第一篇：如何在数学教学中打开学生的解题思路
如何在教学中打开学生的数学解题思路
盐城市登瀛小学
徐勇
【摘要】 ：拿到一个题目如何快速敏捷地想出正确的解题思路，是学生各种解题方法综合应用的能力的高度体现，它不是一下子就能产生，而是在丰富知识量和记忆储备的基础上进行的。要想快速打开思路，基础知识、基本方法和基本技能是必要的条件。因此，双基教学是重要的一环，在这前提下数学教学中可通过如下几个方面来加强解题思路的培养。
【关键词】 ：解题思路
思维展示
整体把握 双基教学 在学生时期我们都认为数学枯燥，数学难学。然而成功攻破数学难题又是学生公认的最大快乐。拿到一个题目如何快速敏捷地想出正确的解题思路，是学生各种解题方法综合应用的能力的高度体现，它不是一下子就能产生，而是在丰富知识量和记忆储备的基础上进行的。要想快速打开思路，基础知识、基本方法和基本技能是必要的条件。因此，双基教学是重要的一环，在这前提下数学教学中可通过如下几个方面来加强解题思路的培养：
一、给学生一个思维展示的舞台
解题从审题开始，审题是解题的基础。拿到题目先要弄清题意，搞清已知是什么？未知是什么？糟糕的情况是学生并没有理解问题就进行演算或作图。一般来说，在尚没看到主要联系或者尚没作出某种计划的情况下，去处理细节是毫无用处的。但有些学生习惯于老师 讲，自己听。有时问题的解决因明显的“暗示”轻易得到解决，甚至有的教师还怕学生不按自己的设想去思考，到时下不了台，想方设法堵住学生“出轨”的想法，而到学生自己独立解决问题时，这种特定的情景没有了，问题以外的提示不存在了，于是学生也就不知道应当去想什么，或者根本想不出什么来了，解题思路自然也无法展开了，毫无题感可言，本来解题过程就是一个选择知识、选择方法的过程。“选择就是能力”，我们把这最重要的过程跳过去了，那学生如何找到思路，学会解题，提高能力呢？所以在审题过程中：
1、多让学生想
就是将要解决的问题展示给学生后，教师不要忙于分析、讲解，而是留出足够的时间，让学生弄清题意，并告诉学生，试试看，你由“条件”能想到些什么？你由“结论”又想到些什么？只要是与条件或结论或本题有联系的知识、或方法尽可能多的想出来!（经常地从普通适用的问句与提示开始，经常地启发提问相同、类似的问句，指示相同、相类似步骤，以强化同一的心智活动，并养成习惯，习惯的养成就是需要从强制到认同再到自觉这样一个过程的）
2、多让学生画
在弄清题意之后，首先想到要画出一个能体现问题特征的图形或图表，以帮助自己直观思考问题。不仅几何问题需要这种画图意识，对非几何问题这种画图意识更加重要，也更加有效，要让学生养成“数形结合”的良好解题习惯。
3、多让错误曝光
在平时教学中，有些教师害怕学生出现解题错误，只注重教给学生正确的结论，忽视揭示知识形成过程中错误的缘由。事实上，错误是正确的先导，成功的开始。有道失败是成功之母，学生所犯错误及其对错误的认识，是学生获得和巩固知识的重要途径。
二、激发求知欲，训练思维的积极性。
思维的惰性是影响发散思维的障碍，而思维的积极性是思维惰性的克星。所以，培养思维的积极性是培养发散思维的极其重要的基矗在教学中，教师要十分注意激起学生强烈的学习中，教师要十分注意激起学生强烈的学习兴趣和对知识的渴求，使他们能带着一种高涨的情绪从事学习和思考。例如：在二年级《乘法初步认识》一课中，教师可先出示几道连加算式让学生改写为乘法算式。由于有乘法意义已经掌握，虽然是二年级小学生，仍能较顺畅地完成了上述练习。而后，教师又出示３＋３＋３＋３＋２，让学生思考、讨论能否改写成一道含有乘法的算式呢？经过学生的讨论与教师及时予以点拨，学生列出了３＋３＋３＋３＋２＝３×５－１＝３×４＋２＝２×７……虽然课堂费时多，但这样的训练却有效地激发了学生寻求新方法的积极情绪。我们在数学教学中还经常利用“障碍性引入”、“冲突性引入”、“问题性引入”、“趣味性引入”等，以激发学生对新知识、新方法的探知思维活动，这将有利于激发学生的学习动机和求知欲。在学生不断地解决知与不知的矛盾过程中，还要善于引导他们一环接一环地发现问题、思考问题、解决问题。例如，在学习“直线”的认识时，学生列举了生活中见过的直线，例如：一条笔直的公路、一根电线、一支铅 笔等，从而使学生的学习时始终处于兴奋状态，这样有利于思维活动的积极开展与深入探寻。
三、适时借题发挥，开拓学生思路
教学中既要突出变，更要善于变，让学生在充满新奇的变化中，产生强烈的学习欲望和对新问题的极大关注，从而启发思维，发展思维能力。教学中要挖掘例题、习题的潜在功能，随时对例题、习题求变，表现在：
1、一题多变
把题目进行加工，引申发展，提问问题的背景，增加发散的成分，一般可通过隐去结论、增加限制、改变陈述方式、减少问题条件、逆向改编、引申发展等手段，增加问题变化不定的因素，让学生在好奇、趣味中探索问题，使学生经过联想、探索，达到启发学生思维的目的，提高学生良好的解题感觉,一题多变有助于巩固所学的基本题,有助于把各章节有联系的基本题穿成串便于分析比较,断定正错和推理,掌握知识之间的内在联系和规律性,促进学生实践知识的飞跃。
2、一题多解
这是通过对解题方法的限制加大问题的难度，使学生思路广阔，一题多解要求学生善于从多角度、多方位、多层次分析题目的内容和所提出的问题。用不同的方法解答同一道题目，一方面可以起到互相检验的作用，另一方面通过对不同解法的比较，可以发现哪种方法更简单，哪种方法更容易理解，教师应适时的引导学生从不同的方法、角度、思维方式去观察、联想、分析，根据问题的特定条件探索出一 系列的解题思路。激发学生去发现和去创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维，培养学生的发散思维能力，这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。但是在采用一题“多”解教学时应注意,不要一味追求不同解题方法的数量,而要注意各种方法的比较,注意解题思想、方法的挖掘。四．整体把握分析，突破难点，找出解题思路
同学们在考虑问题时，通常会从局部因素入手，但是有些问题，从局部条件入手相当复杂，如果站在整体的角度来看，就会有新的发现。
例：甲、乙两数和是92，乙、丙两数和是96，甲、丙两数和是94人，问甲、乙、丙三个数各是多少？
分析：如果分别求出三个数各是多少，显然很困难，所以，可以从整体把握，观察思考：已知的三个条件中，每个条件都包含两个数，合到一起就是六个数的和，厘米包含有2个甲、2个乙、2个丙，求出一半，就是甲、乙、丙三个数的和，然后根据条件中每两个数的和都可以求出第三个数。像这样尽可能地分散难点，各个击破，就可将问题逐一解决。
五、注重双基教学，培养数感、图感
让学生对一些基本的方法、基本的图形基础知识进行必要的记忆储备，培养数的感觉、图形的感觉。《标准》中强调：“要引导学生联系自己身边的具体、有趣的事物，通过观察、操作、解决问题等丰富的活动，感受数的意义，体会数用来表述和交流的作用，初步建立 数感”。教学中，教师要充分利用现实生活的资源，创设有助于儿童理解数学的教学情境，唤醒学生已有的生活经验，再现数的概念的现实来源和实际应用，达到让学生把握数概念的实质，真正理解数的意义，建立良好的数感。例如，教学“数一数”时，可以引导学生观察书上的主题图，欢快、温馨、富有童趣的画面带给学生对幼儿生活的美好回忆，更是对多彩的小学生活的热切向往。由于一般都有幼儿园里的学习基础，小朋友们会兴致盎然地去数：1只木梯、2个秋千、3只木马、4架飞机……无一不是他们生活中常见的东西，数学就是这样的无处不在；数完了，学生之间就要互相说一说图有些什么。于是“数”成为学生之间进行交流的必不可少的工具，实实在在的作用。总之在教学中，学生的解题思路的培养不是一朝一夕就能得到的，需要我们老师长期引导和启迪才能形成的。
第二篇：初三数学解题思路
三、名词解释
1.2.3.4.5.土的可松性：自然状态下的土经开挖后，其体积因松散而增加，虽经回填压实，仍不能恢复到原来的体积，这种性质成为土地基处理：是指利用物理或化学的方法对地基中的不良土层进行置换、改良、补强，形成满足建筑要求的人工地基的过程。轻型井点降水：井点降水法是在基坑开挖前，先在基坑四周埋设一定数量的井点管和滤水管，挖方前和挖方过程中利用抽水“三 一”砌砖法：一块砖、一铲灰、一揉压，并随手将挤出的砂浆刮去的砌筑方法。砼保护层厚度及保护作用：砼保护层厚度是指纵向受力钢筋外边缘至砼构件表面的距离。保护砼中钢筋不受锈蚀。的可松性。设备，通过井点管抽出地下水，使地下水位降至坑底以下，避免产生坑内涌水、塌方和坑底隆起现象，保证土方开挖正常进行。
四、简答题
1.沉管灌柱桩施工工艺？
答：场地平整、定桩位→沉管设备就位→设桩靴→吊套管对位→校垂度→沉管→检查沉管质量→浇封底混凝土→放钢筋笼→浇筑桩身混凝土。
2.量度差值？
答：钢筋弯曲后，外边缘伸长，内边缘缩短，而中心线既不伸长也不缩短。由于钢筋下料长度系指中心线长度，而标注尺寸为外包尺寸，故钢筋弯曲后存在一个量度差值。因此，在计算下料长度时必须加以扣除，否则将形成下料太长造成浪费，或弯曲成型后钢筋尺寸大于要求造成保护层不够，甚至由于钢筋尺寸大于模板尺寸而无法安装。
3.为什么要进行施工配合比换算？
答：砼实验室配合比是根据完全干燥的砂、石骨料制定的，而施工现场的砂、石均有一定的含水率，且含水率大小又会随气候、季节发生变化。为保证现场拌制砼用料准确，故应将砼实验室配合比换算成骨料在实际含水率情况下的施工配合比。
4.分件安装法？
答：分件安装法是指起重机在车间内每开行一次仅吊装一种构件，待这一类构件安装完后，再吊装另一类构件，通常分三次开行安装完全部构件。第一次开行：吊装全部柱子，并对柱子进行校正和最后固定。第二次开行：吊装吊车梁和连系梁及柱间支撑等。第三次开行：分节间吊装屋架、天窗架、屋面板及屋面支撑等。
5.什么是施工缝?施工缝留设的一般原则是什么?
