选择一个词，如果在提供的词语后面打上省略号或出现“等等”字样，则暗示你可以用提供的词语，可以用未提供的词语。力求新颖别致而且自己能写的出彩。
2、确立主旨
确立主旨就是要确立一篇文章的中心，也就是我们通常所说的“立意”。我们无论写哪一种文体，都应在立意上下功夫。其要求是要鲜明、健康、新颖、深刻。鲜明就是文章要歌颂什么，批判什么，主张什么，反对什么应该旗帜鲜明，不能模棱两可，健康就是要保证文章的思想观点和感情的正确，要有正能量，要体现出一定的思想意义，能给读者以鼓舞和启迪。新颖就是立意要跳出陈旧的框框，不能老生常谈，要言人之未能言。深刻就是要通过现象看本质，挖掘出文中深广的意蕴，以增强文章的穿透力和厚重感。
立意要把大题化小，以小见大去表现主题，内容才不会空洞，才有话可说。
如《走过》这个话题，我们可把内容写成“从语文老师身边走过”走过我初中的教室，走过数学上的难题，走过奶奶的菜地。如——来了，可写成老师家访来了
中考来了
乡下的爷爷来了等
3、选好材料
（1）选精当的材料。材料是为了表现文章中心，所以材料不能游离主题，主题是一篇文章的灵魂，选材一定要契合文章的主题；选材不能胡编乱造，要力求真实，“真情实感”是文章的第一生命力，如果你没有充实的材料，你可以把别人的事借来写，把几个人的事集中到一个人来写。
（2）选材要新颖
见教材412独辟蹊径8题
要学会独辟蹊径，写别人想不到的事，做到人无我有，人有我新。还要有时代感。（3）选材要积极健康
应当以健康积极的内容，去讴歌生活中的真善美，不能揭露社会国家生活中的假恶丑，如赌博，抢劫，吸毒，迷恋网络，早恋等
4、形式创新见材料P428页
同一个作文内容，我们把形式创新了，就像给作文穿上了一件华美的外衣 运用题记、书信体、日记体、网络体（贴吧留言）、小标题串联，童话体，微型小说，镜头、片段，还可以在行文中巧用排比段，在段落间有一个固定结构的句子反复使用，都能为你的作文增分。
作文的语言：语言表达要灵活，做到准确，流畅，要有自己的个性，或生动优美，或善用修辞，或广泛引用，或幽默诙谐，或真挚朴实，或刻画人物细腻传神，惟妙惟肖，要注意表达方式的综合运用。文章的结构： 书写
对话日记、重点观察一个人的语言，反映一个人的性格特征或思想品质 观察日记：写春夏秋冬，建筑物，或教师，校园等 日记体作文：如写母爱，友谊，自我成长变化等
写人的记叙文：父母，老师，同学，陌生人等，综合运用描写人物的方法：外貌、动作，语言，神态心理等，抓住一件或几件典型事例反映一个人的性特征，思想品质等
写事的记叙文：六要素，重点把事情的起因、经过、结果写详细，更要写出自己的感受，表达方式要综合运用
写随感作文：读后感、有一件事引发的感想，人物描写：
人物描写是记叙文的重头戏，学生在作文过程中往往由于缺少“人物描写”的意识，故使人物形象显得干瘪乏味，苍白无力，而要想使文章中的人物栩栩如生，如在眼前，就要学会人物描写，包括肖像、语言、动作、心理描写。人物描写有突出人物的性格特征，增强形象的感染力作用；有推动故事情节、突出文章主旨的作用；有增强语言生动性的作用。写作时，要强化人物描写意识，以给读者如历其事、如见其人、如闻其声之感。
肖像描写
1、点睛之法：是指通过描写人物的眼睛来揭示人物的性格特征和内心活动的一种肖
像描写的方法。
2、画脸之法。脸是人物内心世界的阴晴表，它像一面镜子，能映照出人物的内心世界，喜怒哀乐、愁苦悲忧都能在脸上反映出来。成功的面部表情和神色状态描写能使人物形象更鲜明、生动，使人物个性更突出。此外，还可以抓住人物的发型、皱纹、脸型、嘴巴、鼻子、酒窝等方面典型的特征。
3、描摹服饰。服饰反映着人物的身份、性格与境遇。抓住人物衣着与众不同的地方，往往能写出新意，跟人留下深刻印象
4、简笔勾勒，即用简单而夸张的手法对人物的肖像特征做放大处理，以达到幽默、诙谐的效果。如《藤野先生》中：“头顶上盘着大辫子，顶的学生制帽的顶上高高耸起，形成一座富士山，也有解散辫子，盘的平的，除下帽来，油光可鉴，宛如小姑娘的发髻一般，还要将脖子扭几扭，实在标志极了。抓住大辫子这一外貌，把清国留学生无救国之志描绘的入木三分。
5、巧用修辞。如《安塞腰鼓》“他们朴实的就像那片高粱”《老王》中“说的可笑些，他简直像棺材里倒出来的，就像我想象里的僵尸，骷髅上绷着一层枯黄的干皮，打上一棍就会散成一堆白骨”把老王行将就木的样子刻画的惟妙惟肖。
细节描写：细节是文章的血肉，缺少细节描写就像一具空壳和骨架。动作，心理，语言，见教材p363
第三篇：高数一讲义第四章
4．1微分中值定理
一、罗尔定理
1、罗尔定理
二、拉格朗日（Lagrange）中值定理
小结：
4．2洛必达法则
一、基本类型的未定式0/0 ∞∞
二、其它类型的未定式
小结：
注意：
4．3函数的单调性
一、从几何图形上看函数的单调性
二、函数单调性的差别法
三、利用函数的单调性可证明不等式
小结：
4．4曲线的凹凸性与拐点
一、引例
小结：
4．5函数的极值与最值
一、函数的极值
二、函数的最大值与最小值
小结：
4．6渐近线
1． 曲线的水平渐近线：
2、曲线的竖直渐近线
第四篇：小学奥数学习资料(完整讲义)
第一讲 观察法
————————————————姚老师数学乐园
广安岳池 姚文国
在解答数学题时，第一步是观察。观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。
观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。
观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。
*例1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学
第二册，第11页中的一道思考题。书中除图1-1的图形外没有文字说明。这道题旨在引导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。这时儿童已经学过20以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字18。实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。
解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。从横中行10+6+□=18会想到，18-10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入2（图1-2）。从竖右列7+2+□=18（图1-2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格中应填入9（图1-3）。
从正方形对角线上的9+6+□=18（图1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中应填入3（图1-4）。
从正方形对角线上的7+6+□=18（图1-3）会想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中应填入5（图1-4）。
从横上行3+□+7=18（图1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入8（图1-5）。
又从横下行5+□+9=18（图1-4）会想到，18-5-9=4，在横下行中间的小方格中应填入4（图1-5）。
图1-5是填完数字后的幻方。
例2 看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。（适于二年级程度）6、16、26、____、____、____、____。9、18、27、____、____、____、____。80、73、66、____、____、____、____。
解：观察6、16、26这三个数可发现，6、16、26的排列规律是：16比6大10，26比16大10，即后面的每一个数都比它前面的那个数大10。观察9、18、27这三个数可发现，9、18、27的排列规律是：18比9大9，27比18大9，即后面的每一个数都比它前面的那个数大9。观察80、73、66这三个数可发现，80、73、66的排列规律是：73比80小7，66比73小7，即后面的每一个数都比它前面的那个数小7。
这样可得到本题的答案是： 6、16、26、36、46、56、66。9、18、27、36、45、54、63。80、73、66、59、52、45、38。
例3 将1～9这九个数字填入图1-6的方框中，使图中所有的不等号均成立。（适于三年级程度）
解：仔细观察图中不等号及方框的排列规律可发现：只有中心的那个方框中的数小于周围的四个数，看来在中心的方框中应填入最小的数1。再看它周围的方框和不等号，只有左下角的那个方框中的数大于相邻的两个方框中的数，其它方框中的数都是一个比一个大，而且方框中的数是按顺时针方向排列越来越小。所以，在左下角的那个方框中应填9，在它右邻的方框中应填2，在2右面的方框中填3，在3上面的方框中填4，以后依次填5、6、7、8。
图1-7是填完数字的图形。
例4 从一个长方形上剪去一个角后，它还剩下几个角？（适于三年级程度）解：此题不少学生不加思考就回答：“一个长方形有四个角，剪去一个角剩下三个角。”
我们认真观察一下，从一个长方形的纸上剪去一个角，都怎么剪？都是什么情况？
（1）从一个角的顶点向对角的顶点剪去一个角，剩下三个角（图1-8）。（2）从一个角的顶点向对边上任意一点剪去一个角，剩下四个角（图1-9）。（3）从一个边上任意一点向邻边上任意一点剪去一个角，剩下五个角（图1-10）。
例5 甲、乙两个人面对面地坐着，两个人中间放着一个三位数。这个三位数的每个数字都相同，并且两人中一个人看到的这个数比另一个人看到的这个数大一半，这个数是多少？（适于三年级程度）
解：首先要确定这个三位数一定是用阿拉伯数字表示的，不然就没法考虑了。甲看到的数与乙看到的数不同，这就是说，这个三位数正看、倒看都表示数。在阿拉伯数字中，只有0、1、6、8、9这五个数字正看、倒看都表示数。这个三位数在正看、倒看时，表示的数值不同，显然这个三位数不能是000，也不能是111和888，只可能是666或999。
如果这个数是666，当其中一个人看到的是666时，另一个人看到的一定是999，999-666=333，333正好是666的一半。所以这个数是666，也可以是999。*例6 1966、1976、1986、1996、2006这五个数的总和是多少？（适于三年级程度）
解：这道题可以有多种解法，把五个数直接相加，虽然可以求出正确答案，但因数字大，计算起来容易出错。
如果仔细观察这五个数可发现，第一个数是1966，第二个数比它大10，第三个数比它大20，第四个数比它大30，第五个数比它大40。因此，这道题可以用下面的方法计算：
1966+1976+1986+1996+2006 =1966×5+10×（1+2+3+4）=9830+100 =9930 这五个数还有另一个特点：中间的数是1986，第一个数1966比中间的数1986小20，最后一个数2006比中间的数1986大20，1966和2006这两个数的平均数是1986。1976和1996的平均数也是1986。这样，中间的数1986是这五个数的平均数。所以，这道题还可以用下面的方法计算： 1966+1976+1986+1996+2006 =1986×5 =9930 例7 你能从400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16中得到启发，很快算出（1）600÷25（2）900÷25（3）1400÷25（4）1800÷25（5）7250÷25的得数吗？（适于四年级程度）
解：我们仔细观察一下算式：
400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16
不难看出，原来的被除数和除数都乘以4，目的是将除数变成1后面带有0的整百数。这样做的根据是“被除数和除数都乘以一个相同的数（零除外），商不变”。
进行这种变化的好处就是当除数变成了1后面带有0的整百数以后，就可以很快求出商。按照这个规律，可迅速算出下列除法的商。
（1）600÷25（2）900÷25
=（600×4）÷（25×4）=（900×4）÷（25×4）=600×4÷100 =900×4÷100 =24 =36（3）1400÷25（4）1800÷25 =（1400×4）÷（25×4）=（1800×4）÷（25×4）=1400×4÷100 =1800×4÷100 =56 =72（5）7250÷25
=（7250×4）÷（25×4）=29000÷100 =290 *例8 把1～1000的数字如图1-11那样排列，再如图中那样用一个长方形框框出六个数，这六个数的和是87。如果用同样的方法（横着三个数，竖着两个数）框出的六个数的和是837，这六个数都是多少？（适于五年级程度）解：（1）观察框内的六个数可知：第二个数比第一个数大1，第三个数比第一个数大2，第四个数比第一个数大7，第五个数比第一个数大8，第六个数比第一个数大9。
假定不知道这几个数，而知道上面观察的结果，以及框内六个数的和是87，要求出这几个数，就要先求出六个数中的第一个数：
（87-1-2-7-8-9）÷6 ＝60÷6 =10 求出第一个数是10，往下的各数也就不难求了。
因为用同样的方法框出的六个数之和是837，这六个数之中后面的五个数也一定分别比第一个数大1、2、7、8、9，所以，这六个数中的第一个数是：
（837-1-2-7-8-9）÷6 ＝810÷6 =135 第二个数是：135+1=136 第三个数是：135+2=137 第四个数是：135+7=142 第五个数是：135+8=143 第六个数是：135+9=144 答略。
（2）观察框内的六个数可知：①上、下两数之差都是7；②方框中间坚行的11和18，分别是上横行与下横行三个数的中间数。
11=（10+11+12）÷3 18=（17+18+19）÷3
所以上横行与下横行两个中间数的和是：
87÷3＝29 由此可得，和是837的六个数中，横向排列的上、下两行两个中间数的和是：
837÷3＝279 因为上、下两个数之差是7，所以假定上面的数是x，则下面的数是x+7。x+（x+7）=279 2x+7=279 2x=279-7 =272 x=272÷2 =136 x+7=136+7 =143 因为上一横行中间的数是136，所以，第一个数是：136-1=135 第三个数是：135+2=137 因为下一横行中间的数是143，所以，第四个数是：143-1=142 第六个数是：142+2=144 答略。*例9 有一个长方体木块，锯去一个顶点后还有几个顶点？（适于五年级程度）
解：（1）锯去一个顶点（图1-12），因为正方体原来有8个顶点，锯去一个顶点后，增加了三个顶点，所以，8-1+3=10 即锯去一个顶点后还有10个顶点。
（2）如果锯开的截面通过长方体的一个顶点，则剩下的顶点是8-1+2=9（个）（图1-13）。
（3）如果锯开的截面通过长方体的两个顶点，则剩下的顶点是8-1+1=8（个）（图1-14）。
（4）如果锯开的截面通过长方体的三个顶点，则剩下的顶点是8-1=7（个）（图1-15）。
例10 将高都是1米，底面半径分别是1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体（图1-16），求这个物体的表面积S。（适于六年级程度）
解：我们知道，底面半径为γ，高为h的圆柱体的表面积是2πγ+2πγh。
2本题的物体由三个圆柱组成。如果分别求出三个圆柱的表面积，再把三个圆柱的表面积加在一起，然后减去重叠部分的面积，才能得到这个物体的表面积，这种计算方法很麻烦。这是以一般的观察方法去解题。如果我们改变观察的方法，从这个物体的正上方向下俯视这个物体，会看到这个物体上面的面积就像图1-17那样。这三个圆的面积，就是底面半径是1.5米的那个圆柱的底面积。所以，这个物体的表面积，就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。
（2π×1.5+2π×1.5×1）+（2π×1×1）+（2π×0.5×1）2=（4.5π+3π）+2π+π =7.5π+3π =10.5π =10.5×3.14 =32.97（平方米）答略。
*例11 如图1-18所示，某铸件的横截面是扇形，半径是15厘米，圆心角是72°，铸件长20厘米。求它的表面积和体积。（适于六年级程度）
解：遇到这样的题目，不但要注意计算的技巧，还要注意观察的全面性，不可漏掉某一侧面。图1-18表面积中的一个长方形和一个扇形就容易被漏掉，因而在解题时要仔细。
求表面积的方法1：
＝3.14×45×2+600+120×3.14 =3.14×90+3.14×120+600 =3.14×（90+120）+600 =659.4+600 =1259.4（平方厘米）求表面积的方法2：
=3.14×210+600 =659.4+600 =1259.4（平方厘米）铸件的体积：
=3.14×225×4 =3.14×900 =2826（立方厘米）答略。
第二讲 尝试法
解应用题时，按照自己认为可能的想法，通过尝试，探索规律，从而获得解题方法，叫做尝试法。尝试法也叫“尝试探索法”。
一般来说，在尝试时可以提出假设、猜想，无论是假设或猜想，都要目的明确，尽可能恰当、合理，都要知道在假设、猜想和尝试过程中得到的结果是什么，从而减少尝试的次数，提高解题的效率。
例1 把数字3、4、6、7填在图2-1的空格里，使图中横行、坚列三个数相加都等于14。（适于一年级程度）
解：七八岁的儿童，观察、总结、发现规律的能力薄弱，做这种填空练习，一般都感到困难。可先启发他们认识解此题的关键在于试填中间的一格。中间一格的数确定后，下面一格的数便可由竖列三个数之和等于14来确定，剩下的两个数自然应填入左右两格了。
中间一格应填什么数呢？
先看一个日常生活中的例子。如果我们要从一种月刊全年的合订本中找到第六期的第23页，我们一定要从合订本大约一半的地方打开。要是翻到第五期，就要再往后翻；要是翻到第七期、第八期，就要往前翻。找到第六期后，再往接近第23页的地方翻，„„
这样反复试探几次，步步逼近，最后就能找到这一页。这就是在用“尝试法”解决问题。
本题的试数范围是3、4、6、7四个数，可由小至大，或由大至小依次填在中间的格中，按“横行、竖列三个数相加都得14”的要求来逐个尝试。
如果中间的格中填3，则竖列下面的一格应填多少呢？因为14-5-3=6，所以竖列下面的一格中应填6（图2-2）。下面就要把剩下的4、7，分别填入横行左右的两个格中（图2-3）。把横行格中的4、3、7三个数加起来，得14，合乎题目要求。
如果中间一格填
4、或填6、7都不合乎题目的要求。所以本题的答案是图2-3或图2-4。
例2 把1、2、3„„11各数填在图2-5的方格里，使每一横行、每一竖行的数相加都等于18。（教科书第四册第57页的思考题，适于二年级程度）
解：图2-5中有11个格，正好每一格填写一个数。
图2-6中写有A、B、C的三个格中的三个数，既要参加横向的运算，又要参加纵向的运算，就是说这三个数都要被用两次。因此，确定A、B、C这三个数是解此题的关键。
因为1～11之中中间的三个数是5、6、7，所以，我们以A、B、C分别为5、6、7开始尝试（图2-7）。
以6为中心尝试，看6上、下两个格中应填什么数。因为18-6=12，所以6上、下两格中数字的和应是12。
考虑6已是1～11之中中间的数，那么6上、下两格中的数应是1～11之中两头的数。再考虑6上面的数还要与5相加，6下面的数还要与7相加，5比7小，题中要求是三个数相加都等于18，所以在6上面的格中填11，在6下面的格中填1（图2-8）。
6+11+1=18 看图2-8。6上面的数是11，11左邻的数是5，18-11-5=2，所以5左邻的数是2（图2-9）。
再看图2-8。6下面的数是1，1右邻的数是7，18-1-7=10，所以7右邻的数是10（图2-9）。
现在1～11之中只剩下3、4、8、9这四个数，图2-9中也只剩下四个空格。在5的上、下，在7的上、下都应填什么数呢？
因为18-5=13，所以5上、下两格中数字的和应是13，3、4、8、9这四个数中，只有4+9=13，所以在5的上、下两格中应填9与4（图2-10）。
看图2-10。因为6左邻的数是4，18-4-6=8，所以6右邻的数是8。因为18-7-8=3，并且1-11的数中，只剩下3没有填上，所以在7下面的格中应填上3。
图2-10是填完数字的图形。
*例3 在9只规格相同的手镯中混有1只较重的假手镯。在一架没有砝码的天平上，最多只能称两次，你能把假手镯找出来吗？（适于三年级程度）
解：先把9只手镯分成A、B、C三组，每组3只。
①把A、B两组放在天平左右两边的秤盘上，如果平衡，则假的1只在C组里；若不平衡，则哪组较重，假的就在哪组里。
②再把有假手镯的那组中的两只分别放在天平的左右秤盘上。如果平衡，余下的1只是假的；若不平衡，较重的那只是假的。*例4 在下面的15个8之间的任何位置上，添上+、-、×、÷符号，使得下面的算式成立。（适于三年级程度）8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1986 解：先找一个接近1986的数，如：8888÷8+888=1999。
1999比1986大13。往下要用剩下的7个8经过怎样的运算得出一个等于13的算式呢？88÷8=11，11与13接近，只差2。
往下就要看用剩下的4个8经过怎样的运算等于2。8÷8+8÷8=2。把上面的思路组合在一起，得到下面的算式： 8888÷8+888-88÷8-8÷8-8÷8=1986
例5 三个连续自然数的积是120，求这三个数。（适于四年级程度）解：假设这三个数是2、3、4，则：
2×3×4=24
24＜120，这三个数不是2、3、4； 假设这三个数是3、4、5，则：
3×4×5＝60 60＜120，这三个数不是3、4、5； 假设这三个数是4、5、6，则：
4×5×6=120 4、5、6的积正好是120，这三个数是4、5、6。例6 在下面式子里的适当位置上加上括号，使它们的得数分别是47、75、23、35。（适于四年级程度）
（1）7×9+12÷3-2＝47（2）7×9+12÷3-2=75（3）7×9+12÷3-2=23（4）7×9+12÷3-2=35 解：本题按原式的计算顺序是先做第二级运算，再做第一级运算，即先做乘除法而后做加减法，结果是： 7×9+12÷3-2 =63+4-2 =65 “加上括号”的目的在于改变原来的计算顺序。由于此题加中括号还是加小括号均未限制，因此解本题的关键在于加写括号的位置。可以从加写一个小括号想起，然后再考虑加写中括号。如：
（1）7×7=49，再减2就是47。这里的第一个数7是原算式中的7，要减去的2是原算式等号前的数，所以下面应考虑能否把9+12÷3通过加括号后改成得7的算式。经过加括号，（9+12）÷3=7，因此：
7×[（9+12）÷3]-2=47 因为一个数乘以两个数的商，可以用这个数乘以被除数再除以除数，所以本题也可以写成：
7×（9+12）÷3-2=47（2）7×11=77，再减2就得75。这里的7是原算式中的第一个数，要减去的2是等号前面的数。下面要看9+12÷3能不能改写成得11的算式。经尝试9+12÷3不能改写成得11的算式，所以不能沿用上一道题的解法。7×9+12得75，这里的7、9、12就是原式中的前三个数，所以只要把3-2用小括号括起来，使7×9+12之和除以1，问题就可解决。由此得到：
（7×9+12）÷（3-2）=75 因为（3-2）的差是1，所以根据“两个数的和除以一个数，可以先把两个加数分别除以这个数，然后把两个商相加”这一运算规则，上面的算式又可以写成：
7×9+12÷（3-2）=75 在上面的这个算式中，本应在7×9的后面写上“÷（3-2）”，因为任何数除以1等于这个数本身，为了适应题目的要求，不在7×9的后写出“÷（3-2）”。（3）25-2=23，这个算式中，只有2是原算式等号前的数，只要把7×9+12÷3改写成得25的算式，问题就可解决。又因为7×9+12=75，75÷3=25，所以只要把7×9+12用小括号括起来，就得到题中所求了。
（7×9+12）÷3-2=23（4）7×5=35，7是原算式中的第一个数，原算式中的 9+12÷3-2能否改写成得5的算式呢？因为 7-2=5，要是9+12÷3能改写成得7的算式就好了。经改写为（9+12）÷3=7，因此问题得到解决。题中要求的算式是：
7×[（9+12）÷3-2]=35 *例7 王明和李平一起剪羊毛，王明剪的天数比李平少。王明每天剪20只羊的羊毛，李平每天剪12只羊的羊毛。他俩共剪了112只羊的羊毛，两人平均每天剪14只羊的羊毛。李平剪了几天羊毛？（适于四年级程度）
解：王明、李平合在一起，按平均每天剪14只羊的羊毛计算，一共剪的天数是：
112÷14=8（天）
因为王明每天剪20只，李平每天剪12只，一共剪了112只，两人合起来共剪了8天，并且李平剪的天数多，所以假定李平剪了5天。则：
12×5+20×（8-5）=120（只）
120＞112，李平不是剪了5天，而是剪的天数多于5天。假定李平剪了6天，则：
12×6+20×（8-6）=112（只）
所以按李平剪6天计算，正满足题中条件。答：李平剪了6天。
*例8 一名学生读一本书，用一天读80页的速度，需要5天读完，用一天读90页的速度，需要4天读完。现在要使每天读的页数跟能读完这本书的天数相等，每天应该读多少页？（适于五年级程度）
解：解这道题的关键是要求出一本书的总页数。因为每天读的页数乘以读的天数等于一本书的总页数，又因为每天读的页数与读完此书的天数相等，所以知道了总页数就可以解题了。
根据“用一天读80页的速度，需要5天读完”，是否能够认为总页数就是 80×5=400（页）呢？不能。
因为5天不一定每天都读80页，所以只能理解为：每天读80页，读了4天还有余下的，留到第五天才读完。这也就是说，这本书超过了80×4=320（页），最多不会超过：
90×4=360（页）根据以上分析，可知这本书的页数在321～360页之间。知道总页数在这个范围之内，往下就不难想到什么数自身相乘，积在321～360之间。
因为17×17=289，18×18=324，19×19=361，324在321～360之间，所以只有每天读18页才符合题意，18天看完，全书324页。
答：每天应该读18页。
*例9 一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。这个数有许多约数是两位数。这些两位数的约数中，最大的是几？（适于六年级程度）
解：两位数按从大到小的顺序排列为： 99、98、97、96„„
11、10 以上两位数分解后，它的质因数只能是2、3、5、7，并且在它的质因数分解中2的个数不超过5，3的个数不超过3，5的个数不超过2，7的个数不超过1。
经尝试，99不符合要求，因为它有质因数11；98的分解式中有两个7，也不符合要求；质数97当然更不会符合要求。而，96=2×2×2×2×2×3
所以在这些两位数的约数中，最大的是96。答略。
*例10 从一个油罐里要称出6千克油来，但现在只有两个桶，一个能容4千克，另一个能容9千克。求怎样才能称出这6千克油？（适于六年级程度）
解：这道题单靠计算不行，我们尝试一些做法，看能不能把问题解决。已知大桶可装9千克油，要称出6千克油，先把能容9千克油的桶倒满，再设法倒出9千克油中的3千克，为达到这一目的，我们应使小桶中正好有1千克油。
怎样才能使小桶里装1千克油呢？（1）把能容9千克油的大桶倒满油。
（2）把大桶里的油往小桶里倒，倒满小桶，则大桶里剩5千克油，小桶里有4千克油。
（3）把小桶中的4千克油倒回油罐。（4）把大桶中剩下的油再往小桶里倒，倒满小桶，则大桶里剩下1千克油。（5）把小桶中现存的4千克油倒回油罐。此时油罐外，只有大桶里有1千克油。
（6）把大桶中的1千克油倒入小桶。（7）往大桶倒满油。
（8）从大桶里往有1千克油的小桶里倒油，倒满。（9）大桶里剩下6千克油。
第三讲 列举法
解应用题时，为了解题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一一列举出来加以分析、解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析、解决问题的方法叫做列举法。列举法也叫枚举法或穷举法。
用列举法解应用题时，往往把题中的条件以列表的形式排列起来，有时也要画图。
例1 一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？（适于三年级程度）
解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。
个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。
10+10=20（个）
答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。
*例2 从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走法？（适于三年级程度）
解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。
第一种走法：A ① B ④ C 第二种走法：A ① B ⑤ C 第三种走法：A ② B ④ C 第四种走法：A ② B ⑤ C 第五种走法：A ③ B ④ C 第六种走法：A ③ B ⑤ C
答：从A市经过B市到C市共有6种走法。*例3 9○13○7=100 14○2○5=□
把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几？（适于四年级程度）
解：把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。
先看第一个式子：9○13○7=100
如果在两个圆圈内填上“÷”号，等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆圈内仅填“+”、“-”号，等式右端得出的数也小于100，所以在两个圆圈内不能同时填“÷”号，也不能同时填“+”、“-”号。
要是在等式的一个圆圈中填入“×”号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110，未凑出100。如果在两个圈中分别填入“+”和“×”号，就会凑出100了。
9+13×7=100
再看第二个式子：14○2○5=□
上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下“÷”号和“-”号了。如果在第一个圆圈内填上“÷”号，14÷2得到整数，所以：
14÷2-5=2 即长方形中的数是2。*例4 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？（适于四年级程度）
解：（1）数码一共有10个：0、1、2„„
8、9。0不能用于表示页码，所以页码是一位数的页有9页，用数码9个。
（2）页码是两位数的从第10页到第99页。因为99-9=90，所以，页码是两位数的页有90页，用数码：
2×90=180（个）
（3）还剩下的数码：
1890-9-180=1701（个）
（4）因为页码是三位数的页，每页用3个数码，100页到999页，999-99=900，而剩下的1701个数码除以3时，商不足600，即商小于900。所以页码最高是3位数，不必考虑是4位数了。往下要看1701个数码可以排多少页。
1701÷3=567（页）
（5）这本书的页数：
9+90+567=666（页）
答略。
*例5 用一根80厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽都要是5的倍数。哪一种方法围成的长方形面积最大？（适于四年级程度）
解：要知道哪种方法所围成的面积最大，应将符合条件的围法一一列举出来，然后加以比较。因为长方形的周长是80厘米，所以长与宽的和是40厘米。列表3-1：
表3-1
表3-1中，长、宽的数字都是5的倍数。因为题目要求的是哪一种围法的长方形面积最大，第四种围法围出的是正方形，所以第四种围法应舍去。
前三种围法的长方形面积 分别是：
35×5=175（平方厘米）30×10=300（平方厘米）25×15=375（平方厘米）
答：当长方形的长是25厘米，宽是15厘米时，长方形的面积最大。例6 如图3-2，有三张卡片，每一张上写有一个数字1、2、3，从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的质数都写出来。（适于五年级程度）
解：任意抽一张，可得到三个一位数：1、2、3，其中2和3是质数； 任意抽两张排列，一共可得到六个不同的两位数：12、13、21、23、31、32，其中 13、23和 31是质数；
三张卡片可排列成六个不同的三位数，但每个三位数数码的和都是1+2+3=6，即它们都是3的倍数，所以都不是质数。
综上所说，所能得到的质数是2、3、13、23、31，共五个。
*例7 在一条笔直的公路上，每隔10千米建有一个粮站。一号粮站存有10吨粮食，2号粮站存有20吨粮食，3号粮站存有30吨粮食，4号粮站是空的，5号粮站存有40吨粮食。现在要把全部粮食集中放在一个粮站里，如果每吨1千米的运费是0.5元，那么粮食集中到第几号粮站所用的运费最少（图3-3）？（适于五年级程度）
解：看图3-3，可以断定粮食不能集中在1号和2号粮站。下面将运到3号、4号、5号粮站时所用的运费一一列举，并比较。（1）如果运到3号粮站，所用运费是：
0.5×10×（10+10）+0.5×20×10+0.5×40×（10+10）=100+100+400 =600（元）
（2）如果运到4号粮站，所用运费是：
0.5×10×（10+10+10）+0.5×20×（10+10）+0.5×30×10+0.5×40×10 =150+200+150+200 =700（元）
（3）如果运到5号粮站，所用费用是：
0.5×10×（10+10+10+10）+0.5×20×（10+10+10）+0.5×30×（10+10）=200+300+300 =800（元）800＞700＞600 答：集中到第三号粮站所用运费最少。
*例8 小明有10个1分硬币，5个2分硬币，2个5分硬币。要拿出1角钱买1支铅笔，问可以有几种拿法？用算式表达出来。（适于五年级程度）
解：（1）只拿出一种硬币的方法： ①全拿1分的：
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1（角）
②全拿2分的：
2+2+2+2+2=1（角）
③全拿5分的：
5+5=1（角）
只拿出一种硬币，有3种方法。（2）只拿两种硬币的方法： ①拿8枚1分的，1枚2分的：
1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角）
②拿6枚1分的，2枚2分的：
1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）
③拿4枚1分的，3枚2分的：
1+1+1+1+2+2+2=1（角）
④拿2枚1分的，4枚2分的：
1+1+2+2+2+2=1（角）
⑤拿5枚1分的，1枚5分的：
1+1+1+1+1+5=1（角）
只拿出两种硬币，有5种方法。（3）拿三种硬币的方法：
①拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：
1+1+1+2+5=1（角）
②拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：
1+2+2+5=1（角）
拿出三种硬币，有2种方法。共有：
3+5+2=10（种）
答：共有10种拿法。
*例9 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。问小强赛了几盘？（适于五年级程度）
解：作表3-2。表3-2
甲已经赛了4盘，就是甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘，在甲与乙、丙、丁、小强相交的那些格里都打上√；乙赛的盘数，就是除了与甲赛的那一盘，又与丙和小强各赛一盘，在乙与丙、小强相交的那两个格中都打上√；丙赛了两盘，就是丙与甲、乙各赛一盘，打上√；丁与甲赛的那一盘也打上√。
丁未与乙、丙、小强赛过，在丁与乙、丙与小强相交的格中都画上圈。根据条件分析，填完表格以后，可明显地看出，小强与甲、乙各赛一盘，未与丙、丁赛，共赛2盘。
答：小强赛了2盘。
*例10 商店出售饼干，现存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的，一位顾客要买9千克饼干，为了便于携带要求不开箱。营业员有多少种发货方式？（适于五年级程度）
解：作表3-3列举发货方式。表3-3
答：不开箱有7种发货方式。
*例11 运输队有30辆汽车，按1～30的编号顺序横排停在院子里。第一次陆续开走的全部是单号车，以后几次都由余下的第一辆车开始隔一辆开走一辆。到第几次时汽车全部开走？最后开走的是第几号车？（适于五年级程度）解：按题意画出表3-4列举各次哪些车开走。表3-4
从表3-4中看得出，第三次开走后剩下的是第8号、16号、24号车。按题意，第四次8号、24号车开走。到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第16号车。
答：到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第16号车。
*例12 在甲、乙两个仓库存放大米，甲仓存90袋，乙仓存50袋，甲仓每次运出12袋，乙仓每次运出4袋。运出几次后，两仓库剩下大米的袋数相等？（适于五年级程度）
解：根据题意列表3-5。表3-5
从表3-5可以看出，原来甲乙两仓库所存大米相差40袋；第一次运走后，两仓剩下的大米相差78-46=32（袋）；第二次运走后，两仓剩下的大米相差66-42=24（袋）；第三次运走后，两仓剩下的大米相差54-38=16（袋）；第四次运走后，两仓剩下的大米相差42-34=8（袋）；第五次运走后，两仓剩下的大米袋数相等。40-32=8 32-24=8 24-16=8 „„
从这里可以看出，每运走一次，两仓库剩下大米袋数的相差数就减少8袋。由此可以看出，两仓库原存大米袋数的差，除以每次运出的袋数差就得出运几次后两个仓库剩下大米的袋数相等。
（90-50）÷（12-4）=5（次）
答：运出5次后两个仓库剩下大米的袋数相等。