答：(1)混凝土不能连续浇筑完成,停歇时间又超过混凝土运输和浇筑允许的延续时间, 先、后浇筑的混凝土接合面称为施工缝.(2)施工缝的留设位置应在结构受剪力较小且便于施工的部位。
6.自行式起重机的工作参数？
答：在选择自行式起重机时，主要考虑起重量Q、起重半径R、起重高度H这三个工作参数。起重量是指起重机在一定起重半径范围内起重的最大能力；起重半径是指起重机回转中心到吊钩中心的水平距离；起重高度是指起重机吊钩中心到停机面的垂直距离。
7.孔道灌浆的作用？
答：一是保护预应力筋免遭锈蚀；二是使预应力筋与构件砼有效的粘结，以控制超载时裂缝的间距与宽度，并减轻两端锚具的负荷。
8.单层排架工业厂房柱子安装的施工工序？
答：单层砼排架结构工业厂房构件的安装施工包括绑扎、吊升、对位、临时固定、校正、最后固定等工序。
9.什么是先张法施工？其适用范围?
答：先张法施工，是在砼浇筑之前张拉预应力筋并将预应力筋用夹具临时固定在台座或钢模板上，待砼达到一定强度（一般不低于砼设计强度标准值的75%）时，放松或切断预应力筋，使预应力筋弹性回缩，借助预应力筋与砼间的粘结力传递预应力，使构件受拉区的砼获得预压应力。
适用于生产定型的中小型构件，如空心板、屋面板、吊车梁、檩条等。
10.什么是后张法施工？其适用范围？
答：后张法是先制作构件，并在构件中按设计规定的位置预留孔道，待砼强度达到设计规定的数值后，在孔道内穿入预应力筋进行张拉，使构件产生预应力，并用锚具将预应力筋锚固在构件的端部，最后进行孔道灌浆。预应力筋的张拉力主要是靠构件端部的锚具传递给砼，使砼产生预压应力。
适用于在现场生产大型构件，特别是大跨度构件，如薄腹梁、吊车梁和屋架等。
11什么是后张法? 答:后张法是在混凝土硬化至一定强度后,再张拉预应力筋的预应力混凝土生产方
法。它是在构件设置预应力筋的部位,预先留有孔道,然后灌筑混凝土,待达到规定强度后,将钢筋(丝)
穿入预留孔道中,按设计要求的张拉控制应力进行张拉,并且专门的锚具将钢筋(丝)锚固在构件的两
端,同样由于钢筋的弹性回缩,对混凝土施加压力,再在孔道中灌入沙浆,以保护钢筋,减缓锈蚀。
第三篇：小学数学解题思路技巧
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小学数学解题思路技巧
神奇的1和0 ［知识要点］
1．我们用字母α表示除0以外的任何数，则有
⑴ α×1=1×α=α；
α÷1=α。
⑵ α＋0=0＋α=α；
α－0=α；
α×0=0×α=0；
0÷α=0。
⑶ α÷0无意义。
2．掌握含0的数的读法，规定末尾的0不读；中间有一个0或几个0连在一起都只读一个0。［范例解析］
例1 计算下面由数字1组成的“金字塔”，把所有的1都加起来，看谁算得快。
解
“金字塔”每层的和分别是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。
它们的总和是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 例2 请回答：数字3最少是几个数字相乘的积？最多呢？
解
由于3×1=3，所以3最少是两个数字的积，最多可看成是一个数3和无穷多个数1的积。
例3 我们做一个数字计算游戏。任取一个不是1的数，如果是双数就除以2（如取18，就18÷2）；如果是单数就乘以3加上1后再除
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以2[如取7，就（7×3＋1）÷2]。现在我们取数3，反复用这两种方法计算，最后的结果怎样？任取数7呢？
解
将数3按这两种方法计算有：
3×3＋1=10
10÷2=5
5×3＋1=16
16÷2=8
8÷2=4
4÷2=2
2÷2=1
简记为：3→10→5→16→8→4→2→1
同样，对于数7有：
7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1 数3和数7经过用规定的两种方法反复计算，最后的结果都是1。这种计算方法称“角谷猜想”。例4 2÷0得几？说明理由。
解
假定2÷0=α，根据除法的意义，应有α×0=2。但α×0=0，所以α×0不能等于2。这说明，找不到一个数与0的积等于2，故2÷0无意义。
例5 把两个“9”和两个“0”拿来组成四位数，那么：
⑴ 两个0都不读出来的数是什么数？
⑵ 只读出一个0的数是什么数？
⑶ 四位数中最大的一个数是什么数？
⑷ 四位数中最小的一个数是什么数？
解
⑴ 9900
⑵ 9090
⑶ 9009
⑷ 9900 例6 计算：⑴ 1300×3
⑵ 1600×5
⑶ 470×3
⑷ 5008
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×5 解
［思路技巧］
任何一个数中间或末尾的0，都占一个数位。因此，用乘数去乘被乘数时，不管乘数中间有几个0，都要一个一个地同乘数相乘；遇到被乘数末尾有0的时候，可以先用乘数去乘0前面的数，然后在乘得的数的末尾填写0，填写0的个数要与被乘数末尾的0的个数相同。
总之，0和1有许多奇妙的性质，用途很广，例如，电子计算机所采用的二进制数，就只用1和0来表示。随着数学知识的增长，你会越来越感到它们重要。［习题精选］ 1．填空。
1×（）=1
1＋（）=1
1－（）=1
2－（）=1
1÷（）=1
7÷（）=1 2．计算。
⑴ 617×0×4
⑵ 5783×9×0
⑶ 80×3×1 ⑷ 2030×3×4
⑸ 3020×2×3
⑹ 7010×1×2 3．用“角谷猜想”计算方法填数。
⑴ 6→□→□→□→□→□→□→□→
⑵ 18→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→1
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4．在6的后面添上一个0，这个数是原来的几倍？比原来的数多多少？
5．1400末尾的两个0可以不读，也可以不写，对吗？为什么？ 6．1005中间的两个零只读一个，也可以只写一个，对吗？为什么？ 7．0、2、4、6、8五个数字的和与2、4、6、8、0五个数字的积相比，不用计算，你说是和大？还是积大？ 8．比比看，谁做得又对又快？
1＋0
0＋1
1×1
1×0
1－1
0＋0
1÷1
0×0
1－0
0÷1 1＋1
6×1
6÷1
7＋0
0＋7
7－0
0÷7
7－7
7×7（6－6）×4
（8－8）×0
0÷（8－4）
1×1＋1÷1＋0×1＋0÷1 9．用四个
3、三个0写成七位数，按下面的要求写出各多位数：
一个零都不读出来
（）
只读出一个零
（）
读出两个零
（）
读出三个零
（）10．数字迷。
下面每个题里都有一组数，请你从中找出一个适合各问条件的数：
⑴ 7 6 25 53 19
这个数被3除余1；
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这个数比最小的两位数大；
这个数加上1，再乘以5正好是最小的三位数；
这个数的几？
⑵ 30500 53010
400200 7003000
这个数只读出一个零；
这个数的最高位在二节中；
这个数各个数位上的数的和为8；
这个数是几？
11．用1、0、0、4四个数字写出两个四位数，要使它们是差是99，这两个四位数分别是（）和（）。余数的妙用 ［知识要点］
1．被除数=除数×商＋余数；
2．余数要比除数小；
3．会解有余数除法的应用题。［范例解析］
例1 如图1-1。把14个乒乓球平均分给三个班，每班分得几个？还余下几个？
解
14÷3 = 4余2
每班分得4个还余2个。
例2 下面三个竖式，哪个对？哪个不对？为什么不对？
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解
第一个竖式不对，它的余数8比除数5还大，还可商1，即商应为8；
第二个竖式也不对，因商和除数的积不能大于被除数；
第三个竖式是对的，余数3小于除数5。
说明
计算有余数的除法，余数一定要比除数小。这时被除数、除数、商和余数的关系是：
被除数 = 除数×商＋余数
被除数－余数 = 除数×商
例3 把11、12、13、14、15、16、17分别除以3时，各得哪些余数？
解
11÷3 = 3余2；
12÷3 = 4余0；
13÷3 = 4余1；
14÷3 = 4余2；
15÷3 = 5余0；
16÷3 = 5余1；
17÷3 = 5余2。说明
一串连续数除以同一个数，因为它们的余数小于除数，所以余数重复出现。
“余数”在我们生活中还有不少的用处呢！
例4 国庆节挂彩灯，用六种颜色的灯泡，按红、黄、蓝、白、绿、紫的次序装配，总共要装50只灯，每种颜色的灯泡各需要多少只？
解
可以这样想，六种颜色的灯泡作为一组，50只灯泡可以分成50÷6 = 8（组）余2（只）
于是，其中有四种颜色的灯泡各配8只，另两种颜色的灯泡
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各配9只。
例5 今天是星期三，再过20天是星期几？
解
今天是星期三，因为一个星期有7天，以星期一为星期的第一天计算，因已经过了3天。所以有
（20＋3）÷7 = 3余2
即再过20天是星期二。
例6 把4、7、18、2四个数填入下式的括号中。
（）÷（）=（）余（）
分析
第一个括号是被除数，它必须填最大的一个数18。其次，除数比余数要大，因此，第二个括号中的数必须比最后一个括号中的数要大，但是7×4大于18，所以最后一个括号中只能填数4。即题中式子填数如下：
（18）÷（7）=（2）余（4）［思路技巧］
１．正确理解余数的性质，是正确解决有关余数问题的关键。
２．计算有余数的除法，余数一定要比除数小。［习题精选］ １． 看图填数。
⑴
11÷3 = ______(根)......______（根）
⑵