*例13 有三组小朋友共72人，第一次从第一组里把与第二组同样多的人数并入第二组；第二次从第二组里把与第三组同样多的人数并入第三组；第三次从第三组里把与第一组同样多的人数并入第一组。这时，三组的人数一样多。问原来各组有多少个小朋友？（适于五年级程度）
解：三个小组共72人，第三次并入后三个小组人数相等，都是72÷3=24（人）。在这以前，即第三组未把与第一组同样多的人数并入第一组时，第一组应是24÷2=12（人），第三组应是（24+12）=36（人），第二组人数仍为24人；在第二次第二组未把与第三组同样多的人数并入第三组之前，第三组应为36÷2=18（人），第二组应为（24+18）=42（人），第一组人数仍是12人；在第一次第一组未把与第二组同样多的人数并入第二组之前，第二组的人数应为42÷2=21（人），第一组人数应为12+21=33（人），第三组应为18人。
这33人、21人、18人分别为第一、二、三组原有的人数，列表3-6。表3-6
答：第一、二、三组原有小朋友分别是33人、21人、18人
第四讲 综合法
从已知数量与已知数量的关系入手，逐步分析已知数量与未知数量的关系，一直到求出未知数量的解题方法叫做综合法。
以综合法解应用题时，先选择两个已知数量，并通过这两个已知数量解出一个问题，然后将这个解出的问题作为一个新的已知条件，与其它已知条件配合，再解出一个问题„„一直到解出应用题所求解的未知数量。
运用综合法解应用题时，应明确通过两个已知条件可以解决什么问题，然后才能从已知逐步推到未知，使问题得到解决。这种思考方法适用于已知条件比较少，数量关系比较简单的应用题。
例1 甲、乙两个土建工程队共同挖一条长300米的水渠，4天完成任务。甲队每天挖40米，乙队每天挖多少米？（适于三年级程度）
解：根据“甲、乙两个土建工程队共同挖一条长300米的水渠”和“4天完成任务”这两个已知条件，可以求出甲乙两队每天共挖水渠多少米（图4-1）。
300÷4=75（米）
根据“甲、乙两队每天共挖水渠75米”和“甲队每天挖40米”这两个条件，可以求出乙队每天挖多少米（图4-1）。
75-40=35（米）综合算式： 300÷4-40 =75-40 =35（米）
答：乙队每天挖35米。
例2 两个工人排一本39500字的书稿。甲每小时排3500字，乙每小时排3000字，两人合排5小时后，还有多少字没有排？（适于四年级程度）
解：根据甲每小时排3500字，乙每小时排3000字，可求出两人每小时排多少字（图4-2）。
3500+3000=6500（字）
根据两个人每小时排6500字，两人合排5小时，可求出两人5小时已排多少字（图4-2）。
6500×5=32500（字）
根据书稿是39500字，两人已排32500字，可求出还有多少字没有排（图4-2）。
39500-32500=7000（字）
综合算式：
39500-（3500+3000）×5
=39500-6500×5 =39500-32500 =7000（字）答略。
例3 客车、货车同时由甲、乙两地出发，相向而行。客车每小时行60千米，货车每小时行40千米，5小时后客车和货车相遇。求甲、乙两地之间的路程。（适于四年级程度）
解：根据“客车每小时行60千米”和“货车每小时行40千米”这两个条件，可求出两车一小时共行多少千米（图4-3）。
60+40=100（千米）
根据“两车一小时共行100千米”和两车5小时后相遇，便可求出甲、乙两地间的路程是多少千米（图4-3）。
100×5=500（千米）
综合算式：
（60+40）×5
=100×5 =500（千米）
答：甲、乙两地间的路程是500千米。
例4 一个服装厂计划做660套衣服，已经做了5天，平均每天做75套。剩下的要3天做完，问平均每天要做多少套？（适于四年级程度）
解：根据“已经做了5天，平均每天做75套”这两个条件可求出已做了多少套（图4-4）。
75×5=375（套）
根据“计划做660套”和“已经做了375套”这两个条件，可以求出还剩下多少套（图4-4）。
660-375=285（套）
再根据“剩下285套”和“剩下的要3天做完”，便可求出平均每天要做多少套（图4-4）。
285÷3=95（套）
综合算式：
（660-75×5）÷3
=285÷3 =95（套）答略。
例5 某装配车间，甲班有20人，平均每人每天可做72个零件；乙班有24人，平均每人每天可做68个零件。如果装一台机器需要12个零件，那么甲、乙两班每天生产的零件可以装多少台机器？（适于四年级程度）
解：根据“甲班有20人，平均每人每天可做72个零件”这两个条件可求出甲班一天生产多少个零件（图4-5）。
72×20=1440（个）
根据“乙班有24人，平均每天每人可做68个零件”这两个条件可求出乙班一天生产多少个零件（图4-5）。
68×24=1632（个）
根据甲、乙两个班每天分别生产1440个、1632个零件，可以求出甲、乙两个班一天共生产多少个零件（图4-5）。
1440+1632=3072（个）再根据两个班一天共做零件3072个和装一台机器需要12个零件这两条件，可求出两个班一天生产的零件可以装多少台机器。
3072÷12=256（台）
综合算式：
（72×20+68×24）÷12
=（1440+1632）÷12 =3072÷12 =256（台）答略。
例6 一个服装厂计划加工2480套服装，每天加工100套，工作20天后，每天多加工20套。提高工作效率后，还要加工多少天才能完成任务？（适于四年级程度）
解：根据每天加工100套，加工20天，可求出已经加工多少套（图4-6）。
100×20=2000（套）
根据计划加工2480套和加工了2000套，可求出还要加工多少套（图4-6）。
2480-2000=480（套）
根据原来每天加工100套，现在每天多加工20套，可求出现在每天加工多少套（图4-6）。
100+20=120（套）
根据还要加工480套，现在每天加工120套，可求出还要加工多少天（图4-6）。
48O÷120=4（天）
综合算式：
（2480-100×20）÷（100+20）
=480÷120 =4（天）答略。
刚开始学习以综合法解应用题时，一定要画思路图，当对综合法的解题方法已经很熟悉时，就可以不再画思路图，而直接解答应用题了。
解：此题先后出现了两个标准量：“第一桶的重量”和“第二桶的重量”。
=49.5（千克）答略。
解：此题先后出现两个标准量：“甲块地产高粱的重量”和“乙块地产高粱的重量”。
将题中已知条件的顺序变更一下：丙块地产高粱450千克，丙块地比乙
条件，可求出乙块地产高粱是：
（这里乙块地的产量是标准量1）
（这里甲块地的产量是标准量1）综合算式：
=546（千克）答略。
第五讲 分析法 从求解的问题出发，正确选择所需要的两个条件，依次推导，一直到问题得到解决的解题方法叫分析法。
用分析法解应用题时，如果解题所需要的两个条件，（或其中的一个条件）是未知的，就要分别求解找出这两个（或一个）条件，一直到所需要的条件都是已知的为止。
分析法适于解答数量关系比较复杂的应用题。
例1 玩具厂计划每天生产200件玩具，已经生产了6天，共生产1260件。问平均每天超过计划多少件？（适于三年级程度）
解：这道题是求平均每天超过计划多少件。要求平均每天超过计划多少件，必须具备两个条件（图5-1）：①实际每天生产多少件；②计划每天生产多少件。
计划每天生产200件是已知条件。实际每天生产多少件，题中没有直接告诉，需要求出来。
要求实际每天生产多少件，必须具备两个条件（图5-1）：①一共生产了多少件；②已经生产了多少天。这两个条件都是已知的：①一共生产了1260件；②已经生产了6天。
分析到这里，问题就得到解决了。此题分步列式计算就是：（1）实际每天生产多少件？
1260÷6=210（件）
（2）平均每天超过计划多少件？
210-200=10（件）
综合算式：
1260÷6-200 =210-200
=10（件）例2 四月上旬，甲车间制造了257个机器零件，乙车间制造的机器零件是甲车间的2倍。四月上旬两个车间共制造多少个机器零件？（适于三年级程度）
解：要求两个车间共制造多少个机器零件，必须具备两个条件（图5-2）：①甲车间制造多少个零件；②乙车间制造多少个零件。已知甲车间制造257个零件，乙车间制造多少个零件未知。
下面需要把“乙车间制造多少个零件”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。
这两个条件（图5-2）是：①甲车间制造多少个零件；②乙车间制造的零件是甲车间的几倍。这两个条件都是已知的：①甲车间制造257个，乙车间制造的零件数是甲车间的2倍。
分析到此，问题就得到解决了。
此题分步列式计算就是：（1）乙车间制造零件多少个？
257×2=514（个）
（2）两个车间共制造零件多少个？
257+514=771（个）
综合算式：
257+257×2
=257+514 =771（个）答略。
例3 某车间要生产180个机器零件，已经工作了3天，平均每天生产20个。剩下的如果每天生产30个，还需要几天才能完成？（适于四年级程度）解：要求还需要几天才能完成，必须具备两个条件（图5-3）：①还剩下多少个零件；②每天生产多少个零件。在这两个条件中，每天生产30个零件是已知条件，还剩多少个零件未知。
先把“还剩多少个零件”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。
要算出还剩下多少个零件，必须具备的两个条件（图5-3）是：①要生产多少个零件；②已经生产了多少个零件。要生产180个零件是已知条件，已经生产多少个零件未知。
然后把“已经生产多少个零件”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。
要算出已生产多少个零件，必须知道的两个条件（图5-3）是：①每天生产多少个零件；②生产了几天。这两个条件题中都已经给出：每天生产20个零件，生产了3天。
分析到此，问题就得到解决。上面的思考过程，分步列式计算就是：（1）已经生产了多少个零件？
20×3=60（个）
（2）剩下多少个零件？
180-60=120（个）
（3）还要几天才能完成？
120÷30=4（天）
综合算式：
（180-20×3）÷30
=（180-60）÷30 =120÷30 =4（天）答略。
例4 王明买了24本笔记本和6支铅笔，共花了9.60元钱。已知每支铅笔0.08元，每本笔记本多少钱？（适于五年级程度）
解：要算出每本笔记本多少钱，必须具备两个条件（图5-4）：①买笔记本用了多少钱；②买了多少本笔记本。从题中已知买了24本笔记本，买笔记本用的钱数未知。
先把买笔记本用的钱数作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。
要算出买笔记本用多少钱，必须知道的两个条件（图5-4）是：①买笔记本、铅笔共用多少钱；②买铅笔用多少钱。已知买笔记本、铅笔共用9.60元，买铅笔用去多少钱未知。
然后找出“买铅笔用多少钱”所需要的两个条件。
要算出买铅笔用多少钱，必须知道的两个条件（图5-4）是：①买多少支铅笔；②每支铅笔多少钱。这两个条件在题中都是已知的：买6支铅笔，每支0.08元。
分析到此，问题就得到解决。此题分步列式计算就是：（1）买铅笔用去多少元？
0.08×6=0.48（元）
（2）买笔记本用去多少元？
9.60-0.48=9.12（元）
（3）每本笔记本多少元？
9.12÷24=0.38（元）
列综合算式计算：
（9.60-0.08×6）÷24
＝（9.60-0.48）÷24 =9.12÷24 =0.38（元）
答：每本笔记本0.38元。
例5 仓库里共有化肥2520袋，两辆车同时往外运，共运30次，每次甲车运51袋。每次甲车比乙车多运多少袋？（适于五年级程度）
解：求每次甲车比乙车多运多少袋，必须具备两个条件（图5-5）：①甲车每次运多少袋；②乙车每次运多少袋。甲车每次运51袋已知，乙车每次运多少袋未知。
先找出解答“乙车每次运多少袋”所需要的两个条件。要算出乙车每次运多少袋，必须具备两个条件（图5-5）：①两车一次共运多少袋；②甲车一次运多少袋。甲车一次运51袋已知；两车一次共运多少袋是未知条件。
然后把“两车一次共运多少袋”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。
要算出两车一次共运多少袋，必须具备两个条件（图5-5）：①一共有多少袋化肥；②两车共运多少次。这两个条件都是已知的：共有2520袋化肥，两车共运30次。
分析到此，问题就得到解决。此题分步列式计算就是： ①两车一次共运多少袋？
2520÷30=84（袋）
②乙车每次运多少袋？
84-51=33（袋）
③每次甲车比乙车多运多少袋？
51-33=18（袋）
综合算式：
51-（2520÷30-51）
=51-33 =18（袋）答略。
*例6 把627.5千克梨装在纸箱中，先装7箱，每箱装梨20千克，其余的梨每箱装37.5千克。这些梨共装多少箱？（适于五年级程度）
解：要算出共装多少箱，必须具备两个条件（图5-6）：①先装多少箱。②后装多少箱。先装7箱已知，后装多少箱未知。
先把“后装多少箱”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。要算出后装多少箱，必须具备两个条件（图5-6）：①后来一共要装多少千克；②后来每箱装多少千克。后来每箱装37.5千克已知，后来一共装多少千克未知。
要把“后来一共要装多少千克”作为一个问题提出，并找出回答这一问题所需要的两个条件。要求后来一共要装多少千克，必须具备两个条件（图5-6）：①梨的总重量；②先装了多少千克。梨的总重量是627.5千克已知的；先装了多少千克是未知的，要把它作为一个问题提出来，并找出回答这个问题所需要的两个条件。
这两个条件（图5-6）是：①先装的每箱装梨多少千克；②装了多少箱。这两个条件都是已知的：先装的每箱装梨20千克，装了7箱。
分析到此，问题就得到解决了。此题分步列式计算就是： ①先装多少千克？
20×7=140（千克）
②后来共装多少千克？
627.5-140=487.5（千克）
③后来装了多少箱？
487.5÷37.5=13（箱）
④共装多少箱？
7+13=20（箱）
综合算式：
7+（627.5-20×7）÷37.5
=7+（627.5-140）÷37.5 =7+487.5÷37.5 =7+13 =20（箱）答略。
注意：开始学习用分析法解应用题时，一定要画思路图，当对分析法的解题方法已经很熟悉时，可不再画思路图，而直接分析解答应用题了。
节约了15％。问六月份比四月份少用煤多少吨？（适于六年级程度）
解：此题中出现两个标准量：“四月份的用煤量”和“五月份的用煤量”。四月份的用煤量和六月份的用煤量都与五月份的用煤量有直接联系。
要算出六月份比四月份少用煤多少吨，必须知道六月份、四月份各用煤多少吨。
要算出六月份用煤多少吨，必须知道两个条件：①五月份用煤多少吨；②六月份比五月份节约多少。这两个条件都是已知的。六月份用煤的吨数是：
3200×（1-15％）=2720（吨）
要算出四月份用煤多少吨，必须知道两个条件：①五月份用煤多少吨；②五月份比四月份节约多少。这两个条件都是已知的。四月份用煤的吨数是：
知道了六月份、四月份用煤的吨数，就可以求出六月份比四月份少用煤多少吨。
3600-2720=880（吨）
综合算式：
=3600-2720 =880（吨）答略。
答略。
第六讲 分析-综合法
综合法和分析法是解应用题时常用的两种基本方法。在解比较复杂的应用题时，由于单纯用综合法或分析法时，思维会出现障碍，所以要把综合法和分析法结合起来使用。我们把分析法和综合法结合起来解应用题的方法叫做分析-综合法。*例1 运输队要把600吨化肥运到外地，计划每天运22吨。运了15天以后，剩下的化肥要在10天内运完。这样每天要比原计划多运多少吨？（适于五年级程度）
解：解此题要运用分析法和综合法去思考。
先用综合法思考。根据“原计划每天运22吨”和“运了15天”这两个条件，可以求出已经运出的吨数（图6-1）。
根据要“运600吨”和已经运出的吨数，可以求出剩下化肥的吨数（图6-1）。接下去要用哪两个数量求出什么数量呢？不好思考了。所以用综合法分析到这儿，接着要用分析法思考了。
要求“每天比原计划多运多少吨”，必须知道“后来每天运多少吨”和“原计划每天运多少吨”。“原计划每天运22吨”是已知条件，“后来每天运多少吨”不知道，这是此题的中间问题（图6-2）。
要知道“后来每天运多少吨”，必须知道“剩下多少吨”和“要在多少天内运完”。这两个条件中，第二个条件是已知的，“要在10天内运完”，“剩下多少吨”是未知的中间问题。
我们在前面用综合法分析这道题时，已经得到求剩下吨数的方法了。所以本题分析到这里就可以解答了。
此题分步列式解答时，要从图6-1的上面往下看，接着从图6-2的下面往上看。
（1）已经运多少吨？
22×15=330（吨）
（2）剩下多少吨？
600-330=270（吨）
（3）后来每天运多少吨？
270÷10=27吨）
（4）每天比原计划多运多少吨？
27-22=5（吨）
综合算式：
（600-22×15）÷10-22
=（600-330）÷10-22 =270÷10-22 =27-22 =5（吨）答略。
*例2 某鞋厂原计划30天做皮鞋13500双，实际上每天比原计划多做50双。问这个鞋厂提前几天完成原计划的任务？（适于五年级程度）
解：解答此题一般要运用分析法和综合法去思考。
先用分析法思考。要算出提前几天完成计划，必须知道“原计划天数”和“实际做鞋数”（图6-3）。“原计划天数”是30
天，已经知道；“实际做鞋天数”不知道，是中间问题。
要知道“实际做鞋天数”必须知道“皮鞋总数”和“实际每天做的皮鞋数”（图6-3）。
到此可以往下思考，要算出实际每天做的皮鞋数，必须具备哪两个条件？但有的人觉得这样思考时不顺当，思路会“卡壳”，这时就要换用综合法进行思考。由“原计划30天做皮鞋13500双”，可求出“原计划每天做的皮鞋数”（图6-4）。
由“原计划每天做的皮鞋数”和“实际每天比原计划多做50双”，可用加法算出“实际每天做的皮鞋数”（图6-4）。
分析到此，这道题的问题就得到解决了。此题用分步列式的方法计算时，得从图6-4的上面往下面推想，然后从图6-3的后面（下面）往前推想。（1）看图6-4的思路图。通过把原计划做的13500双除以计划做的30天，可以得到原计划每天做多少双皮鞋。
13500÷30=450（双）
（2）在计划每天做的450双皮鞋上，加上实际每天多做的50双，得到实际每天做的皮鞋数。
450+50=500（双）
（3）接着看图6-3的思路图。从思路图的下面往上推想，皮鞋总数除以实际每天做的皮鞋数500双，得到实际制做的天数。
13500÷500=27（天）
（4）接着往上看，从原计划做的30天，减去实际做的天数27天，就得到提前完成计划的天数。
30-27=3（天）
把上面分步计算的算式综合为一个算式是：
30-13500÷（13500÷30+50）
=30-13500÷500 =30-27 =3（天）答略。
*例3甲、乙两队同时开凿一条2160米长的隧道，甲队从一端起，每天开凿20米，乙队从另一端起，每天比甲队多开凿5米。两队在离中点多远的地方会合？（适于五年级程度）
解：看图6-5。要求两队在离中点多远的地方会合，需要知道隧道的中点及会合点离一端的距离（分析法）。
每天20米每天比甲队多5米
隧道全长2160米，中点到一端的距离可以通过2160÷2求得（综合法）。要求出会合点（在甲队的一侧）距离甲队开凿点的距离，实际就是求甲队开凿的米数。要求甲队开凿的米数，就要知道甲队（或乙队）每天开凿的米数（已知）和开凿的天数（分析法）。甲队每天开凿20米已知，开凿的天数不知道。要求出开凿的天数，需要知道隧道的全长（已知）和两队每天共开凿多少米（分析法）。
已知甲队每天开凿20米，乙队每天比甲队多开凿5米，这样可以求出乙队每天开凿多少米，从而求出甲、乙两队一天共开凿多少米（综合法）。
分析到此，这道题的问题就得到解决了。
此题用分步列式的方法计算时，还得从上面分析过程的后面往前推理。（1）乙队每天开凿多少米？
20+5=25（米）
（2）甲乙两队一天共开凿多少米？
20+25=45（米）
（3）甲乙两队共同开凿这个隧道用多少天？
2160÷45=48（天）
（4）甲队开凿了多少米？（会合点与甲队开凿点的距离）
20×48=960（米）
（5）甲队到中点的距离是多少米？
2160÷2=1080（米）
（6）会合点与中点间的距离是多少米？
1080-960=120（米）
综合算式：
2160÷2-20×[2160÷（20+20+5）] =1080-20×48 =1080-960 =120（米）答略。
*例4某中队三个小队的少先队员采集树种。第一小队8名队员共采集11.6千克，第二小队6名队员比第一小队少采集2.8千克，第三小队10名
克？（适于五年级程度）
解：如果先用综合法分析，虽然已知数量间存在着一定的关系，但不容易选择出与所求数量有直接联系的数量关系。而用分析法分析，能立即找到与所求数量有直接联系的数量关系，找到解题所需要的数量后，再用综合法分析。要求出三个小队平均每名队员采集多少千克，必需知道“三个小队共采集树种多少千克”和“全体队员的人数”（图6-6）。
要求“三个小队共采集多少千克”，必须知道一、二、三这三个小队各采集多少千克；要求“全体队员人数”必须知道各小队的人数（图6-6）。三个小队的人数都已经知道，第一小队采集11.6千克也已知，只是第二、三小队各采集多少还不知道。
往下可用综合法得出二、三小队各采集多少千克（图6-6）。
由“第一小队共采集11.6千克”和“第二小队比第一小队少采集2.8千克”，可求出第二小队采集多少千克；由“第二小队采集的重量”和“第
往下可由三个小队各采集多少千克之和，求出三个小队共采集多少千克；也可以由各小队的人数之和求出“全体队员的人数”。
到此本题就可以解出来了。本题分步列式解答的方法是：（1）第二小队采集多少千克？
11.6-2.8=8.8（千克）
（2）第三小队采集多少千克？
（3）三个小队共采集多少千克？
11.6+8.8+13.2=33.6（千克）
（4）三个小队有多少队员？
8+6+10=24（人）
（5）平均每人采集多少千克？
33.6÷24=1.4（千克）
综合算式：
=33.6÷24 =1.4（千克）答略。
*例5甲、乙两城之间的路程是210千米，慢车以每小时40千米的速度由甲城开往乙城，行车15分钟后，快车由乙城开往甲城，经过2小时两车相遇。这时快车开到甲城还需要多少小时？（适于六年级程度）
解：运用分析法和综合法，分析此题的思路是：
先用分析法来思考。要求出“快车开到甲城还需要多少小时”，必须知道两个条件（图6-7）：①相遇地点到甲城的距离；②快车每小时行多少千米。这两个条件题目中都没给出，应把它们分别作为中间问题。
接着思考，要求相遇地点到甲城的路程必须具备哪两个条件？要求快车每小时行多少千米必须具备哪两个条件？„„如果思路不“卡壳”，就一直思考下去，直到解答出所求问题。如果思路“卡壳”了，就改用综合法思考。另画一个思路图（图6-8）。
图6-8中慢车已行的路程，就是快车从相遇点到甲城的路程。这段路程是：
快车已行的路程是：
210-90=120（千米）
快车每小时所行的路程是：
120÷2=60（千米）
到此，我们可以把慢车走过的路程除以快车的速度，得到快车开到甲城还需要的时间是：
90÷60=1.5（小时）
综合算式：
答略。
第七讲 归一法
先求出单位数量（如单价、工效、单位面积的产量等），再以单位数量为标准，计算出所求数量的解题方法叫做归一法。
归一法分为一次直进归一法、一次逆反归一法、二次直进归一法、二次逆反归一法。
用归一法一般是解答整数、小数应用题，但也可以解答分数应用题。有些应用题用其它方法解答比较麻烦，不易懂，用归一法解则简单，容易懂。
（一）一次直进归一法
通过一步运算求出单位数量之后，再求出若干个单位数量和的解题方法叫做一次直进归一法。
1.解整数、小数应用题
例1某零件加工小组，5天加工零件1500个。照这样计算，14天加工零件多少个？（适于三年级程度）
解：（1）一天加工零件多少个？
1500÷5=300（个）
（2）14天加工零件多少个？
300×14=4200（个）
综合算式：
第五篇：三年级奥数暑假复习讲义(教师版)
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三年级奥数暑假复习讲义
【课程说明】
由于培优大纲顺序和本课程顺序不同，所以在学习此课程时，有些讲次安排打乱了，重新排序不会影响知识点的学习。
【课程目标】
提升兴趣
※激发学生学习的主动性，乐于思考，乐于学习
培养习惯
※传授给学生正确的数学学习习惯，解题习惯
收获成绩
※通过正确的引导帮助孩子提高成绩，积累成就感和自信心
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目录
第一讲 高斯求和
{HYPERLINK “ada99:10937_SR.HTM”|第二讲 找简单数列的规律
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第一讲 高斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋„＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝„＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：
（1）1，2，3，4，5，„，100；
（2）1，3，5，7，9，„，99；（3）8，15，22，29，36，„，71。
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋„＋1999＝？
分析与解：这串加数1，2，3，„，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得
原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。例2 11＋12＋13＋„＋31＝？
分析与解：这串加数11，12，13，„，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到
项数=（末项-首项）÷公差+1，末项=首项+公差×（项数-1）。
例3、3＋7＋11＋„＋99＝？
分析与解：3，7，11，„，99是公差为4的等差数列，项数=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。解：末项=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
学大教育个性化教学教案
分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。
解：（1）最大三角形面积为
（1＋3＋5＋„＋15）×12 ＝［（1＋15）×8÷2］×12 ＝768（厘米2）。
2）火柴棍的数目为
3＋6＋9+„+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）。
答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。
例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里„„第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？
分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球„„第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了
2×1＋2×2＋„＋2×10 ＝2×（1＋2＋„＋10）＝2×55＝110（只）。
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。
综合列式为：
（3-1）×（1＋2＋„＋10）＋3 ＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。
练习3
1.计算下列各题：
（1）2＋4＋6＋„＋200；（2）17＋19＋21＋„＋39；
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.（3）5＋8＋11＋14＋„＋50；（4）3＋10＋17＋24＋„＋101。2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？
5.求100以内除以3余2的所有数的和。
6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？
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练习
1.（1）10100；（2）336；（3）440；（4）780。
2.1127。提示：项数=（93-5）÷4+1=23。
3.2565。提示：末项=13+5×（30-1）=158。
4.180次。解：（1+2+„+12）×2+24=180（次）。
5.1650。解：2+5+8+„+98=1650。
6.45个。
提示：十位数为1，2，„，9的分别有1，2，„，9个。
这一讲我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。
按一定次序排列的一列数就叫数列。例如，(1)1，2，3，4，5，6，„(2)1，2，4，8，16，32；(3)1，0，0，1，0，0，1，„(4)1，1，2，3，5，8，13。
一个数列中从左至右的第n个数，称为这个数列的第n项。如，数列(1)的第3项是3，数列(2)的第3项是4。一般地，我们将数列的第n项记作an。
数列中的数可以是有限多个，如数列(2)(4)，也可以是无限多个，如数列(1)(3)。
许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发现这些规律。
数列(1)是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：后项=前项+1，或第n项an＝n。
数列(2)的规律是：后项=前项×2，或第n项
数列(3)的规律是：“1，0，0”周而复始地出现。
数列(4)的规律是：从第三项起，每项等于它前面两项的和，即
a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5，a6=3+5=8，a7=5+8=13。
常见的较简单的数列规律有这样几类：
第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。例如数列(1)(2)。
第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。例如数列(3)(4)。
第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。这类情形稍为复杂些，我们用后面的例
3、例4来作一些说明。例1 找出下列各数列的规律，并按其规律在()内填上合适的数：(1)4，7，10，13，()，„
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.(2)84，72，60，()，()；(3)2，6，18，()，()，„(4)625，125，25，()，()；(5)1，4，9，16，()，„(6)2，6，12，20，()，()，„
解：通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现(1)的规律是：前项+3=后项。所以应填16。(2)的规律是：前项-12=后项。所以应填48，36。(3)的规律是：前项×3=后项。所以应填54，162。(4)的规律是：前项÷5=后项。所以应填5，1。(5)的规律是：数列各项依次为
1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，所以应填5×5=25。(6)的规律是：数列各项依次为
2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，所以，应填 5×6=30，6×7=42。
说明：本例中各数列的每一项都只与它的项数有关，因此an可以用n来表示。各数列的第n项分别可以表示为(1)an＝3n+1；(2)an＝96-12n；
(3)an＝2×3；(4)an＝5；(5)an＝n；(6)an＝n(n+1)。
这样表示的好处在于，如果求第100项等于几，那么不用一项一项地计算，直接就可以算出来，比如数列(1)的第100项等于3×100+1=301。本例中，数列(2)(4)只有5项，当然没有必要计算大于5的项数了。例2 找出下列各数列的规律，并按其规律在()内填上合适的数：(1)1，2，2，3，3，4，()，()；(2)()，()，10，5，12，6，14，7；(3)3，7，10，17，27，()；(4)1，2，2，4，8，32，()。
解：通过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律。
(1)把数列每两项分为一组，1，2，2，3，3，4，不难发现其规律是：前一组每个数加1得到后一组数，所以应填4，5。(2)把后面已知的六个数分成三组：10，5，12，6，14，7，每组中两数的商都是2，且由5，6，7的次序知，应填8，4。(3)这个数列的规律是：前面两项的和等于后面一项，故应填(17+27=)44。(4)这个数列的规律是：前面两项的乘积等于后面一项，故应填(8×32=)256。例3 找出下列各数列的规律，并按其规律在()内填上合适的数：(1)18，20，24，30，()；(2)11，12，14，18，26，()；(3)2，5，11，23，47，()，()。
解：(1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，说明(后项-前项)组成一新数列2，4，6，„其规律是“依次加2”，因为6后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故
a5=8+30=38。
(2)12-11=1，14-12=2，18-14=4，26-18=8，组成一新数列1，2，4，8，„按此规律，8后面为16。因此，a6-a5＝a6-26=16，故a6＝16+26=42。
(3)观察数列前、后项的关系，后项=前项×2+1，所以
a6=2a5+1＝2×47+1＝95，a7＝2a6+1＝2×95+1=191。
例4 找出下列各数列的规律，并按其规律在()内填上合适的数：(1)12，15，17，30，22，45，()，()；(2)2，8，5，6，8，4，()，()。n-15-n
2学大教育个性化教学教案
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.解：(1)数列的第1，3，5，„项组成一个新数列12，17，22，„其规律是“依次加5”，22后面的项就是27；数列的第2，4，6，„项组成一个新数列15，30，45，„其规律是“依次加15”，45后面的项就是60。故应填27，60。
(2)如(1)分析，由奇数项组成的新数列2，5，8，„中，8后面的数应为11；由偶数项组成的新数列8，6，4，„ 中，4后面的数应为2。故应填11，2。
练习5
1、按其规律在下列各数列的()内填数。
1.56，49，42，35，()。
2.11，15，19，23，()，„
3.3，6，12，24，()。
4.2，3，5，9，17，()，„
5.1，3，4，7，11，()。
6.1，3，7，13，21，()。
7.3，5，3，10，3，15，()，()。
8.8，3，9，4，10，5，()，()。
9.2，5，10，17，26，()。
10.15，21，18，19，21，17，()，()。
11.数列1，3，5，7，11，13，15，17。
(1)如果其中缺少一个数，那么这个数是几？应补在何处？(2)如果其中多了一个数，那么这个数是几？为什么？ 答案与提示 练习
1.28。
2.27。
3.48。
4.33。提示：“后项-前项”依次为1，2，4，8，16，„
5.18。提示：后项等于前两项之和。
6.31。提示：“后项-前项”依次为2，4，6，8，10。
7.3，20。
8.11，6。
9.37。提示：an=n+1。
10.24，15。提示：奇数项为15，18，21，24；偶数项为21，19，17，15。
11.(1)缺9，在7与11之间；(2)多15，因为除15以外都不是合数。
2学大教育个性化教学教案
2、观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.①2，5，8，11，（），17，20。
②19，17，15，13，（），9，7。
③1，3，9，27，（），243。
④64，32，16，8，（），2。
⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34„
⑥1，3，4，7，11，18，（），47„
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）.⑧1，2，6，24，120，（），5040。
⑨1，1，3，7，13，（），31。
⑩1，3，7，15，31，（），127，255。
(11)1，4，9，16，25，（），49，64。
(12)0，3，8，15，24，（），48，63。
(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.分析与解答
①不难发现，从第2项开始，每一项减去它前面一项所得的差都等于3.因此，括号中应填的数是14，即：11＋3=14。
学大教育个性化教学教案
② 同①考虑，可以看出，每相邻两项的差是一定值2.所以，括号中应填11，即：13—2=11。
不妨把①与②联系起来继续观察，容易看出：数列①中，随项数的增大，每一项的数值也相应增大，即数列①是递增的；数列②中，随项数的增大，每一项的值却依次减小，即数列②是递减的.但是除了上述的不同点之外，这两个数列却有一个共同的性质：即相邻两项的差都是一个定值.我们把类似①②这样的数列，称为等差数列.③1，3，9，27，（），243。
此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都是其前面一项的3倍.即：3=1×3，9= 3×3，27=9×3.因此，括号中应填 81，即 81= 27×3，代入后，243也符合规律，即 243＝81×3。
④64，32，16，8，（），2
与③类似，本题中，从第1项开始，每一项是其后面一项的2倍，即：