14÷4 = ______(份)......______（个）
14÷3 = ______(个)......______（个）
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２． 下面各题的计算对吗？把不对的改过来。
⑴ 38÷5 = 6......8
49÷6 = 7......7
49÷8 = 5......9
33÷4 = 8......1
2÷1 = 1......1
17÷3 = 5......2
３．（）里最大能填几？
（）×8＜55
（）×5＜19
（）×7＜33
（）×9＜62
（）×6＜50
（）×4＜14 ４．55除以7，商几余几？除以8呢？除以9呢？ ５．
被4除没有余数的：________________
被9除没有余数的：________________ ６．⑴ 用下面各数除以2时，得到哪些余数？除以4时，得到哪些余数？11、13、14、15、17、19
⑵ 用下面各数分别除以5、6时，各得到哪些余数？11、12、13、14、15、16、17 ７．把23、7、3、2填入两个式子中，使它们的余数相同。
（）÷（）=（）......（）
（）÷（）=（）......（）８．下面三个算式的被除数相同，你能填出来吗？
（）÷7 =（）......1
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（）÷6 =（）......5
（）÷5 =（）......4 ９．在□里填上适当的数。
１０．在机场上停着20架飞机，准备每3架编为一组起飞，可以编成几组？还声几架？
１１．⑴ 把16张风景画片平均分给5个同学，每人分得几张？还剩几张？
⑵ 把16张风景画片分给同学，每人分得5张，可以分给几个同学？还剩几张？
１２．⑴ 一件衬衣前面要钉5个纽扣，袖口要钉2个纽扣，一共要钉几个纽扣？
⑵ 现有45个纽扣，每件钉7个，够钉几件衬衣？还剩几个纽扣？
１３．有30千克水果糖，每盒装4千克，剩下的装在纸袋里，纸袋里装多少千克糖？
１４．一个星期有7天，十月份有31天，十月份里有几个星期零几天？
１５．⑴ 学校开会庆“六一”，有9面彩旗，平均插在会场两边，每边插几面？还剩几面？
⑵ 学校开会庆“六一”，有9面彩旗，会场两边各插4面旗，中间插1面旗，共插了几面旗？
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周期现象 ［知识要点］
自然界里有许多现象，如春、夏、秋、冬年复一年地交替；白天与黑夜反复出现；我国民间流传着“初
三、初四娥眉月，十五、十六月团圆”的说法；七天一个星期，等等，都是周期现象。
算术中也有一些有趣的周期问题。例如，一串连续的自然数被3除的余数是： 1、2、0、1、2、0、1、2、0、......它是1、2、0重复出现的一列数，即周期是3。
本节就是要让学生初步了解周期现象，并会用周期解某些较简单的问题。［范例解析］
例1 有一串黑白珠子排列如图1-4所示。
○●○○○●○○○●○○○●○○○●○......图1-4
其中黑珠与白珠共有70个，那么最后一个是黑珠还是白珠？共有几个白珠？
解
我们由图1-4可知○●○○四个珠子是一个周期，又70÷4=17余2，即这一串珠子经过17次重复后还余2个珠子○●，因此，最后一个是黑珠子。
一个周期的4个主张中有3个白珠，最后2个主张中有一个白珠，白珠一共应有：
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3×17＋1 = 51＋1 = 52（个）
说明
对于周期问题，关键是要抓住周期规律这一重要环节，问题才好解决。
例2 1994年4月10日是星期六，那么这一年的7月5日是星期几？ 解
从4月10日至7月5日的天数是：
（30－9）＋31＋30＋5 = 87（天）
又一个周期的周期是7，所以
87÷7 = 12余3
即87天经过12个星期又3天，这3天应是星期
六、星期日、星期一。
我们推算出7月5日是星期一。
例3 1、2、0、1、2、0、1、2、0......第1995个数字是多少？ 解
这一列数中，它的一个周期是：1、2、0，即周期是3。又
1995÷3 = 665
故这一列数按12、0重复665次，所以第1995个数字是0。例4 1＋2＋3＋4＋...＋1992＋1993被5除的余数是多少？ 分析
这个问题如果先求和，就比较麻烦。我们知道，这1993个数被5除的余数周期性的出现，组成下面一列数： 1、2、3、4、0、1、2、3、4、0、1、2、3、4、0......我们知道，1、2、3、4、0是一个周期，周期是5。并且一个周期的5个余数的和是：
1＋2＋3＋4＋0 = 10
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又10÷5 = 2，即是一个周期中5个数字之和可被5 除尽。这就是说，前5个数字的和能被5整除，接着的5个数字的和同样也能被5整除，等等。这样，有多少个5个数字的和可以被5整除呢？ 我们知道，1993÷5 = 398余3。
即应有398个5个数字的和可以被5整除。只考虑最后三个数的余数是1、2、3。
又1＋2＋3 = 6，6÷5 = 1余1 所以，它们的和被5除的余数是1。
［思路技巧］
１．对于周期问题，解决的关键是要正确观察出周期的规律。２．有些问题，虽然不是周期问题，我们可以巧妙地将它转化为周期问题来解决。［习题精选］
１．2、1、1、3、5、2、1、1、3、5......，第273个数字是多少？ ２．某年3月5日是星期四，那么这一年的10月1日是星期几？ ３．某年的9月15 日是星期五，那么这一年的5月5日是星期几？ ４．同样大小的红、白、黑三色球共193个，它们按如图1-5规则排列，其中红球有多少个？最后一个球是什么颜色？
５．1＋2＋3＋4＋......＋1993＋1994的和被9除的余数是多少？ ６．有14个数排成一横排，每个数写在一个方格子里，它们具有这样的性质：任何三个相邻的数加起来都是10；另外从左边算起的第4精心收集
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个数等于5，第12个数等于4，问第8和数“？”等于多少？
？
７．1＋2＋3＋......＋9999＋10000被7除的余数是多少？
８．1994年的1月5日是星期三，问这一年的7月1日是星期几？ ９．1、2、0、3、1、2、0、3、1、2、0、3......这一列数的第186个数字是多少？这186个数的和是多少？
１０．拼音字母A、B、C按下面的规律排列：A、B、A、A、C、A、B、A、A、C......共有178个字母。请填下列空格：
⑴ 一个周期A、B、A、A、C它有（）个字母；
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⑵ 一个周期中A有（）个，余数中A有（）；
⑶ 共有（）×（）＋（）=（）个A；
⑷ 最后一个字母是（）。加减巧算 ［知识要点］
１．加法的交换律与结合律，用字母表示则有：
α＋b = b ＋α，α＋(b＋c)=(α＋b)＋c
２．减法的性质，用字母表示则有：
α－(b＋c)= α－b－c
反之，α－b－c = α－(b＋c)［范例解析］
例1 简便计算下列各题。
⑴ 129＋84＋71
⑵ 83＋135＋65
⑶ 34＋75＋66
128＋73＋27＋17 解
⑴
129＋84＋71 =（129＋71）＋84 = 200＋84 = 284
⑵
83＋135＋65
= 83＋（135＋65）= 83＋200
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⑷
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= 283
⑶
34＋75＋66 =（34＋66）＋75 = 100＋75 = 175
⑷
128＋73＋27＋17 =（128＋17）＋（73＋27）= 145＋100 = 245
例2 你能巧算297＋65的和吗？
分析
我们发现，第一个加数只要加上数3就凑成整数300，这样计算就方便多了。
解法一
297＋65 = 297＋65＋3－3 =（297＋3）＋（65－3）= 300＋62 = 362
解法二
297＋65 = 297＋62＋3 =（297＋3）＋62
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= 300＋62 = 362 说明
“凑整”是速算中最常见、简单易行的方法，计算时，若凑成10、100、1000、......计算自然方便。但“凑整”不是任意凑，而是有目的地进行，才能起到速算的效果。再看例3。例3 速算下面两题。
⑴ 3471＋5899
⑵ 3891－1992 解
⑴
3471＋5899 = 3471＋（5899＋101）－101 = 3471＋6000－101 = 9471－101 = 9370 ⑵
3891－1992 =（3891－2000）＋8 = 1891＋8 = 1899
例4 速算下面两题。
⑴ 280－（80＋92）
⑵ 297－173－27 解
⑴
280－（80＋92）= 280－80－92 = 200－92
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= 108 ⑵
297－173－27 = 297－（173＋27）= 297－200 = 97 ［思路技巧］
“凑整”是速算中最常见的方法，有目的地把数凑成10、100、1000、......，可以使问题简化。［习题精选］
１．简便计算下面各题。
⑴ 74＋29＋26
⑵ 153＋29＋171
⑶ 58＋47＋42＋13
⑷ 149＋32＋151＋68