因此，括号中填4，代入后符合规律。
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.综合③④考虑，数列③是递增的数列，数列④是递减的数列，但它们却有一个共同的特点：每列数中，相邻两项的商都相等.像③④这样的数列，我们把它称为等比数列。
⑤ 1，1，2，3，5，8，（），21，34„
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首先可以看出，这个数列既不是等差数列，也不是等比数列.现在我们不妨看看相邻项之间是否还有别的关系，可以发现，从第3项开始，每一项等于它前面两项的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=3＋5.因此，括号中应填的数是 13，即 13=5+8，21=8+13，34=13+21。
这个以1，1分别为第1、第2项，以后各项都等于其前两项之和的无穷数列，就是数学上有名的斐波那契数列，它来源于一个有趣的问题：如果一对成熟的兔子一个月能生一对小兔，小兔一个月后就长成了大兔子，于是，下一个月也能生一对小兔子，这样下去，假定一切情况均理想的话，每一对兔子都是一公一母，兔子的数目将按一定的规律迅速增长，按顺序记录每个月中所有兔子的数目（以对为单位，一月记一次），就得到了一个数列，这个数列就是数列⑤的原型，因此，数列⑤又称为兔子数列，这些在高年级递推方法中我们还要作详细介绍。
⑥1，3，4，7，11，18，（），47„
在学习了数列⑤的前提下，数列⑥的规律就显而易见了，从第3项开始，每一项都等于其前两项的和.因此，括号中应填的是29，即 29=11＋18。
数列⑥不同于数列⑤的原因是：数列⑥的第2项为3，而数列⑤为1，数列⑥称为鲁卡斯数列。
⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）。
方法1：继续考察相邻项之间的关系，可以发现：
因此，可以猜想，这个数列的规律为：每一项等于它的项数与其前一项的和，那么，第5项为15，即15=10+5，最后一项即第 9项为 45，即 45＝36＋9.代入验算，正确。
方法2：其实，这一列数有如下的规律：
第1项：1=1
第2项：3=1＋2
第3项：6=1+2+3
第4项：10=1+2+3+4
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.第5项：（）
第6项：21=1+2+3+4+5+6
第7项：28=1+2+3+4+5+6+7
第8项；36=1+2+3+4+5+6+7+8
第9项：（）
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即这个数列的规律是：每一项都等于从1开始，以其项数为最大数的n个连续自然数的和.因此，第五项为15，即：15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5；
第九项为45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。
⑧1，2，6，24，120，（），5040。
方法1：这个数列不同于上面的数列，相邻项相加减后，看不出任何规律.考虑到等比数列，我们不妨研究相邻项的商，显然：
所以，这个数列的规律是：除第1项以外的每一项都等于其项数与其前一项的乘积.因此，括号中的数为第6项720，即 720=120×6。
方法2：受⑦的影响，可以考虑连续自然数，显然：
第1项 1=1
第2项 2=1×第3项 6=1×2×第4项 24=1×2×3×第5项 120=1×2×3×4×第6项（）
第7项 5040=1×2×3×4×5×6×7
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.所以，第6项应为 1×2×3×4×5×6=720
⑨1，1，3，7，13，（），31
与⑦类似：
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可以猜想，数列⑨的规律是该项=前项+2×（项数-2）（第1项除外），那么，括号中应填21，代入验证，符合规律。
⑩1，3，7，15，31，（），127，255。
则：
因此，括号中的数应填为63。
小结：寻找数列的规律，通常从两个方面来考虑：①寻找各项与项数间的关系；②考虑相邻项之间的关系.然后，再归纳总结出一般的规律。
事实上，数列⑦或数列⑧的两种方法，就是分别从以上两个不同的角度来考虑问题的.但有时候，从两个角度的综合考虑会更有利于问题的解决.因此，仔细观察，认真思考，选择适当的方法，会使我们的学习更上一层楼。
在⑩题中，1=2-1
3=22-1
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.7=23-1
15=24-1
31=25-1
127=27-1
255=28-1
所以，括号中为26-1即63。
（11）1，4，9，16，25，（），49，64.1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，25=5×5，49= 7×7，64=8×8，即每项都等于自身项数与项数的乘积，所以括号中的数是36。
本题各项只与项数有关，如果从相邻项关系来考虑问题，势必要走弯路。
(12)0，3，8，15，24，（），48，63。
仔细观察，发现数列(12)的每一项加上1正好等于数列(11)，因此，本数列的规律是项=项数×项数-1.所以，括号中填35，即 35= 6×6-1。
(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）。
前面的方法均不适用于这个数列，在观察的过程中，可以发现，本数列中的某些数是很有规律的，如1，2，3，4，5，而它们恰好是第1项、第3项、第5项、第7项和第9项，所以不妨把数列分为奇数项（即第1，3，5，7，9项）和偶数项（即第2，4，6，8项）来考虑，把数列按奇数和偶数项重新分组排列如下：
奇数项：1，2，3，4，5
偶数项：2，4，8，16 可以看出，奇数项构成一等差数列，偶数项构成一等比数列.因此，括号中的数，即第10项应为32（32=16×2）。
(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）。
同上考虑，把数列分为奇、偶项：
偶数项：2，4，6，8，10
奇数项：1，3，9，27，（）.所以，偶数项为等差数列，奇数项为等比数列，括号中应填81（81=27×3）。
像(13)(14)这样的数列，每个数列中都含有两个系列，这两个系列的规律各不相同，类似这样的数列，称为双系列数列或双重数列。
3、按一定的规律在括号中填上适当的数：
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Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.1.1，2，3，4，5，（），7„
2.100，95，90，85，80，（），70
3.1，2，4，8，16，（），64
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5.2，1，3，4，7，（），18，29，47
6.1，2，5，10，17，（），37，50
7.1，8，27，64，125，（），343
8.1，9，2，8，3，（），4，6，5，5
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.有这样一道题目：如果每上一层楼梯需要1分钟，那么从一层上到四层需要多少分钟？如果你的答案是4分钟，那么你就错了.正确的答案应该是3分钟。
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为什么是3分钟而不是4分钟呢？原来从一层上到四层，只要上三层楼梯，而不是四层楼梯。
下面我们来看几个类似的问题。
例1 裁缝有一段16米长的呢子，每天剪去2米，第几天剪去最后一段？
分析 如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪去最后一段，4米里有2个2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，还剩4米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有3个2米，只用2天；如果呢子有8米，第一天剪去2米，还剩6米，第二天再剪2米，还剩4米，这样第三天即可剪去最后一段，8米里有4个2米，用3天，„„
我们可以从中发现规律：所用的天数比2米的个数少1.因此，只要看16米里有几个2米，问题就可以解决了。
解：16米中包含2米的个数：16÷2=8（个）
剪去最后一段所用的天数：8-1=7（天）
答：第七天就可以剪去最后一段。
例2一根木料在24秒内被切成了4段，用同样的速度切成5段，需要多少秒？
可以从中发现规律：切的次数总比切的段数少1.因此，在24秒内切了4段，实际只切了3次，这样我们就可以求出切一次所用的时间了，又由于用同样的速度切成5段；实际上切了4次，这样切成5段所用的时间就可以求出来了。
解：切一次所用的时间：24÷（4-1）=8（秒）
切5段所用的时间：8×（5-1）=32（秒）
答：用同样的速度切成5段，要用32秒。
例3三年级同学120人排成4路纵队，也就是4个人一排，排成了许多排，现在知道每相邻两排之间相隔1米，这支队伍长多少米？
解：因为每4人一排，所以共有：120÷4=30（排）
30排中间共有29个间隔，所以队伍长：1×29=29（米）
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.答：这支队伍长29米。
例4 时钟4点钟敲4下，12秒钟敲完，那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？
分析 如果盲目地计算：12÷4=3（秒），3×6=18（秒），认为敲6下需要18秒钟就错了.请看下图：
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时钟敲4下，其间有3个间隔，每个间隔是：12÷3=4（秒）；时钟敲6下，其间共有5个间隔，所用时间为：
4×5=20（秒）。
解：每次间隔时间为：12÷（4-1）=4（秒）
敲 6下共用的时间为：4×（6-1）＝20（秒）
答：时钟敲6下共用20秒。
例5.某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开，如从1层走到4层需要48秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？
分析 要求还需要多少秒才能到达，必须先求出上一层楼梯需要几秒，还要知道从4楼走到8楼共走几层楼梯.上一层楼梯需要：48÷（4-1）=16（秒），从4楼走到8楼共走8-4=4（层）楼梯。到这里问题就可以解决了。
解：上一层楼梯需要：48÷（4-1）=16（秒）
从4楼走到8楼共走：8-4=4（层）楼梯
还需要的时间：16×4=64（秒）
答：还需要64秒才能到达8层。
例6晶晶上楼，从1楼走到3楼需要走36级台阶，如果各层楼之间的台阶数相同，那么晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶？
分析 要求晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶，必须先求出每一层楼梯有多少台阶，还要知道从一层走到6层需要走几层楼梯。
从1楼到3楼有3-1=2层楼梯，那么每一层楼梯有36÷2=18（级）台阶，而从1层走到6层需要走6-1=5（层）楼梯，这样问题就可以迎刃而解了。
解：每一层楼梯有：36÷（3-1）＝18（级台阶）
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.晶晶从1层走到6层需要走：18×（6-1）=90（级）台阶。
答：晶晶从第1层走到第6层需要走90级台阶。
注：例1～例4所叙述的问题虽然不是上楼梯，但它和上楼梯有许多相似之处，请同学们自己去体会.爬楼梯问题的解题规律是：所走的台阶数=每层楼梯的台阶数×（所到达的层数减起点的层数）。
习题
1.一根木料截成3段要6分钟，如果每截一次的时间相等，那么截7段要几分钟？
2.有一幢楼房高17层，相邻两层之间都有17级台阶，某人从1层走到11层，一共要登多少级台阶？
3.从1楼走到4楼共要走48级台阶，如果每上一层楼的台阶数都相同，那么从1楼到6楼共要走多少级台阶？
4.一座楼房每上1层要走16级台阶，到小英家要走64级台阶，小英家住在几楼？
5.一列火车共20节，每节长5米，每两节之间相距1米，这列火车以每分钟20米的速度通过81米长的隧道，需要几分钟？
6.时钟3点钟敲3下，6秒钟敲完，12点钟敲12下，几秒钟敲完？
7.某人到高层建筑的10层去，他从1层走到5层用了100秒，如果用同样的速度走到10层，还需要多少秒？
8.A、B二人比赛爬楼梯，A跑到4层楼时，B恰好跑到3层楼，照这样计算，A跑到16层楼时，B跑到几层楼？
9.铁路旁每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车的速度，测量出从第一根电线杆起到经过第37根电线杆共用了2分钟，火车的速度是每秒多少米？
习题解答
1.解：每截一次需要：6÷（3-1）=3（分钟），截成7段要3×（7-1）=18（分钟）
答：截成7段要18分钟。
2.解：从1层走到11层共走：11-1=10（个）楼梯，从1层走到11层一共要走：17×10=170（级）台阶。
答：从1层走到11层，一共要登170级台阶。
3.解：每一层楼梯的台阶数为：48÷（4-1）=16（级），从1楼到6楼共走：6-1=5（个）楼梯，从1楼到6楼共走：16×5=80（级）台阶。
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Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.答：从1楼到6楼共走80级台阶。
4.解：到小英家共经过的楼梯层数为：64÷16=4（层），小英家住在：4＋1=5（楼）
答：小英家住在楼的第5层。
5.解：火车的总长度为：5×20+1×（20-1）=119（米），火车所行的总路程：119＋81=200（米），所需要的时间：200÷20=10（分钟）
答：需要10分钟。
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6.解：每个间隔需要：6÷（3-1）=3（秒），12点钟敲12下，需要3×（12-1）=33（秒）
答：33秒钟敲完。
7.解：每上一层楼梯需要：100÷（5-1）=25（秒），还需要的时间：25×（10-5）=125（秒）
答：从5楼再走到10楼还需要125秒。
8.由A上到4层楼时，B上到3层楼知，A上3层楼梯，B上2层楼梯。那么，A上到16层时共上了15层楼梯，因此B上2×5=10个楼梯，所以B上到10＋1=11（层）。
答：A上到第16层时，B上到第11层楼。
9.解：火车2分钟共行：50×（37-1）=1800（米）
2分钟=120秒
火车的速度：1800÷120=15（米/秒）
答：火车每秒行15米。
第四讲 植树与方阵问题
一、植树问题
要想了解植树中的数学并学会怎样解决植树问题，首先要牢记三要素：①总路线长.②间距（棵距）长.③棵数.只要知道这三个要素中任意两个要素.就可以求出第三个。关于植树的路线，有封闭与不封闭两种路线。1.不封闭路线 例：如图
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① 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.如上图把总长平均分成5段，但植树棵数是6棵。
全长、棵数、株距三者之间的关系是： 棵数=段数+1=全长÷株距+1 全长=株距×（棵数-1）株距=全长÷（棵数-1）
② 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为： 全长=株距×棵数； 棵数=全长÷株距； 株距=全长÷棵数。
③ 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵。棵数=段数-1=全长÷株距-1.如右图所示.段数为5段，植树棵数为4棵。株距=全长÷（棵数+1）。2.封闭的植树路线
例如：在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数。如右图所示。
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棵数=段数=周长÷株距.二、方阵问题
学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
方阵的基本特点是：
① 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少2。
② 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系： 四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]×4； 每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4＋1。
③ 中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数。
例1 有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？ 分析 要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分成若干段.由于公路的两端都要求栽杆，所以电线杆的根数比分成的段数多1。
解：以10米为一段，公路全长可以分成 900÷10＝90（段）
共需电线杆根数：90+1=91（根）
答：可栽电线杆91根。
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例2 马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？
分析 张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了；只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度.解：5分钟汽车共走了：
9×（501-1）=4500（米），汽车每分钟走：4500÷5=900（米），汽车每小时走：
900×60=54000（米）=54（千米）
列综合式：
9×（501-1）÷5×60÷1000=54（千米）
答：汽车每小时行54千米。
例3 某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？