⑸ 2608＋529＋392＋27 ２．看谁算的快。
⑴ 36－12－6
⑵ 75－36－19
⑶ 129－（29＋40）
⑷ 1995－（1001＋895）３．速算。
⑴ 5789＋2011
⑵ 1832－997
⑶ 6801＋345＋3199
⑷ 362＋345＋638＋655 ４．看谁算的快。
⑴ 57＋78＋43＋42
⑵ 249＋132＋151＋68
⑶ 405＋997
⑷ 298＋87 ５． 下面有这样几排数。
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⑴ 第一竖行各个数的和是15，请你很快算出其余四个竖行各个数的和；
⑵ 第一横行各个数的和是55，请你很快算出其余四个竖行各个数的和。乘法巧算
［知识要点］
１．用乘法口诀计算减法；
２．乘法的交换律、结合律。用字母表示为：
α×b = b×α，α×(b×c)=(α×b)×c；
３．乘法对加法的分配律，用字母表示为：
α×(b＋c)= α×b＋α×c；
α×b＋α×c = α×(b＋c)［范例解析］
例1 下面有一组减法计算题，想一想，能找出它们的计算规律吗？
21－12 = 9
31－13 = 18
41－14 = 27
51－15 = 36
61－16 = 45
71－17 = 54
81－18 = 63
91－19 = 72 分析
首先看被减数和减数的关系，它们正好是被减数的十位数字与
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个位数字的位置交换了一下就得到减数；其次，它们的差正好是9的倍数。即9的1倍、2倍、3倍、4倍、5倍、6倍、7倍、8倍，也即是9的乘法口诀的得数。这是说明道理？
因为十位上的数变成个位上的数，就要相差几个9，如10→1，差1个9；20→2，差2个9；30→3，差3个9；......反过来也一样，1→10，差1个9；2→20，差2个9；3→30，差3个9；......所以，一个两位数交换它的个位与十位上的数字的位置后，得一新的两位数，然后将大数减去小数，它们的差就是这两个数字的差与9的乘积。即可用的乘法口诀计算。例2 下面一组减法题，看谁算得快。
⑴ 72－27 =（）
⑵ 43－34 =（）
⑶ 83－38 =（）
⑷ 53－35 =（）
⑸ 94－49 =（）⑹ 63－36 =（）
⑺ 87－78 =（）
⑻ 73－37 =（）
解
⑴ 五九四十五
⑵ 一九得九
⑶ 五九四十五
⑷ 二九一十八
⑸ 五九四十五
⑹ 三九二十七
⑺ 五九四十五
⑻ 四九三十六
例3 简便计算下列各题。
⑴ 214×5×8
⑵ 6×586×5
⑶ 1607×4×5
⑷ 25×8×125×4 解
⑴ 214×5×8
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= 214×（5×8）= 214×40 = 8560 ⑵ 6×586×5 =（6×5）×586 = 30×58 = 17580 ⑶ 1607×4×5 = 1607×（4×5）= 1607×20 = 32140 ⑷ 25×8×125×4 =（25×4）×（125×8）= 100×1000 = 100000 例4 下面有一组乘法算式，看谁算得快。
1×99 =
2×99 =
3×99 =
4×99 =
5×99 =
6×99 =
7×99 =
8×99 =
9×99 = 分析
我们首先找规律。从2×99看起，它可以靠成是：
2×99 = 2×（100－1）
= 2×100－2×1
= 200－2
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=198
照这样计算，3×99 = 300－3 = 297，即几乘以99可看成是几百减去几就得结果，因此，我们可很快算出各式的结果。
解
1×99 = 99
2×99 = 200－2 = 198
3×99 = 300－3 = 297
4×99 = 400－4 = 396
5×99 = 500－5 = 495
6×99 = 600－6 = 594
7×99 = 700－7 = 693
8×99 = 800－5 = 792
9×99 = 900－9 = 891 ［思路技巧］
有目的地把数凑成整
十、整百、......，可使计算简便。［习题精选］
１．请你用乘法口诀来计算下面各题，看谁算得快。
53－35 =（）
94－49 =（）
73－37 =（）
82－28 =（）
63－36 =（）
40－4 =（）
32－23 =（）
80－8 =（）
96－69 =（）
70－7 =（）
42－24 =（）
71－17 =（）２．速算下面各题。
⑴ 2×729×5
⑵ 4×83×25
⑶ 17×125×8 ⑷ 132×5×4
⑸ 222×5×8
⑹ 828×25×2
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３．简便计算。
⑴ 42×3＋42×2
⑵ 17×19＋181×17
⑶ 125×（8－1）
⑷ 5×（24＋38）４．下面有三个算式：
142×2 = 284
142×3 = 426
142×4 = 568 你能利用这三个算式计算下面两道乘法题的得数吗？
142×5 =（）
142×6 =（）
５．我们知道：37×3 = 111，你能利用它快速算出下面各式结果吗？
37×6 =
37×9 =
37×12 =
37×15 =
37×18 =
37×21 = 连续自然数求和 ［知识要点］
１．连续自然数求和的方法：
头尾两数相加的和×加数的个数÷2 ２．连续自然数逢单时求和的方法：
中间的加数×加数的个数。［范例解析］
例1 比一比，看谁算得快。
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9 = ？ 解法1 如图2-2所示。
4个10加上5等于45。
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解法2 如图2-3所示。5个9等于45。解法3
得到9个10，即90，它是和数的2倍，即90÷2 = 45。说明
解法1是利用“凑整”技巧进行简算； 解法2是利用“0”的神奇性配对进行速算； 解法3是常说的高斯求和法速算。
你听说过数学家高斯小时候的故事吗？有一次老师出了一道数学题： “求1＋2＋3＋4＋......＋100的和”。老师的话音刚落，高斯就举手说：等于5050。
高斯是怎样算的？他将这100个数倒过来，每相对两数的和等于101，共有100个101，将101乘以100后再除以2，结果等于5050。我们由此得到启发，一组连续自然数相加时，可用下面的公式求和。
头尾两数相加的和×加数的个数÷2 例2 计算下面两题。
⑴ 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13 = ？
⑵ 21＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28 =？ 解
⑴ 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13
=（4＋13）×10÷2
= 17×10÷2
= 170÷2
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= 85
⑵ 21＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28
=（21＋28）×8÷2
= 49×8÷2
= 392÷2
= 196 说明
只要的连续自然数求和，不一定要从1开始，均可用此法计算。例3 求和：53＋54＋55＋56＋57＋58＋59 解法1
53＋54＋55＋56＋57＋58＋59
=（53＋59）×7÷2
= 112×7÷2
= 784÷2
= 392 解法2
53＋54＋55＋56＋57＋58＋59
= 56×7
= 392 说明
如果相加的连续自然数的个数逢单时，也可用下式计算和：
中间的加数×加数的个数。例4 求和。
⑴ 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17
⑵ 24＋26＋8＋30＋32 解
⑴ 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17
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= 9×9 = 81 ⑵ 24＋26＋8＋30＋32 = 28×5 = 140 说明
此两题虽然不是连续自然数相加，但是每相邻的两个加数直接都相差同一个数，同样可用公式计算。［思路技巧］
计算连续自然数相加时，可用头尾两数相加的和×加数的个数÷2计算；如果相加的连续自然数是单数时，可用中间的加数×加数的个数求和；如果不是连续自然数相加，但每相邻两个加数之间都相差同一个数，也可用以上两种方法计算。［习题精选］ １．求和。
⑴ 12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19 ⑵ 28＋29＋30＋31＋32＋33 ⑶ 101＋104＋107＋110＋113＋116 ２．求和。
⑴ 41＋42＋43＋44＋45 ⑵ 12＋14＋16＋18＋20＋22＋24 ３．求和。
⑴ 77＋78＋79＋80＋81＋82
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⑵ 1006＋1005＋1004＋1003＋1002＋1001 用运算符号连算式 ［知识要点］
１．添运算符号＋、－、×、÷和括号（），使等式成立；
２．逆推法；
３．凑数放。［范例解析］
例１
用运算符号把下面式子中的４个３连起来，使等式成立。