分析 根据四周人数和每边人数的关系可以知：
每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）
整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）
答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。
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Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例4 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？
分析 方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。
解：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）
第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个）
第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）.摆这个方阵共用棋子：
52+44＋36＝132（个）
还可以这样想：
中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4进行计算。
解：（14-3）×3×4=132（个）
答：摆这个方阵共需132个围棋子。
例5 一个圆形花坛，周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？
分析 ①在圆形花坛上栽花，是封闭路线问题，其株数=段数.② 由于相邻的两棵芍药花之间等距的栽有两棵月季，则每6米之中共有3棵花，且月季花棵数是芍药的2倍。
解：共可栽芍药花：180÷6＝30（棵）
共种月季花：2×30＝60（棵）
两种花共：30+60=90（棵）
两棵花之间距离：180÷90=2（米）
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相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药花，所以月季花的株距是2米或4米。
答：种芍药花30棵，月季花60棵，两棵月季花之间距离为2米或4米。
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例6 一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？
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分析 ①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株，则大三角形边上栽的棵数为
9×2-1=17（棵）。
② 又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以大三角形三条边上共栽花
（17-1）×3=48（棵）。
③.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.在计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上栽花棵数为9-2=7（棵）
解：大三角形三条边上共栽花：
（9×2-1-1）×3=48（棵）
中间画斜线小三角形三条边上栽花：
（9-2）×3=21（棵）
整个花坛共栽花：48+21=69（棵）
答：大三角形边上共栽花48棵，整个花坛共栽花69棵。
习题四
1.一个圆形池塘，它的周长是150米，每隔3米栽种一棵树.问：共需树苗多少株？
2.有一正方形操场，每边都栽种17棵树，四个角各种1棵，共种树多少棵？
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.3.在一条路上按相等的距离植树.甲乙二人同时从路的一端的某一棵树出发.当甲走到从自己这边数的第22棵树时，乙刚走到从乙那边数的第10棵树.已知乙每分钟走36米.问：甲每分钟走多少米？
4.在一根长100厘米的木棍上，从左向右每隔6厘米点一个红点.从右向左每隔5厘米点一个红点，在两个红点之间长为4厘米的间距有几段？
题四解答
1.提示：由于是封闭路线栽树，所以棵数=段数，150÷3=50（棵）。
2.提示：在正方形操场边上栽树.正方形边长都相等，四个角上栽的树是相邻的两条边公有的一棵，所以每边栽树的棵数为17-1=16（棵），共栽：（17-1）×4=64（棵）
答：共栽树64棵。
3.解：甲走到第22棵树时走过了22-1＝21（个）棵距.同样乙走过了10-1＝9（个）棵距.乙走到第10棵树，所用的时间为（9×棵距÷36），这个时间也是甲走过21个棵距的时间，甲的速度为：21×棵距÷（9×棵距÷36）=84米/分。
答：甲的速度是每分钟84米。
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4.① 根据已知条件，从左至右每隔6厘米点一红点，不难算出共有17个点（包括起点，终点）并余4厘米。②100厘米长的棒从右到左共点21个点，可分为20段，而最后一点与端点重合，相当于从左到右以5厘米的间距画点.③ 在5与6的公倍数30中，不难看出有2个4厘米的小段；同样在第二个和第三个30厘米中也各有2个，剩下的10厘米只有一个4厘米的小段，所以在100厘米的木棍上只能有2×3+1=7（段）4厘米长的间距.植树问题
一、填空题
1.在相距100米的两楼之间栽树,每隔10米栽1棵,共栽了 棵树.2.圆形滑冰场周长400米,每隔20米装一盏灯,共要装 盏灯.3.一段公路长3600米,在公路两旁每隔9米栽一棵梧桐树,两端都栽,共栽梧桐树 棵.4.在一个半径是125米的圆形花园周围以等距离种白杨树157棵,则两树间的距离是 米.Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.学大教育个性化教学教案
5.一个湖泊周长1800米,沿湖泊周围每隔3米栽一棵柳树,每两棵柳树中间栽一棵桃树,湖泊周围栽柳树 棵,栽桃树 棵.6.一块三角形地,三边之长分别为156米、234米、186米,要在三边上植树,株距6米,三个角上各有一棵,共植树 棵.7.一条马路长440米,在路的两旁每隔8米种一棵树,两边都种,共种 棵树.8.两棵柳树相距408米,计划在这两棵树之间补栽小树23棵,每两棵树间隔相等,则树的间隔 米.9.公路的每边相隔7米有一棵槐树,芳芳乘电车3分钟看到公路的一边有槐树151棵,电车的速度是每分钟 米.10.国庆节接受检阅的一列车队共52辆,每辆车长4米,前后每辆车相隔6米,车队每分钟行驶105米.这列车队要通过536米长的检阅场地,要 分钟.二、解答题
11.参加阅兵的战士有1200人,平均分成5个大队,队距是7.5米.每队6人为一排,排距是2米.整个队伍的总长有多少米.12.锯一条4米长的圆柱形的钢条,锯5段耗时1小时20分.如果把这样的钢条锯成半米长的小段,需要多少分钟.13.一人以相等的速度在小路上散步,从第一棵树走到第12棵树用了11分钟,如果这个人走了25分钟,应走到的第几棵树.14.在一个正方形的场地四周种树,四个顶点都有一棵,这样每边都种有24棵,四周共种多少棵树.———————————————答 案——————————————————————
一、填空题
1． 因为两端不能栽树,所以: 棵数=间隔数-1=100÷10-1=9（棵）
2． 间隔数为:400÷20=20 因为是环形问题,装灯的盏数等于间隔数,共要装订20盏.3.间隔数为:3600÷9=400 栽数棵数=(间隔数+1)×2=401×2=802(棵)
4.半径为125米的圆周长为:2×3.14×125=785(米)因为环形问题的棵数等于间隔数,所以间隔数为157.间距=785÷157=5(米)
5.间隔数=1800÷3=600 因为是环形问题,所以栽柳数为600棵.因为每两棵柳树中间栽一棵桃树,即每个间隔内栽一棵桃树,所以栽桃树600棵.Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.6.因为156÷6=26 234÷6=39 186÷6=31 又因为三个角上各有一棵,所以共植树:(26+1)+(39+1)+(31+1)-3=27+40+32-3=96(棵)
7.间隔数=440÷8=55 因为两边都种树,所以共种树:(55+1)×2=112(棵)
8.间隔数=棵数-1=(23+2)-1=24 间距=路长÷间隔数=408÷24=17(米)
9.路长=间隔数×间距=(151-1)×7=1050(米)速度=路程÷时间=1050÷3=350(米)所以速度为每分钟350米.10.因为车队行驶的路程等于检阅场地的长度与车队长度的和.所以所需时间为: [4×52+6×(52-1)+536]÷105 =[208+306+536]÷105 =1050÷105 =10(分钟)
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二、解答题
11.由题意,队伍总长为: 7.5×(5-1)+2×(1200÷5÷6-1)×5 =7.5×4+2×39×5 =420(米)
12.由题意,所需时间为: 锯一刀所需时间×要锯的刀数.=(60×1+20)÷(5-1)×(4÷0.5-1)=80÷4×7 =140(分钟)
13.由从第1棵走到第12棵,共走了11个间隔,用了11分种,得出每分钟走1个间隔.所以25分钟,走了25个间隔,所以应走到第25+1=26棵树.14.由题意,四周共有:(24-1)×4=92(棵)
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和归总问题
为什么把有的问题叫归一问题？我国珠算除法中有一种方法，称为归除法.除数是几，就称几归；除数是8，就称为8归.而归一的意思，就是用除法求出单一量，这大概就是归一说法的来历吧！
归一问题有两种基本类型.一种是正归一，也称为直进归一.如：一辆汽车3小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米？另一种是反归一，也称为返回归一.如：修路队6小时修路180千米，照这样，修路240千米需几小时？
正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点在第二步.正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量。
例1 一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样速度1小时爬行多少米？
分析 为了求出蜗牛1小时爬多少米，必须先求出1分钟爬多少分米，即蜗牛的速度，然后以这个数目为依据按要求算出结果。
解：①小蜗牛每分钟爬行多少分米？ 12÷6=2（分米）
② 1小时爬几米？1小时=60分。
2×60=120（分米）=12（米）
答：小蜗牛1小时爬行12米。
还可以这样想：先求出题目中的两个同类量（如时间与时间）的倍数（即60分是6分的几倍），然后用1倍数（6分钟爬行12分米）乘以倍数，使问题得解。
解：1小时=60分钟
12×（60÷6）＝12×10＝120（分米）＝12（米）
或 12÷（6÷60）＝12÷0.1=120（分米）=12（米）
答：小蜗牛1小时爬行12米。
例2 一个粮食加工厂要磨面粉20000千克.3小时磨了6000千克.照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？
方法1：
分析 通过3小时磨6000千克，可以求出1小时磨粉数量.问题求磨完剩下的要几小时，所以剩下的量除以1小时磨的数量，得到问题所求。
解：（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小时）
答：磨完剩下的面粉还要7小时。
方法2：用比例关系解。
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.解：设磨剩下的面粉还要x小时。
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6000x＝3×14000
x=7（小时）
答：磨完剩下的面粉还要7小时。
例3 学校买来一些足球和篮球.已知买3个足球和5个篮球共花了281元；买3个足球和7个篮球共花了355元.现在要买5个足球、4个篮球共花多少元？
分析 要求5个足球和4个篮球共花多少元，关键在于先求出每个足球和每个篮球各多少元.根据已知条件分析出第一次和第二次买的足球个数相等，而篮球相差7-5＝2（个），总价差355-281＝74（元）.74元正好是两个篮球的价钱，从而可以求出一个篮球的价钱，一个足球的价钱也可以随之求出，使问题得解。
解：①一个篮球的价钱：（355-281）÷（7-5）
=37元
②一个足球的价钱：（281-37×5）÷3＝32（元）
③共花多少元？ 32×5＋37×4=308（元）
答：买5个足球，4个篮球共花308元。
例4 一个长方体的水槽可容水480吨.水槽装有一个进水管和一个排水管.单开进水管8小时可以把空池注满；单开排水管6小时可把满池水排空.两管齐开需多少小时把满池水排空？
分析 要求两管齐开需要多少小时把满池水排光，关键在于先求出进水速度和排水速度.当两管齐开时要把满池水排空，排水速度必须大于进水速度，即单位时间内排出的水等于进水与排水速度差.解决了这个问题，又知道总水量，就可以求出排空满池水所需时间。
解：①进水速度：480÷8=60（吨/小时）
②排水速度：480÷6=80（吨/小时）
③排空全池水所需的时间：480÷（80-60）=24（小时）
列综合算式：
480÷（480÷6-480÷8）=24（小时）
答：两管齐开需24小时把满池水排空。
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例5 7辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土.现有沙土560吨，要求5趟运完，求需要增加同样的卡车多少辆？
方法1：
分析 要想求增加同样卡车多少辆，先要求出一共需要卡车多少辆；要求5趟运完560吨沙土，每趟需多少辆卡车，应该知道一辆卡车一次能运多少吨沙土。
解：①一辆卡车一次能运多少吨沙土？
336÷6÷7=56÷7=8（吨）
②560吨沙土，5趟运完，每趟必须运走几吨？
560÷5＝112（吨）
③需要增加同样的卡车多少辆？
112÷8-7＝7（辆）
列综合算式：
560÷5÷（336÷6÷7）-7＝7（辆）
答：需增加同样的卡车7辆。
方法2：
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在求一辆卡车一次能运沙土的吨数时，可以列出两种不同情况的算式：①336÷6÷7，②336÷7÷6.算式①先除以6，先求出7辆卡车1次运的吨数，再除以7求出每辆卡车的载重量；算式②，先除以7，求出一辆卡车6次运的吨数，再除以6，求出每辆卡车的载重量。
在求560吨沙土5次运完需要多少辆卡车时，有以下几种不同的计算方法：
求出一共用车14辆后，再求增加的辆数就容易了。
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例6 某车间要加工一批零件，原计划由18人，每天工作8小时，7.5天完成任务.由于缩短工期，要求4天完成任务，可是又要增加6人.求每天加班工作几小时？
分析 我们把1个工人工作1小时，作为1个工时.根据已知条件，加工这批零件，原计划需要多少“工时”呢？求出“工时”数，使我们知道了工作总量.有了工作总量，以它为标准，不管人数增加或减少，工期延长或缩短，仍然按照原来的工作效率，只要能够达到加工零件所需“工时”总数，再求出要加班的工时数，问题就解决了。
解：①原计划加工这批零件需要的“工时”：
8×18×7.5=1080（工时）
②增加6人后每天工作几小时？
1080÷（18+6）÷4=11.25（小时）
③每天加班工作几小时？ 11.25-8=3.25（小时）
答：每天要加班工作3.25小时。
例7 甲、乙两个打字员4小时共打字3600个.现在二人同时工作，在相同时间内，甲打字2450个，乙打字2050个.求甲、乙二人每小时各打字多少个？
分析 已知条件告诉我们：“在相同时间内甲打字2450个，乙打字2050个.”既然知道了“时间相同”，问题就容易解决了.题目里还告诉我们：“甲、乙二人4小时共打字3600个.”这样可以先求出“甲乙二人每小时打字个数之和”，就可求出所用时间了.解：①甲、乙二人每小时共打字多少个？
3600÷4＝900（个）
②“相同时间”是几小时？
（2450＋2050）÷900＝5（小时）
③甲打字员每小时打字的个数：
2450÷5=490（个）
④乙打字员每小时打字的个数：
2050÷5=410（个）
答：甲打字员每小时打字490个，乙打字员每小时打字410个。
还可以这样想：这道题的已知条件可以分两层.第一层，甲乙二人4小时共打字3600个；第二层，在相同时间内甲打字2450个，乙打字2050个.由这两个条件可以求出在相同的时间内，甲乙二人共打字 2450+2050=4500（个）；打字 3600个用4小时，打字4500个用几小时呢？先求出4500是3600的几倍，也一定是4小时的几倍，即“相同时间”。
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Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.解：①“相同时间”是几小时？
4×[（2450＋2050）÷3600]＝5（小时）
②甲每小时打字多少个？
2450÷5=490（个）
③乙每小时打字多少个？
2050÷5=410（个）
答：甲每小时打字490个，乙每小时打字410个.与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果。所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。例8 一项工程，8个人工作15时可以完成，如果12个人工作，那么多少小时可以完成？
分析：（1）工程总量相当于1个人工作多少小时？
15×8＝120（时）。
（2）12个人完成这项工程需要多少小时？
120÷12＝10（时）。解：15×8÷12＝10（时）。
答：12人需10时完成。
例9 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5时到达。若要4时到达，则每小时需要多行多少千米？
分析：从甲地到乙地的路程是一定的，以路程为总量。
（1）从甲地到乙地的路程是多少千米？
60×5=300（千米）。
（2）4时到达，每小时需要行多少千米？
300÷4＝75（千米）。
（3）每小时多行多少千米？
75－60＝15（千米）。
解：（60×5）÷4——60＝15（千米）。
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Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.答：每小时需要多行15千米。
例10 修一条公路，原计划60人工作，80天完成。现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的部分再用多少天可以完成？
分析：（1）修这条公路共需要多少个劳动日（总量）？
60×80＝4800（劳动日）。
（2）60人工作20天后，还剩下多少劳动日？
4800-60×20=3600（劳动日）。
（3）剩下的工程增加30人后还需多少天完成？
3600÷（60＋30）=40（天）。
解：（60×80-60×20）÷（60＋30）＝40（天）。
答：再用40天可以完成。
练习11
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1．2台拖拉机4时耕地20公顷，照这样速度，5台拖拉机6时可耕地多少公顷？
2．4台织布机5时可以织布2600米，24台织布机几小时才能织布24960米？
3．一种幻灯机，5秒钟可以放映80张片子。问：48秒钟可以放映多少张片子？
4．3台抽水机8时灌溉水田48公顷，照这样的速度，5台同样的抽水机6时可以灌溉水田多小公顷？
5．平整一块土地，原计划8人平整，每天工作7.5时，6天可以完成任务。由于急需播种，要求5天完成，并且增加1人。问：每天要工作几小时？
6．食堂管理员去农贸市场买鸡蛋，原计划按每千克3.00元买35千克。结果鸡蛋价格下调了，他用这笔钱多买了2.5千克鸡蛋。问：鸡蛋价格下调后是每千克多少元？
7．锅炉房按照每天4.5吨的用量储备了120天的供暖煤。供暖40天后，由于进行了技术改造，每天能节约0.9吨煤。问：这些煤共可以供暖多少天？
1.75公顷。2.8时。3.768张。
4.60公顷。5.8时。6.2.80元。
7.140天。
8.花果山上桃树多，6只小猴分180棵.现有小猴72只，如数分后还余90棵，请算出桃树有几棵？
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.9.5箱蜜蜂一年可以酿75千克蜂蜜，照这样计算，酿300千克蜂蜜要增加几箱蜜蜂？
10.4辆汽车行驶300千米需要汽油240公升.现有5辆汽车同时运货到相距800千米的地方，汽油只有1000公升，问是否够用？
11.5台拖拉机24天耕地12000公亩.要18天耕完54000公亩土地，需要增加同样拖拉机多少台？
习题8-11解答
8.180÷6×72+90=2250（棵）
或：180×（72÷6）+90=2250（棵）
答：桃树共有2250棵。
9.300÷（75÷5）-5=15（箱）
或 5×[（300-75）÷75]=5×3=15（箱）
答：要增加 15箱蜜蜂。
10.提示：要想得知1000公升汽油是否够用，先算一算行800千米需要的汽油，然后进行比较.如果大于1000公升，说明不够用；小于或等于 1000公升，说明够用。
240÷4÷300×5×800=800（公升）
800公升＜1000公升，说明够用.答：1000公升汽油够用。
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11.提示：先求出1台拖拉机1天耕地公亩数，然后求出18天耕54000公亩需要拖拉机台数，再求增加台数。
答：需要增加 25台拖拉机.Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.学大教育个性化教学教案
求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题，如“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数„„”。
平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数。
解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数。
【典型例题】
一、算术平均数
例1 用4个同样的杯子装水，水面高度分别是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米，这4个杯子水面平均高度是多少厘米？
分析 求4个杯子水面的平均高度，就相当于把4个杯子里的水合在一起，再平均倒入4个杯子里，看每个杯子里水面的高度。
解：（4＋5+7+8）÷4=6（厘米）
答：这4个杯子水面平均高度是6厘米。【巩固练习】
1、一小组六个同学在某次数学考试中，分别为98分、87分、93分、86分、88分、94分。他们的平均成绩是多少？
解：总成绩=98＋87＋93＋86＋88＋94＝546(分)。
这个小组有6个同学，平均成绩是
546÷6＝91(分)。
答：平均成绩是91分。
例2 蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是 89分.政治、数学两科的平均分是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均分是86分，而且英语比语文多10分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分？
分析 解题关键是根据语文、英语两科平均分是84分求出两科的总分，又知道两科的分数差是10分，用和差问题的解法求出语文、英语各得多少分后，就可以求出其他各科成绩。
解：①英语：（84×2+10）÷2=89（分）
②语文： 89-10=79（分）
③政治：86×2-89＝83（分）
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.④数学： 91.5×2-83＝100（分）
⑤生物： 89×5-（89＋79＋83＋100）＝94（分）
答：蔡琛这次考试英语、语文、政治、数学、生物的成绩分别是89分、79分、83分、100分、94分。
【巩固练习】
1、小敏期末考试，数学92分，语文90分，英语成绩比这三门的平均成绩高4分。问：英语得了多少分？
分析：英语比平均成绩高的这4分，是“补”给了数学和语文，所以三门功课的平均成绩为
(92＋90＋4)÷2＝93(分)，由此可求出英语成绩。解：(92＋92＋4)÷2＋4＝97(分)。
答：英语得了97分。
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二、加权平均数
例3 果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖每千克4.40元，水果糖每千克4.20元，奶糖每千克7.20元.问：什锦糖每千克多少元？
分析 要求混合后的什锦糖每千克的价钱，必须知道混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数。
解：①什锦糖的总价：
4.40×2+4.20×3+7.20×5＝57.4（元）
②什锦糖的总千克数： 2＋3＋5＝10（千克）
③什锦糖的单价：57.4÷10=5.74（元）
答：混合后的什锦糖每千克5.74元。
我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数”.例3中的5.74元叫做4.40元、4.20元、7.20元的加权平均数.2千克、3千克、5千克这三个数很重要，对什锦糖的单价产生不同影响，有权衡轻重的作用，所以这样的数叫做“权数”。
【巩固练习】
1、把40千克苹果和80千克梨装在6个筐内(可以混装)，使每个筐装的重量一样。每筐应装多少千克？ 解：苹果和梨的总重量为
40＋80＝120(千克)。
因要装成6筐，所以，每筐平均应装
120÷6＝20(千克)。
答：每筐应装20千克。
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.2、小明家先后买了两批小猪，养到今年10月。第一批的3头每头重66千克，第二批的5头每头重42千克。小明家养的猪平均多重？
解：两批猪的总重量为
66×3＋42×5＝408(千克)。
两批猪的头数为3＋5＝8(头)，故平均每头猪重
408÷8＝51(千克)。
答：平均每头猪重51千克。
注意，在上例中不能这样来求每头猪的平均重量：
(66＋42)÷2＝54(千克)。
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例4 甲乙两块棉田，平均亩产籽棉185斤.甲棉田有5亩，平均亩产籽棉203斤；乙棉田平均亩产籽棉170斤，乙棉田有多少亩？
分析 此题是已知两个数的加权平均数、两个数和其中一个数的权数，求另一个数的权数的问题.甲棉田平均亩产籽棉203斤比甲乙棉田平均亩产多18斤，5亩共多出90斤.乙棉田平均亩产比甲乙棉田平均亩产少15斤，乙少的部分用甲多的部分补足，也就是看90斤里面包含几个15斤，从而求出的是乙棉田的亩数，即“权数”。
解：①甲棉田5亩比甲乙平均亩产多多少斤？
（203-185）×5=90（斤）
②乙棉田有几亩？
90÷（185-170）=6（亩）
答：乙棉田有6亩。【巩固练习】
1、三年级二班共有42名同学，全班平均身高为132厘米，其中女生有18人，平均身高为136厘米。问：男生平均身高是多少？ 解：全班身高的总数为
132×42＝5544(厘米)，女生身高总数为
136×18＝2448(厘米)，男生有42-18＝24(人)，身高总数为
5544-2448＝3096(厘米)，男生平均身高为
3096÷24＝129(厘米)。
综合列式：
(132×42-136×18)÷(42-18)＝129(厘米)。
答：男生平均身高为129厘米。
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.三、连续数平均问题
我们学过的连续数有“连续自然数”、“连续奇数”、“连续偶数”.已知几个连续数的和求出这几个数，也叫平均问题。
例5 已知八个连续奇数的和是144，求这八个连续奇数。
分析 已知偶数个奇数的和是144.连续数的个数为偶数时，它的特点是首项与末项之和等于第二项与倒数第二项之和，等于第三项与倒数第三项之和„„即每两个数分为一组，八个数分成4组，每一组两个数的和是144÷4＝36.这样可以确定出中间的两个数，再依次求出其他各数。
解：①每组数之和：144÷4=36
②中间两个数中较大的一个：（36＋2）÷2＝19
③中间两个数中较小的一个：19-2=17
∴这八个连续奇数为11、13、15、17、19、21、23和25。
答：这八个连续奇数分别为：11、13、15、17、19、21、23和25。【巩固练习】
1、已知八个连续奇数的和是2016，求这八个连续奇数。
四、调和平均数
例6 一个运动员进行爬山训练.从A地出发，上山路长11千米，每小时行4.4千米.爬到山顶后，沿原路下山，下山每小时行5.5千米.求这位运动员上山、下山的平均速度。
分析 这道题目是行程问题中关于求上、下山平均速度的问题.解题时应区分平均速度和速度的平均数这两个不同的概念.速度的平均数=（上山速度+下山速度）÷2，而平均速度=上、下山的总路程÷上、下山所用的时间和。
解：①上山时间： 11÷4.4=2.5（小时）
②下山时间：11÷5.5=2（小时）
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Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.学大教育个性化教学教案
【巩固练习】
1、小胖爬山，上山的平均速度是每小时2千米，到达山顶后立即下山，下山的平均速度是每小时6千米，求小胖上、下山的平均速度．
2、一条山路全长15千米，一名运动员以每小时3千米的速度上山，再以每小时5千米的速度下山，求这名运动员往返一趟的平均速度？
五、基准数平均数
例7 中关村三小有15名同学参加跳绳比赛，他们每分钟跳绳的个数分别为93、94、85、92、86、88、94、91、88、89、92、86、93、90、89，求每个人平均每分钟跳绳多少个？
分析 从他们每人跳绳的个数可以看出，每人跳绳的个数很接近，所以可以选择其中一个数90做为基准数，再找出每个加数与这个基准数的差.大于基准数的差作为加数，如93＝90+3，3作为加数；小于基准数的差作为减数，如 87=90-3，3作为减数.把这些差累计起来，用和数的项数乘以基准数，加上累计差，再除以和数的个数就可以算出结果。
解：①跳绳总个数。
93+94+85+92+86+88+94+91+88+89+92+86+93+90+89
=90×15+（3+4+2+4+1+2+3）-（5+4+2+2+1+4+1）
=1350+19-19
=1350（个）
②每人平均每分钟跳多少个？
1350÷15=90（个）
答：每人平均每分钟跳90个.Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.【巩固练习】
1、同学们参加跳绳比赛，跳绳情况如下表：
序号 1 2 3 4 5 6 7 男生 84 78 69 80 92 91 87 女生 92 94 90 89 87 92 93
学大教育个性化教学教案
男生平均每人跳多少个？女生呢？
解：男生：（84+78+69+80+92+91+87）÷7，=581÷7，=83（个）；
女生：（92+94+90+89+87+92+93）÷7，=637÷7，=91（个）．
答：男生平均每人跳83个，女生平均每人跳91个．
习题
1.某次数学考试，甲乙的成绩和是184分，乙丙的成绩和是187分，丙丁的成绩和是188分，甲比丁多1分，问甲、乙、丙、丁各多少分？
2.求1962、1973、1981、1994、2005的平均数。
3.缝纫机厂第一季度平均每月生产缝纫机750台，第二季度生产的是第一季度生产的2倍多66台，下半年平均月生产1200台，求这个厂一年的平均月产量。
4.甲种糖每千克8.8元，乙种糖每千克7.2元，用甲种糖5千克和多少乙种糖混合，才能使每千克糖的价钱为8.2元？
5.7个连续偶数的和是1988，求这7个连续偶数。
6.6个学生的年龄正好是连续自然数，他们的年龄和与小明爸爸的年龄相同，7个人年龄一共是126岁，求这6个学生各几岁？
7.食堂买来5只羊，每次取出两只合称一次重量，得到十种不同的重量（千克）：47、50、51、52、53、54、55、57、58、59.问这五只羊各重多少千克？
习题解答
1.∵甲+乙=184（1）
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.乙+丙=187（2）
丙+丁=188（3）
（2）-（1）丙-甲=3（4）
（3）-（4）丁+甲=185
∴甲=（185+1）÷2=93（分）
丁=93-1=92（分）
乙=184-93=91（分）
丙=187-91=96（分）
答：甲、乙、丙、丁的成绩分别为93分、91分、96分、和92分。
2.1962+1973＋1981+1994+2005
=1981×5+（13+24）-（8＋19）
=9915。
9915÷5＝1983。
3.①上半年总产量：
750×3+750×3×2＋66=6816（台）
②下半年总产量：1200×6=7200（台）
③平均月产量：（6816＋7200）÷12=1168（台）
答：平均月产量是1168台。
4.（8.8-8.2）×5÷（8.2-7.2）=3（千克）
答：与乙种糖3千克混合。
5.分析 已知奇数个偶数的和，可以用和除以个数求出中间数，再求出其他各偶数。
中间数：1988÷7=284
其他六个数分别为278、280、282、284、286、288、290。
答：这7个偶数分别为：278、280、282、284、286、288、290。
6.分析 6个孩子年龄和与小明爸爸年龄相同，说明小明爸爸年龄是126岁的一半，是63岁.其他6个学生的年龄和也是63岁.63÷3＝21（岁），21=10＋11为中间两个数，所以其他四人
学大教育个性化教学教案
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.年龄依次为8、9、12、13岁。
答：这六个学生的年龄分别为：8、9、10、11、12、13岁。
学大教育个性化教学教案
7.解：设5只羊的重量从轻到重依次为A1、A2、A3、A4、A5.A1+A2=47，A1+A3=50„„A3+A5=58，A4+A5=59.10次称重5只羊各称过4次，所以它们的重量和应是：
A1＋A2＋A3＋A4＋A5
=（47+50+51＋52＋53+54+55+57+58+59）÷4=13A3=134-（A1+A2）-（A4+A5）=28
A1＝50-28＝22 A2＝47-22＝25
A5＝58-28=30 A4=59-30=29
答：这5只羊的重量分别为22千克、25千克、28千克、29千克、30千克.和倍应用题
小学数学中有各种各样的应用题。根据它们的结构形式和数量关系，形成了一些用特定方法解答的典型应用题。比如，和倍应用题、差倍应用题、和差应用题等等。
和倍应用题的基本“数学格式”是：
已知大、小二数的“和”，又知大数是小数的几倍，求大、小二数各是多少。
上面的问题中有“和”，有“倍数”，所以叫做和倍应用题。为了清楚地表示和倍问题中大、小二数的数量关系，画出线段图如下：
从线段图知，“和”是小数的(倍数+1)倍，所以，小数=和÷(倍数+1)。
上式称为和倍公式。由此得到
大数=和-小数，或 大数=小数×倍数。
例如，大、小二数的和是265，大数是小数的4倍，则
小数=265÷(4＋1)=53，大数=265-53=212或53×4=212。
【典型例题】
例1 甲、乙两仓库共存粮264吨，甲仓库存粮是乙仓库存粮的10倍。甲、乙两仓库各存粮多少吨？
分析：把甲仓库存粮数看成“大数”，乙仓库存粮数看成“小数”，此例则是典型的和倍应用题。根据和倍公式即可求解。解：乙仓库存粮 264÷(10＋1)＝24(吨)，甲仓库存粮
264-24=240(吨)，或
24×10＝240(吨)。
答：乙仓库存粮24吨，甲仓库存粮240吨。
【巩固练习】
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.1、甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？
分析 设乙班的图书本数为1份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系：
学大教育个性化教学教案
解：乙班：160÷（3+1）=40（本）
甲班：40×3=120（本）
或 160-40=120（本）
答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。
这道应用题解答完了，怎样验算呢？
可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是160本；再把甲班的本数除以乙班本数，看是不是等于3倍.如果与条件相符，表明这题作对了.注意验算决不是把原式再算一遍。
验算：120＋40=160（本）
120÷40=3（倍）。