３ ３ ３ ３= 9
①
分析
我们从最后一个3向前考虑添运算符号，如果添×号，①变为：× 3 = 9 两边除以3，即为= 3
②
将②中左边最后一个3前再添×号，②变为：× 3 = 3，两边再除以3，即为：= 1。显然再添÷号。解÷ 3 × 3 × 3 = 9 例２
在下列5个5之间，添上适当的运算符号--＋、－、×、÷和（），使得下面等式成立。
5 5 5 5 = 10
①
分析
我们从①的后边逐步向前边考虑，最后一个5前面如果要添运算符号的话，只可能是＋、－、×、÷运算符号中的一个。如果是加号，①式变为
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演讲稿 工作总结 调研报告 讲话稿 事迹材料 心得体会 策划方案 5 5 5 ＋ 5 = 10
②
两边减5，即变为 5 5 5 5 = 5
③
再重复上面的想法，如果③左边最后一个5前面又是加号，则③式变为5 5 5=0。这等式很容易得出：
（5－5）×5 = 0或（5－5）÷5 = 0或5×（5－5）= 0 如果③式左边最后一个5前面是减号，③式变为5 5 5 = 10，这式子没有解。
如果③式左边最后一个5前面是乘号或除号，也没有解。
如果①式最后一个5前面是减号、乘号或除号，可采用上面的方法进行同样的分析。
解
（5－5）×5＋5＋5 = 10（5－5）÷5＋5＋5 = 10
5×（5－5）＋5＋5 = 10
（5×5＋5×5）÷5 = 10
（5÷5＋5÷5）×5 = 10
等等。
说明
上面的分析方法，是从最后一个数字开始向前推想，所以我们可以把这种方法叫逆推法，使用时一定要考虑全面、周到。例３
在下列六个数的中间添上适当的运算符号，使得下面的算式成立：965 2 7 8 314 0 = 1986。
分析
这题如果采用逆推法，那肯定会相当的麻烦，我们必须另行考
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虑，先找一个与1986比较接近的数，如965×2 = 1930，这个数比1986小56，这样原问题就转化为：能否用剩下的六个数经过适当的四则运算得出一个等于56的算式呢？然后作适当的增加或减少，使算式成立，增加或减小的部分也采用上述的方法，我们也给它取个名，叫凑数法。
解
965×2＋7×8＋314×0 = 1986 例４
在下列数码的某些相邻地方，只添运算符号＋和－，使得等式成立： 8 7 6 5 4 3 2 1 = 20 分析
我们从头开始想，98＋7 = 105
105－65 = 40 这一来问题转化我用4 3 2 1凑出个20来，而21－3＋3 = 20。解
98＋7－65＋4－3－21 = 20 例５
有2、3、4、6四个数字，请你选择合适的运算符号，最少组成五个算式，使它们都等于24。
解
2×6＋3×4 = 24； 4×6÷（3－2）= 24； 3×6＋4＋2 = 24； 4×2×（6－3）= 24； 3×（6－2＋4）= 24 ［思路技巧］
在数字之间添加运算符号使，可采用逆推法或凑数法解答。
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［习题精选］
１．在3个7中间的□里添入适当的运算符号和括号，使等式成立。
7□7□7 = 2
7□7□7 = 6
7□7□7 = 8 7□7□7 = 7
7□7□7 = 42
7□7□7 = 56 ２．在下面各数之间填上“＋”、“－”、“×”、“÷”、“（）”使等式成立。
⑴ 快乐的1989年：
4 4 4 4 = 1
4 4 4 4 = 9
4 4 4 4 = 8
4 4 4 4 = 9 ⑵ 庆祝国庆四十周年：
2 3 4 5 6 = 40
3 4 5 6 1 = 40
4 5 6 1 2 = 40
5 6 1 2 3 = 40
6 1 2 3 4 = 40
1 2 3 4 5 = 40 ⑶ 在下面○里填上和左边对应地方不同的运算符号，使两边的计算结果相等。
6＋2＋4 = 6○2○4
8＋2＋3 = 8○2○3
12－2－2 = 12○2○2
18－9－3 = 18○9○3
1×3＋2×4 = 1○3○2○4 ⑷ 下面每一道小题的□里都要填同一个数字。
□＋□＜□×□
□＋□＞□×□
□＋□＝□×□
□＋□＞□÷□
３．在（）中填上＋、－、×、÷符号使等式成立。
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1（）2（）3 = 1
1（）2（）3（）4 = 9
1（）2（）3（）4（）5 = 8
1（）2（）3（）4（）5（）6 = 9 ４．○内应填上什么运算符号？□内应填上什么数？
５．只填一个加号和两个减号于下列某些数码间，使等式成立。2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 ６．只填两个加号和两个减号于下列某些数码间，使等式成立。2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 ７．只填一个乘号和七个加号于下列9个数之间，使等式成立。2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 ８． 下面是几组数码，逆能不能将它们分别拼成数，并用运算符号排成一道算式题，使各题的得数均等于1995？
例如，“5、5、7、7”这组数得：5×5×57 = 1995 ⑴ 3、3、6、6、6 ⑵ 3、3、3、3、3、3、3、3 找规律填数 ［知识要点］
１．数列填数；
２．阵图填数。［范例解析］
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例1 找规律填出后面三个数：
⑴ 3，4，6，9，13，18，______，______，______； ⑵ 56，61，47，44，______，______，______； ⑶ 3，9，27，______，______，______； ⑷ 7，14，21，28，______，______，______； ⑸ 0，1，1，2，3，5，8，______，______，______。
解
⑴ 这一列数，从第二个数开始，逐渐增大，那它是按什么规律变化的呢？我们仔细观察，第二个数4比第一个数3大1；第三个数比第二个数大2；第四个数比第三个数大3；第五个数比第四个数大4；第六个数比第五个数大5。如图3-1所示。
即是按照加
1、加
2、加
3、加
4、......的规律加下去。因此，应填24，31，39。
⑵ 这一列数正好⑴相反，它们是逐渐减少。其中，第二个数51比第一个数56少5；第三个数又比第二个数少4；第四个数比第三个数少3。如图3-2所示。
即是按照减
5、减
4、减
3、......的规律减下去。因此，应填42，41，40。
⑶ 这一列数中，第二个数是第一个数的3倍；第三个数又是第二个数的3倍，如图3-3所示。
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图3-3
即是按照前一个数扩大3倍，得后一个数的规律算下去。因此，应填81，243，729。
⑷ 我们观察发现，这一列数中的第二个数是第一个数的2倍，第三个数又是第一个数的3倍，第四个数是第一个数的4倍，如图3-4所示。
即是按照把第一个数扩大2倍、3倍、4倍......的规律酸下去因此，应填35，42，49。
⑸ 这一列数的变化规律较复杂一点，要仔细地观察。我们改变一下观察研究的顺序，即从8起往左看，可看出：8是3＋5的和，5又是它的前两个数2＋3的和，3则是1＋2的和，2是1＋1的和，1是0＋1的和。如图3-5所示。
即是按照后一个数是前两个数的和的规律算下去。因此，应填13，21，34。
说明
在一列数中填数，关键是要找出这列数中各数之间的变化规律，按规律酸下去，才能正确填才其中的缺数。例2 你能把空缺的数填出来吗？ 2 8 3
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我们发现，这已知的7个数字之间找不出它们的变化规律。因此，我们应该变换观察的角度，即分单双位上的数考虑，这就将一列数分才人下的两列数： 2 3 4 ？
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前一列数是按照后一个数是前一个数加1的规律算下去，因此，空缺数应填5。
说明
有时一列数是由两个有规律的数串混合组成的。在填空缺数时，应注意这一点。
例3 找规律，很快把图3-6中小圆圈里的数填出来。
分析
首先观察第一横行和第二横行，发现第二横行的第二、第三、第四个数都是它的第一个数3与第一横行的第二、第三、第四个数的乘积。即3×2 = 6，3×3 = 9，3×5 = 15。又第三横行的第四个数35正好是7×5的积。这就是图中数字之间的规律，按照这一规律，如图3-7所示，缺数应填8，20，14，21。
例4 图3-8中是一个数字金字塔，青你先根据上下数字间的联系找出它们的规律，然后填出塔中的方框的数字。
分析
从上往下看，第一行是一个数2；第二行是两个数2、2；第三行是三个数2、4、2；则4应看作是第二行的2×2的积，这是因为第四行的8正好是第三行的2×4的积。这就是它的变化规律，如图3-9所示。图中画上“ /”表示尖端所指的数字是上一行两个数的积。
因此，方框中应填8、16、64（见图3-9）。
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［思路技巧］
找规律填数是一类有趣的问题，解决这类问题常常要考虑运用观察、试探、枚举、归纳等研究问题的手段，寻找已知的数上下、左右及前后之间的相互联系和规律，推导出未知的数。［习题精选］
１．先观察下面每一行数的排列有什么规律，然后在（个适当的数：