例2 甲、乙两辆汽车在相距360千米的两地同时出发，相向而行，2时后两车相遇。已知甲车的速度是乙车速度的2倍。甲、乙两辆汽车每小时各行多少千米？
分析：已知甲车速度是乙车速度的2倍，所以“1倍”数是乙车的速度。现只需知道甲、乙汽车的速度和，就可用“和倍公式”了。由题意知两辆车 2时共行 360千米，故1时共行 360÷2＝180(千米)，这就是两辆车的速度和。解：乙车的速度为
(360÷2)÷(2＋1)= 60(千米/时)，甲车的速度为
60×2=20(千米/时)，或180-60=120(千米/时)。
答：甲车每时行120千米，乙车每时行60千米。
从上面两道例题看出，用“和倍公式”的关键是确定“1倍”数(即小数)是谁，“和”是谁。例
1、例2的“1倍”数与“和”极为明显，其中例2中虽未直接给出“和”，但也很容易求出。下面我们讲几个“1倍”数不太明显的例子。
例3 甲队有45人，乙队有75人。甲队要调入乙队多少人，乙队人数才是甲队人数的3倍？
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.分析：容易求得“二数之和”为 45＋75=120(人)。如果从“乙队人数才是甲队人数的3倍”推出“1倍”数(即小数)是“甲队人数”那就错了，从75不是45的3倍也知是错的。这个“1倍”数是谁？根据题意，应是调动后甲队的剩余人数。倍数关系也是调动后的人数关系，即“调入人后的乙队人数”是“调走人后甲队剩余的人数”的3倍。由此画出线段图如下：
从图中看出，把甲队中“？”人调入乙队后，(45＋75)就是甲队剩下人数的 3＋1＝4(倍)。从而，甲队调走人后剩下的人数就是“1倍”数。由和倍公式可以求解。解：甲队调动后剩下的人数为
(45＋75)÷(3＋1)＝ 30(人)，故甲队调入乙队的人数为45-30＝15(人)。
答：甲队要调15人到乙队。
学大教育个性化教学教案
【巩固练习】
1、甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？
分析 解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量.从已知条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量.最后要求甲班图书是乙班图书的2倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍.依据解和倍问题的方法，先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见上图）。
解：①甲、乙两班共有图书的本数是：
30＋120=150（本）
②甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是：
2＋1＝3（倍）
③乙班现有的图书本数是：150÷3=50（本）
④甲班给乙班图书本数是：50-30=20（本）
综合算式：
（30＋120）÷（2+1）=50（本）
50-30=20（本）
答：甲班给乙班20本图书后，甲班图书是乙班图书的2倍。
验算：（120-20）÷（30+20）＝2（倍）
（120-20）+（30+20）＝150（本）。
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例4 妹妹有书24本，哥哥有书53本。要使哥哥的书是妹妹的书的6倍，妹妹应给哥哥多少本书？
仿照例3的分析可得如下解法。
解：兄妹图书总数是妹妹给哥哥一些书后剩下图书的(6＋1)倍，根据和倍公式，妹妹剩下
(53＋24)÷(6＋1)＝11(本)。故妹妹给哥哥书24-11＝13(本)。
答：妹妹给哥哥书13本。
例5 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个。后来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔20个，而小灰兔自己又采了10个。这时，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。问：原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇？
分析与解：这道题仍是和倍应用题，因为有“和”、有“倍数”。但这里的“和”不是 160，而是160－20＋10＝150，“1倍”数却是“小灰兔又自己采了10个后的蘑菇数”。线段图如下：
根据和倍公式，小灰兔现有蘑菇(即“1倍”数)
(160-20＋10)÷(5＋1)＝25(个)，故小灰兔原有蘑菇25-10＝15(个)，大白兔原有蘑菇
160-15＝145(个)。
答：原来大白兔采蘑菇145个，小灰兔采15个。
学大教育个性化教学教案
例6 光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？
分析 把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人，如果用男、女生人数总和760人再加上40人，就等于女生人数的4倍（见下图）。
解：①女生人数：（760＋40）÷（3＋1）=200（人）
②男生人数：200×3-40=560（人）
或 760-200=560（人）
答：男生有560人，女生有200人。
验算：560＋200=760（人）
（560+40）÷200=3（倍）。
例7果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？
分析 下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答.又知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变为552+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的4倍。
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.学大教育个性化教学教案
解：①梨树的棵数：
（552＋20-12）÷（1＋1＋2）
=560÷4=140（棵）
②桃树的棵数：140×2＋12=292（棵）
③苹果树的棵数： 140-20=120（棵）
答：桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。
例8 549是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等.求4个数各是多少？
分析 上图可以看出，丙数最小.由于丙数乘以2和丁数除以2相等，也就是丙数的2倍和丁数的一半相等，即丁数相当于丙数的4倍.乙减2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根据这些倍数关系，可以先求出丙数，再分别求出其他各数。
解：①丙数是：（549＋2-2）÷（2＋2＋1＋4）
=549÷9
=61
②甲数是：61×2-2=120
③乙数是：61×2＋2=124
④丁数是：61×4=24验算：120+124＋61+244=549
120＋2=122 124-2=122
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.61×2＝122 244÷2＝122
答：甲、乙、丙、丁分别是120、124、61、244.练习1
1.小敏与爸爸的年龄之和是64岁，爸爸的年龄是小敏的3倍。小敏和她爸爸的年龄各是多少岁？
2.一肉店卖出猪肉和牛肉共560千克，卖出的猪肉是卖出的牛肉的4倍。猪、牛肉各卖了多少千克？
3.甲、乙两桶汽油共84千克。如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克，那么这时甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的3倍。甲、乙两桶原有汽油各多少千克？
4.甲、乙两人共生产零件100个，其中甲有2个零件、乙有5个零件不合格。已知乙生产的合格零件是甲生产的合格零件的2倍。甲、乙各生产了多少个零件？
5.团结村原有水田290公顷，旱田170公顷。要把多少公顷旱田改为水田，才能使水田的公顷数比旱田的公顷数多2倍？
6.红星小学图书馆内，科技书是故事书的3倍，连环画书又是科技书的2倍。已知这三种书共有1600本，那么每种书各有多少本？ 答案与提示 练习
1.16岁，48岁。
2.448千克，112千克。
3.甲桶48千克，乙桶36千克。解：乙桶原有84÷(3＋1)＋15=36(千克)，甲桶原有84-36=48(千克)。
4.甲33个，乙67个。
解：甲=(100-2-5)÷(2＋1)＋2=33(个)，乙=100-33=67(个)。
5.55公顷。
解：170-(290＋170)÷(2＋1＋1)=55(公顷)。
6.故事书160本，科技书480本，连环画960本。
解：以故事书为“1倍”数，则科技书为它的3倍，连环画书为它的3×2=6(倍)。由和倍公式，得
故事书有1600÷(1＋3＋6)＝160(本)，科技书有160×3=480(本)，连环画有160×6＝960(本)。
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习题2
1.小明和小强共有图书120本，小强的图书本数是小明的2倍，他们两人各有图书多少本？
2.果园里一共种340棵桃树和杏树，其中桃树的棵数比杏树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？
3.一个长方形，周长是30厘米，长是宽的2倍，求这个长方形的面积。
4.甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分种23立方米的速度流入乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的4倍？
5.甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍？
6.有3条绳子，共长95米，第一条比第二条长7米，第二条比第三条长8米，问3条绳子各长
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.多少米？习题2解答
1.①小明的本数：120÷（2＋1）=40（本）.②小强的本数：40×2=80（本）。
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2.①杏树的棵数：（340-20）÷（3＋1）=80（棵）.②桃树的棵数：80×3＋20=260（棵）。
3.①长方形的宽：（30÷2）÷（2＋1）=5（厘米）.②长方形的长： 5×2=10（厘米）。
③长方形的面积：10×5=50（平方厘米）。
4.①甲、乙两水池共有水：
2600＋1200=3800（立方米）
②甲水池剩下的水：
3800÷（4+1）=760（立方米）
③甲水池流入乙水池中的水：
2600-760=1840（立方米）
④经过的时间（分钟）：1840÷23＝80（分钟）。
5.①甲、乙两桶油总重量：
470+190=660（千克）：
②当甲桶油是乙桶油2倍时，乙桶油是：
660÷（2+1）=220（千克）：
③由甲桶倒入乙桶中的油：220-190=30（千克）。
6.①变化后的绳子总长 95-7＋8=96（米）.②第二条绳长： 96÷（1＋1+1）=32（米）。
③第一条绳长：32＋7=39（米）。④第三条绳长：32-8=24（米）.与和倍应用题相似的是差倍应用题。它的“基本数学格式”是：
已知大、小二数之“差”，又知大数是小数的几倍，求大、小二数各是多少。
上面的问题中，有“差”、有“倍数”，所以叫做差倍应用题。差倍问题中大、小二数的数量关系可以用下面的线段图表示：
从线段图知，“差”是小数(即“1倍”数)的(倍数-1)倍，所以，Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.小数=差÷(倍数-1)。
上式称为差倍公式。由此得到
大数=小数+差，或
大数=小数×倍数。
例如，大、小数之差是152，大数是小数的5倍，则
小数=152÷(5-1)=38，大数=38＋152=190或38×5＝190。
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【典型例题】
例1 王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个，且是徒弟的3倍。师徒二人一天各生产多少个零件？
分析：师徒二人一天生产的零件的“差”是128个。小数(即“1倍”数)是徒弟一天生产的零件数，“倍数”为3。由差倍公式可以求解。
解：徒弟一天生产零件
128÷(3-1)=64(个)，师傅一天生产零件
128＋64＝192(个)或64×3＝192(个)。
答：徒弟、师傅一天分别生产零件64个和192个。
【巩固练习】
1、甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？
分析 上图把乙班的图书本数看作1倍，甲班的图书本数是乙班的3倍，那么甲班的图书本数比乙班多2倍.又知“甲班的图书比乙班多80本”，即2倍与80本相对应，可以理解为2倍是80本，这样可以算出1倍是多少本.最后就可以求出甲、乙班各有图书多少本。
解：①乙班的本数： 80÷（3-1）=40（本）
②甲班的本数： 40×3=120（本）
或40＋80=120（本）。
验算：120-40＝80（本）
120÷40=3（倍）
答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例2 两根电线的长相差30米，长的那根的长是短的那根的长的4倍。这两根电线各长多少米？ 解：“差”＝30，倍数=4，由差倍公式得短的电线长
30÷(4-1)＝10(米)，长的电线长
10＋30＝40(米)或10×4＝40(米)。
答：短的电线长10米，长的电线长40米。
解差倍应用题的关键是确定“1倍”数是谁，“差”是什么。上两例中，“1倍”数及“差”都极明显地直接给出。下面讲两个稍有变化，不直接给出“差”和“1倍”数的例子。
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【巩固练习】
1、有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？
分析 上图，两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12米，第二根绳子又接上14米后，第二根的长度是第一根的3倍.应该把变化后的第一根长度看作1倍，而12+14=26（米），正好相当于第一根绳子剩下的长度的2倍.所以，当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了，那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。
解：①第一根截去12米剩下的长度：
（12+14）÷（3-1）＝13（米）
②两根绳子原来的长度：13＋12＝25（米）
答：两根绳子原来各长25米。
自己进行验算，看答案是否正确.另外还可以想想，有无其他方法求两根绳子原来各有多长.小结：解答这类题的关键是要找出两个数量的差与两个数量的倍数的差的对应关系.用除法求出1倍数，也就是较小的数，再求几倍数。
解题规律：
差÷倍数的差=1倍数（较小数）
1倍数×几倍=几倍的数（较大的数）
或：较小的数+差=较大的数。
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例3 甲、乙二工程队，甲队有56人，乙队有34人。两队调走同样多人后，甲队人数是乙队人数的3倍。问：调动后两队各还有多少人？
分析：画线段图如下：
由上图可知，“1倍”数是乙队调动后剩下的人数。因甲、乙队调走的人数相同(不影响他们二队人数之差)，所以，甲、乙两队人数之差仍是56-34=22(人)。解：由差倍公式得调动后乙队有
(56-34)÷(3-1)=11(人)。
调动后甲队有
11×3=33(人)或11＋(56-34)=33(人)。
答：调动后甲队有33人，乙队有11人。
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【巩固练习】
1、菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？
分析 这样想：根据“菜站运来的白莱是萝卜的3倍”应把运来的萝卜的重量看作1倍；“卖出白菜1800千克，萝卜300千克后，剩下两种蔬菜的重量正好相等”，说明运来的白菜比萝卜多1800-300=1500（千克）.从上图中清楚地看到这个重量相当于萝卜重量的3-1=2（倍），这样就可以先求出运来的萝卜是多少千克，再求运来的白菜是多少千克。
解：①运来萝卜：（1800-300）÷（3-1）=750（千克）
②运来白菜： 750×3=2250（千克）
验算：
2250-1800=450（千克）（白菜剩下部分）
750-300=450（千克）（萝卜剩下部分）
答：菜站运来白菜2250千克，萝卜750千克。
例4 甲、乙两桶油重量相等。甲桶取走26千克油，乙桶加入14千克油，这时，乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。两桶油原来各有多少千克？
分析与解：画线段图如下：
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.从上图知，当甲桶取走26千克、乙桶加入14千克后，乙桶里的油就是甲桶里的油的3倍，所以，“1倍”数是甲桶里剩下的学大教育个性化教学教案
油。“差”是什么呢？从图中可知，“1倍”与“3倍”之间的差26＋14＝40(千克)就是我们要找的“差”。所以，由差倍公式知，“1倍”数=(26＋14)÷(3-1)＝20(千克)。
故甲、乙桶原来各有油
20＋26＝46(千克)，或 20×3-14＝46(千克)。
答：原来各有46千克。
【巩固练习】
1、两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米后，第二块是第一块的4倍，求每块花布原有多少米？
分析 已知两块花布同样长，由于第一块卖出的多，第二块卖出的少，因此第一块剩下的少，第二块剩下的多.所剩的布第二块比第一块多31-19=12（米）.又知第二块所剩下的布是第一块的4倍，那么第二块比第一块多出的12米正好相当于所剩布的（4-1）倍，这样，第一块所剩布的长度即可求出（见上图）。
解：①第二块布比第一块布多剩多少米？
31-19＝12（米）
②第一块布剩下多少米？
12÷（4-1）=4（米）
③第一块布原有多少米？
4+31=35（米）（两块布原有长度相等）
综合列式：
（31-19）÷（4-1）+31
=12÷3+31
=4＋31
=35（米）
验算：35-31=4（米）
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