⑴ 1，4，7，10，（），16，19； 1 2 3 4 5 2 2 3 4 5 3 3 3 4
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如需请下载！）里填上一
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5 5 5 5
⑵ 1，1，2，3，5，8，（），21，34；
⑶ 1，4，9，16，25，36，（），64，81；
⑷ 12，15，18，（），24，27，（），33；
⑸ 6，12，（），24，（），（），42，48；
⑹ 95，90，（），80，75，（），（），60；
⑺21，24，27，（），（）；
⑻50，48，46，（），（）。
图3-10 ２．按照图3-10中数字排列规律，在空格里填上适当的数。３．在图3-11中，依照第一个三角形里三个数之间的关系，在其他三角形的空格里填上适当的数。
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４．不用乘法，找出规律后，就可以按规律把积填上去。
1×99 = 99
2×99 = 198
3×99 = 297
4×99 = 396
5×99 = 495
6×99 =
7×99 =
8×99 =
9×99 = ５．找规律填空缺的数。0 1 3 6 10 15 ？ ？
６．如图3-12，在金字塔图中每一块砖上都有一个数字，请你根据上下数字之间的联系，找出它们的规律，然后填在空砖上。７．根据叶子中数字的计算规律，填出花中所空的数。
８．下面两题中的数去掉其中的一个数，其余的都是按规律排列的，请你去掉这个数。
⑴ 5，10，15，17，20；
⑵ 72，70，68，66，36。９．请按图3-14中的规律在空白处填上数。
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奇怪的算式 ［知识要点］
根据推理的方法来确定算式中的数字，分加法算式谜、减法算式谜、乘法算式谜几种。［范例解析］
例1 填出方框里的数。
分析
9加几个位上是3？十位上哪两个数相加得8。
解
等。
例2 填出右边算式方框里的数。
分析
18减几得9？十位上2＋4 = 6，6＋1 = 7。解
例3 右面的算式中，只有五个数字已些出，补上其他的数字：
分析
先填哪一个呢？做这一类题目要善于发现问题的突破口。从百位进位来看，和的千位数只能是1，从十位相加来看，进位到百位，也只能进1。因此□2□的百位是9，和的百位是0。通过上面的分析，就找到了这道题目的突破口。
再从15－7－6 = 2，11－2－1 = 8，得出算式：
例4 在下面的加法算式中，每个汉字代表一个数字，相同的汉字代表的数字相同，求这个算式：
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分析
千位上的“边”是进位得来，所以“边”= 1，其次，从个位知道，“看”＋“看”的末位数字还是“看”，所以“看”= 0，因此推出：
想想看 = 想×110
算算看 = 算×110
所以和数“边算边看”是11的倍数，因而“算”=2。进而推出：想想 = 121-22 = 99。
所求的算式是990＋220 = 1210。
例5 下面的算式由0，1，......，9十个数字组成，已写出三个数字，补上其他数字。
分析
这一算式有十个数字，分别是0，1，......，9这十个数字，因此这个算式中所有数字各不相同，解题时要充分利用着一点，为了说明的方便，用英文字母A、B、C、D、E、F来表示要填的数字，很明显，A = 1。
解题的突破口是确定B，B可以是7或9，因为F至少是3，所以十位相加后一定要进位，如果B是9，C将是2，就出现数字的重复，因此，B只能是7，C是0。
现在还没有用上的数字是9，6，5，3，其中只有6是双数，因此，个位上D和E必定是单数，只能是D = 9，E = 3，因此也确定了F = 6，这个算式如右所示。
例6 如图是一个动物式子，不同的动物代表不同的数字，请你想一想，算一算，这些动物各代表哪些数字？
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图3-15 分析
这个式子从哪里下手解答呢？根据两个一位数相加和只能满十的特点，首先，推出公鸡等于“1”。然后，又根据两熊猫相加，和仍然是熊猫，推出熊猫只能等于“0”。讲熊猫等于0，代入式中，又根据公鸡等于“1”推出白兔等于“5”。将白兔等于5代入式中，推出松鼠等于2。
这个算式是：
说明
奇怪的算式，实际上就是“算式之谜：”，也称“趣味算式问题”。它是一种猜谜游戏，故有较强的趣味性，可以锻炼思维能力。
既然趣味算式问题是一种猜谜游戏，“凑”就成了它的当然方法之一，而且在某些情况下，“凑”还是一种有效的方法。例7 填出右边算式方框里的数。
分析
因为积的个位数字是5，所以被乘数的个位数字只能是5；又积是千位数，且最高位是数字1，所以被乘数百位上的数字只能是2。解
［思路技巧］
解算式谜这类题，要认真观察算式，抓住问题的突破口。［习题精选］
１．在方框里填上适当的数，使下列各式成立。
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２．在圆圈和方框里填上适当的数，使下列等式成立（圆圈和方框分别代表两个不同的数）。
３．算一算，下列图形各表示什么数。
⑴ □＋△ = 26
△ =（）
△－5 = 3
□=（）
⑵
⑶ ○－□ = 4
○ = 3
○＋□ = 14
□ =（）
⑷
４．在方框里填上适当的数。
５．下面三个算式的被除数相同，你能填出来吗？
□÷7 = □......1
□÷6 = □......5
□÷5 = □......4 ６．写算式（能写几道就写几道）。
□÷□ = 2
□÷□ = 5
□÷□ = 7
□÷□ = 9 ７．在下面算式的圆圈里填上合适的运算符号，方框里填上合适的数。你能写出几种填法？（每次填的运算符号不要完全相同）
8○□○□ = 21。８．数字还原。
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下面的竖式，是用△、○、□、★、◎这样的图形表示0至9中的数字。想一想，这五个图形各代表几呢？ ⑴
⑵
⑶ ◎＋◎ = ◎×◎
◎ =（）９．在下面竖式中的方格里填上适当的数。
10．请将下面竖式里的字换成数字，使竖式成立。
11．巧填竖式。
12．题中每一个字母或字都代表一个数，请想一想它们各代表什么数字，算式才能成立？
调整法趣谈
［知识要点］
１．调整法的意义。
我们看下面的点子图：
●●●●●
●●
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图3-16 它一共有二组，一组有5个点子，另一组有两个点子，图中一共有多少个点子？
算式：5＋2 = 7（个）。现在问：怎样改变点子图，来表示算式2＋5呢？我们可用交换点子位置或移动点子位置来改变。如图所示：
这种通过交换点子位置或移动点子位置的操作过程，我们较做调整法。
２．调整法的用途，我们通过举例来说明。［范例解析］
例1 右面正方形方格中的数字，怎样移动才能使横行和竖行三个数相加的和相等？
分析
我们可从图中观察到：竖行三数的和都是6，它们相等，打上“√”号，而横行三数的和都不相等，因此，要调整位置的是横行的数字。我们只要按照下面图3-19箭头所示进行交换调整，问题就得到解决。
说明
凡是符合条件的横行或竖行打上“√”，可使问题一目了然，方便调整。
例2 图中有“＋”、“－”、“×”、“÷”四种运算符号。移动这些符号，使每行每列的四种符号不相同。
分析
通过观察，发现3-20中只有从左数第二列符号与题目要求不
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同，因此我们先考虑列的情况，第一列多“＋”号，缺“÷”号，而第三列多“÷”号缺“＋”，如下图交换后，把符合条件的行与列打上“√”。
经过
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第四篇：浅析如何培养学生在数学教学中的解题能力
浅析如何培养学生在数学教学中的解题能力
摘要：教学关键是教会学生用所学的知识解决实际问题,即要提高学生的解题能力。文章从培养学生“数形”整合、“方程”思维、“对应”思维、“转化”能力、增强自信等五个方面谈如何培养学生的数学解题能力。
关键词：培养学生；数学教学；解题能力；转化能力
Abstract: The teaching key is the knowledge solution actual problem which the church student uses to study, namely must sharpen student’s problem solving ability.The article from trains the student “the number shape” the conformity, “the equation” the thought that “the correspondence” the thought that “the transformation” ability, the enhancement self-confidently and so on five aspects to discuss how to raise student’s mathematics problem solving ability.key word: Trains the student;Mathematics teaching;Problem solving ability;Transformed ability 前 言
中学数学教学的目的，归根结底在于培养学生的解题能力，提高数学解题能力是数学教学中一项十分重要的任务。提高学生解题能力始终贯穿于教学始终，我们必须把它放在十分重要的位置。那么，如何才能提高学生的解题能力，具体方法上讲主要可以从以下几方面入
手：
一、培养“数形”结合的能力
“数”与“形”无处不在。任何事物，剥去它的质的方面，只剩下形状和大小两个属性，就交给了教学去研究了。初中数学两个分支——代数和几何，代数是研究“数”的，几何是研究“形”的。但是研究代数要借助“形”，研究几何要借助“数”，“数形整合”是一种趋势，越学下去，“数”与“形”越密不可分。到了高中就出现了专门用代数方法研究几何问题的一门课，叫做“解析几何”。在初二建立平面直角坐标系后，研究函数的问题就离不开图像了。往往借助图像能使问题明朗化，比较容易找到问题的关键所在，从而解决问题。在今后的数学学习中，要重视“数形结合”的思维训练，任何一道题，只要与“形”沾上了一点边，就应该根据题意画出草图来分析一番。这样做，不但直观，而且全面，整体性强，容易找出切入点，对解题大有益处。尝到甜头的人就会慢慢养成一种“数形结合”的好习惯。
二、培养“方程”的思维能力
数学是研究事物的空间形式和数量关系的，最重要的数量关系是等量关系，其次是不等量关系。最常见的等量关系就是“方程”。比如等速运动中，路程、速度和时间三者之间就有一种等量关系，可以建立一个相关的等式：速度ⅹ时间＝路程，在这样的等式中，一般会有已知量，也有未知量，像这样含有未知量的等式就是“方程”，而通过方程里的已知量求出未知量的过程就是解方程。我们在小学就已经接触过简易方程，而初一则比较系统地学习解一元一次方程，并总结出解一元一次方程的五个步骤。如果学会并掌握了这五个步骤，任何一元一次方程都能顺利地解出来。初
二、初三我们还将学习解一元二次方程、二元二次方程组、分式方程，到了高中我们还将学习指数方程、对数方程、线性方程、参数方程、极坐标方程等。解这些方程的思维几乎一致，都是通过一定的方法将它们转化一元一次方程或是一元二次方程的形式，然后用大家熟悉的解一元一次方程的五个步骤或者解一元二次方程的求根公式加以解决。物理中的能量守恒，化学中的化学平衡式，现实中的大量实际运用，都需要建立方程，通过解方程来求出结果。因此同学们一定要将解一元一次方程和解一元二次方程学好，进而学好其它形式的方程。所谓的“议程”思维就是对于数学问题，特别是现实当中碰到的未知量和已知量的错综复杂的关系，善于用“方程”的观点去构建有关的方程，进而用解方
程的方法去解决它。
三、培养学生数学“转化”思维能力
解数学题最根本的途径是“化难为易，化繁为简，化未知为已知”，也就是把复杂繁难的数学问题通过一定的数学思维、方法和手段，逐渐将它转变为一个大家熟知的简单的数学形式，然后通过大家所熟悉的数学运算把它解决。比如，我们学校要扩大校园面积，需要向镇上征地。镇上给了一块形状不规则的地，如何丈量的它的面积呢？首先使用小平板仪（有条件的话，可使用水准仪或经纬仪）依据一定的比例，将实际地形绘制成纸上图形，然后将纸上图形分割成若干块梯形、长方形、三角形，利用学过的面积计算方法，计算出这些图形的面积之和，也就得到了这块不规则地形的总面积。在这里，我们把无法计算的不规则图形转化成了可以计算的规则图形，从而解决了土地丈量问题。另外,我们前面提到的各种多元方程、高次方程，利用“消元”、“降次”等方法，最终都可以把它们转化为一元一次方程或一元二次方程，然后用已知的步骤或公式把它们解决。“转化”的思想，是解题最重要的思维习惯。面对难题，面对没有见过的题，首先就要想到转化，也总是能够转化的。平时，要多留心老师是怎样解题的，是怎样“化难为易，化繁为简，化未知为已知”的。同学之间也应多交流交流成功转化的体会，深入理解转化的真正含义，切实掌握转化的思维和技巧。
四、培养“对应”的思维能力
“对应”的思想由来已久，比如我们将一支铅笔、一本书、一栋房子对应一个抽象的数“１”，将两只眼睛、一对耳环、双胞胎对应一个抽象的数“２”。随着学习的深入，我们将对应扩展到对应一种关系、对应一种形式等等。比如我们在计算或化简中，将对应公式的左边Ｘ，对应Ａ；Ｙ对应B；再利用公式的右边直接得出原式的结果。这就是运用“对应”的思想和方法来解题。初二初三我们将看到数轴上的点与实数之间的一一对应，直角坐标平面上的点与一对有序实数之间的一一对应，函数与其图象之间的对应。“对应”思想在今后的学习中
将会发生越来越大的作用。
五、增强自信是解题的关键
自信才能自强，在考试中，总是看到有些同学的试卷出现许多空白，有好多题根本没有动手去做。俗话说，艺高胆大，（转上页）（接下页）艺不高就胆不大。但是做不出是一回事，没有去做又是另一回事。稍微难一点的数学题都不是一眼就能看出它的解法和结果的。要去分析、探索、比比画画、写写算算，经过迂回曲折的推理或演算，才能显现出条件和结论之间的某种联系，整个思路才会明朗清晰起来。没有动手去做，又怎么知道自己不会做呢？即使是老师，拿到一道难题，也不能立即答复你。也
同样要去分析研究，找到正确的思路后才能讲授。不敢去做(论文网 www.xiexiebang.com)稍微复杂一点的题（不一定是难题，有些题只不过是叙述多一点），是缺乏自信心的表现。在数学解题中，自信心是相当重要的。要相信自己，只要不超出自己的知识范畴，不管哪道题，总是能用自己所学过的知识把它解出来。要敢于去做题，要善于去做题。这就叫做在“在战略上藐视敌人，在战术上重视敌人”。具体解题时，一定要认真审题，紧紧抓住题目的所有条件不放，不要忽略了任何一个条件。一道题和一类题之间有一定的共性，可以想想这一类题的一般思路和一般解法，但更重要的是抓住这一道题的特殊性。抓住这一道题与这一类题不同的地方，数学题几乎没有相同的，总有一个或几个条件不相同，因此思路和解题过程也不尽相同。有些同学老师讲过的题会做，其他题就不会做，只会依样画瓢，题目有些小的变化就无从下手。当然做题先从哪儿下手是一件棘手的事，不一定找得准。但是，做题一定要抓住其特殊性则绝对没错。选择一个或几个条件作为解题的突破口，看由这个条件能得出什么，得出的越多越好，然后从中选择其它条件有关的，进行推算或演算。一般难题都有多种解法，条条大道通罗马。要相信利用这道题的条件，加上自己学过的那些知识，一定能推出正确的结论。数学题目是无限的，但数学的思想和方法却是有限的。我们只要学好了有关的基础知识，掌握了必要的数学思想和方法，就能顺利地对付那无限的题目。题目并不是做得越多越好，题海无边，总也做不完。关键在于你有没有培养起良好的数学思维习惯，有没有掌握正确的数学解题方法。当然，题目做得多也有若干好处：一是熟能生巧，加快速度，节省时间，这一点在考试中时间有限制时显得尤为重要；二是利用做题来巩固、记忆所学的定义、定理、法则、公式，形成良性循环。解题需要丰富的知识，更需要自信心。没有自信心就会畏难，就会放弃。只有自信才能勇往直前，才不会轻言放弃，才会加倍努力地学习，才有希望攻克难关，迎来属于自己的春天。
在初中数学教学中培养学生的数学思维
初中数学教学中，一方面要传授数学知识，使学生具备数学基础知识的素养；另一方面，要通过数学知识的传授，发展智力，培养学生数学能力。钱学森教授曾指出：“教育工作的最终机智在于人脑的思维过程。”思维活动的研究，是教学研究的基础，数学教学与思维的关系十分密切，数学思维的发展规律，对数学教学的实践活动具有根本性的指导意义，因此，在数学教学中如何发展学生的数学思维，培养学生的数学思维能力是一个广泛而值得探讨的课题。
一、精心设计课题引入，吸引学生的注意力，活跃学生的思维。
苏霍姆林斯基说过：“所有智力方面的工作都要依赖于兴趣。”爱因斯坦也曾说过 ：“兴趣是最好的老师”。俗话说 ：“万事开头难”，良好的开头是成功的一半，精彩的引入能在课堂教学的开始便深深地吸引住学生的注意力。因此几分钟的引入切不可轻视，它关系到四十五分种课堂教学的直接效果。那么引入要怎样做才能做到引人入胜呢？ 这是没有定论的，它 要根据教材内容、学生因素等具体情况而定。
比如，在学习§2.11有理数的平方时，故事引入：从前，有一个国王为了奖励发明国际象棋游戏的人，承诺要满足这个人的一个要求。这个人提出，只要在这个国际象棋棋盘里的64个格子中，依次放上2颗、4颗、8颗、16颗，„，后一个格子里的数量是前一格子的数量的2倍的粮食就可以了。国王高兴的答应了。但随后令国王惊讶的是，国王并没有办法满足这个人的要求。你知道这是为什么吗？（一下子就把学生的注意了力吸引过来了。）让我们一起来探索其中的奥妙吧！（如何用式子把每一格的数量表达出来呢？）
第一格：2 第四格：2×2×2×2=16
第一格：2×2=4 第五格：2×2×2×2×2=
32第三格：2×2×2=8 „„
我们发现第2格也能象上面一样列出数学式子进行计算，但显然用这样的式子在表达上很不方便的，那我们能否找到简便的表达方式呢？这就是我们今天要学习的有理数的乘方。
小学时，我们学过：a×a记作 a，读作a的平方（或a的2次方）；a×a×a记作 a，读作a的立方（或a的3次方）；那么a×a×a×a可以记作什么？a×a×a×a×a呢？a×a×a×a„×a有n个a呢？象这样n个a相乘，记作a，既简单又明确。这样就很自然地把求几个相同因数的乘积的运算介绍给了学生。学生都能在不知不觉中参与教学活动中，学到了新的知识，活跃了思维。
二、.在赏识教学中充分调动学生学习积极性，活跃学生的数学思维。
在教学活动中，最被动的莫过于后进生了。素质教育要求面向全体学生，放弃后进生就不能做到，使人人都能学数学用数学。根据后进生基础差、学习习惯不良容易情绪低落，甚至 自暴自弃的特点，本人认为，应从赏识入手，多给后进生一些鼓励和指导帮助。承认学生之间的差异性，降低对后进生在学习上难度的要求，积极发现后进生在课堂中的闪光点，及时调动他们的积极性。
例如§4.1生活中的立体图形的教学中，安排这样一道题：你能用6根火柴组成4个一样大的三角形吗？若能，请说明你的图形。其中，有一个后进生说：“能”，虽然声音不大，却能被老师听到，及时给他一个机会。这个同学说：“图形是棱锥，是三棱锥。”因为之前老师有分析过三棱锥有6条棱，在这一题目中，6根火柴就是6条棱，所以要回答本题并不难。由于该生的特殊性，老师鼓励他说：“你看，你有很好的空间想象能力，在今后的学习中，只要你能像现在一样，你一定会有很大的进步的。”这个同学的积极性马上就有了，其他同学也是深受鼓舞。
当然，不仅仅后进生需要老师、同学的赏识，在学习生活中，每一个同学都渴望能得到理解和肯定，都希望能得到老师和同学的赞赏。我们知道，不是聪明的学生被夸奖，而是被夸奖的学生会变得更聪明。课堂中，赏识的目光象阳光，照到哪里哪里亮，有赏识就有成功，有赏识，学生都愿意动起来。
三、一题多解，合作讨论，发展学生思维的广阔性。
大课堂教学有利于以教师为中心的讲解，但不利于以学生为中心的自主学习。要想让学生在课堂上真正的动起来，就必须积极探索班级、小组、学生个人相结合的组织形式，加强小组研讨的学习方式，为学生提供充分的自主活动的空间和广泛交流思想的机会，引导学生独立探索、用心思考、真诚交流，全身心地投入到学习中。
例如：平行线的识别与特征的复习中，有这样一道题：已知：直线AB∥ CD，直线L分别截 直线AB、CD于点E、点F两点。并且 ∠1=130°，求：∠2的度数。
问题分析：（1）所求角∠2与已知角∠1之间有什么联系？
（2）已知直线AB∥CD，能帮我们带来哪些结论？
（3）怎样把求∠2 的过程用几何语言表达出来？
学生分组讨论、合作学习，尽可能地从多种角度求出。以提高学生几何题的分析和推理表达能力。
解法1：通过∠2 的内错角与∠1联系起来；解法2：通过∠2 的同位角与∠1联系起来；解法3：通过∠2的同旁内角与∠1联系起来。这样，通过一道题的多种解法，既复习了平行线的特征的应用，又使得学生在合作学习中，合作讨论中自主地完成对知识的构建；学生不仅对知识点的理解深刻，而且“创造”着解题过程的方法，体验着获取、巩固知识的喜悦。同时在和谐诚恳的交流中，充分展现出学生的个性和才能，使学生在学习中真正地动起来。
四、增加动手操作，增强学生数学思维的直观性。
在传统的教学形态里，教师是权威的代言人，将各种经验、概念、法则与理论强制地灌输给学生，学生完全处于一种被动接受的状态，于是学生的学习兴趣和热情被压抑了，主动性减弱了，很大程度上阻碍了学生个性的发展培养。在初中的数学教学中，要注意挖掘新教材的优势，增加学生动手操作，让学生的学习由被动向主动转变。
例如：§4.3立体图形的展开图中，对正方体展开图的探索。
1、课前准备：每个学生都有6个一样的正方形硬纸板、剪刀、透明胶布。
2、授课方式：分组合作学习。
3、探索步骤：（1）将6片硬纸板围成正方形，（2）将正方体剪开，与同学对比，得到正方体的平面展开图是否唯一？（3）讨论正方体的平面是展开图有哪些可能情况？
（4）讨论由6块一样的正方形拼成的图形一定是正方体的展开图吗？哪些情形不是？
发现：通过让学生动手操作、合作学习，学生学习的积极性高涨。虽然现在初一年的学生并不能自主地归纳出正方体展开图的所有可能，但体会其中的几种情况也让他们得到莫大的满足，尤其是对含田字结构形、含凹字结构形、四连两同侧形、五连形、或六连结构形的不能围成正方体可是深有体会。虽然学生在理论上的理解还不深刻，但能让老师感到他们都在愉快的学习中，数学思维得到了锻炼。新课程教学中，教师是学生学习的合作者、引导者和参与者。教师的职责已由知识的传授转向促进学生发展，要引导学生学会观察、学会思考、学会如何学习、培养终身学习的能力，而在数学课中培养学生的数学思维能力则是教学的根本目的，这需要教师充分利用教材内容，通过数学知识的学习，努力培养和提高学生的数学思维能力。
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略论在初中数学教学中如何防止两级分化
【论文 初中；数学教学；两级分化；转化策略
【论文摘要 数学学科的特征更加明显地体现出两级分化的严重性和可怕性，这种状况直接影响着数学教学质量的提高。正确分析这种现象产生的原因，采取有效办法改变和杜绝这种现象，对提高数学教学成绩，促进教育健康发展有着及其重要的意义。初中生数学学习两级分化的原因
1.1 缺乏学习数学的喜好和学习意志薄弱。对于初中学生来说，学习的积极性主要取决于学习喜好和克服学习困难的毅力。学习喜好的淡薄甚至缺乏是造成他们成绩差的重要原因。初中数学相对小学而言，难度加深，教学方式变化较大，教师辅导减少，学生学习的独立性增强。在中小学衔接过程中，学生适应性及学习意志的强弱直接关系到分化的严重性和否。
1.2 没有形成较好的数学认知结构。相比而言，初中数学教材结构的逻辑性、系统性更强。首先表现在教材知识的衔接上，其次还表现在把握数学知识的技能技巧上。因此，假如学生对前面所学的内容达不到规定的要求，不能及时把握知识，形成技能，就造成了连续学习过程中的薄弱环节，跟不上集体学习的进程，导致学习分化。
1.3 思维方式不适应数学学习要求。八年级是数学学习分化最明显的阶段。一个重要原因是初中阶段数学课程对学生抽象逻辑思维能力要求有了明显提高。八年级学生正处于由直观形象思维为主向以抽象逻辑思维为主过渡的又一个关键期，没有形成比较成熟的抽象逻辑思维方式，而且学生个体差异也比较大，因此表现出数学学习接受能力的差异。
1.4 双基不扎实。基本概念、定理模糊不清，不能用数学语言再现概念、公式、定理；不看课本，不能说明概念的体系，概念和概念之间联系不起来。
1.5 学习态度不端正学习方法不科学。学生自学能力差，课堂缺少解题的积极性，教师布置的练习、作业，不复习不练习，抄袭应付了事，缺乏学习的主动性，不重视综合练习，缺乏竞争意识。后进生转化的策略
2.1 培养后进生对数学学习的喜好，激发他们的学习积极性摘要：①数学是一门具有科学性、严密性、抽象性的学科。它的抽象性，是形成后进生的主要原因。教学时，应加强数学的直观性教学以吸引后进生的注重力。②应加强数学教学语言的艺术应用，让教学生动、有趣。课堂教学中教师更要非凡注重观察后进生的学习情绪，恰当运用艺术性的教学语言来活跃课堂气氛，引导每位学生进入积极思维状态，从而达到教学目的。③注重情感教育。
2.2 培养学生自觉学习的良好习惯摘要：①教师在布置作业时，要注重难易程度，要注重加强对后进生的辅导、转化，督促他们认真完成布置的作业。②大部分后进生学习被动，依靠性强。教师在解答新问题时，要注重启发，逐步培养他们独立完成作业的习惯。③应该用辩证的观点教育，对后进生要“爱”字当头，“严”字贯其中，督促他们认真学习。
2.3 认真把好考试关，注重培养后进生的自信心和自尊心。要有意识地出一些较易的题目，让他们心得成功和被赞赏的快乐，从而培养他们的自信心和自尊心。
2.4 教会学生学习。教师要有意识地培养学生正确的数学学习观念，并在教学过程中加强学法指导和学习心理辅导。
2.5 在数学教学过程中加强抽象逻辑思维的练习和培养。针对后进生抽象逻辑思维能力不适应数学学习的新问题，从七年级数学教学开始就加强抽象逻辑能力练习，始终把教学过程设计成学生在教师指导下主动探求知识的过程。
2.6 建立和谐的师生关系。心理学认为，人的情感和熟悉过程是相联系的，任何熟悉过程都伴随着情感。初中生对某一学科的学习喜好和学习情感密不可分。和谐的师生关系是保证和促进学习的重要因素
2.7 尊重和理解后进生。要相信后进生是可以向好的方向转化的。他们通过努力而取得的成绩，希望得到同学的承认、老师的理解。教师要针对学生不同的特征进行不同方式教育。对后进生工作要有耐心和信心。平时教学始终贯彻“抓两头带中间”的原则
3.1 注重对尖子的培养。在解题过程中，要求他们尽量走捷径、有创意，注重严密的逻辑推理，力求解题过程的完整和完美。另外，开展课外提高小组，培养解题技巧，提高解题能力，切实发挥他们的尖子生优势，让他们在平时学习以及中考中占有决对的尖子优势，这和中考成绩优分率提高，关系重大。
3.2 注重中等学生成绩的大幅度提高。这部分学生占据了学生中的大多数，他们考试成绩的好坏直接关系到考试均分的高低，抓好对他们的教和辅，也是数学教学中成绩提高的重要一环。他们对知识把握不太牢固，解题时常丢三拉四，因此，解题时的严密和细心成为他们考取高分的关键。一定要练习他们在能得分处多得分，不能得分处想法得一分。优化课堂教学，提高课堂教学质量
4.1 教学方法和手段要灵活。尽量采用启发法、点拨法、讨论法、图表法，比较法等多种教学方法和手段。
4.2 要注重学生思维能力的培养，练习学生的创新思维。在平时教学中多给学生教授解题的数学思想和方法，重视他们能力的培养，加强“联想、想象、转化”思维练习。促使学生一开始就进入创新思维状态中，以探索者的身份去发现新问题、总结规律。数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的。对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、探究方法，却随时随地发生功能，使他们受益终生”。
4.3 要做到“精”。要做到精选、精讲、精析、精练，不搞题海战术。但不练习、不强化也不行，这就要认真备教材、教法、学法，使之有的放矢，事半功倍，这就要从“精”字作文章。
4.4 重视学生的合作学习，提供足够的小组学习时间。小组讨论给每一位学生提供了一个表现自己的机会，同学们在讨论交流中主动参和，集思广益，促进了学生间学习风格的相互影响和相互补充，培养了学生的合作精神，对于后进生来说，也会积极参和的。
4.5 重视对学生的学法指导。新型的探究学习和合作学习形式有利于培养学生学会学习、自主学习的能力。但个别学生表现出来的是不适应这种学习形式，例如在解一元二次方程教学中，就有学生表示，老师只要告诉我们怎么做就好了，问这么多新问题，难为学生干什么。如何让学生从“学会”向“会学”转变，是教师在课堂上要注重探究的重点。要在教学中促动学生学会动脑，学习独立思索，并且及时反馈，帮助学生调整、修正学习方法，促进学生不断体验成功的喜悦，实现“学会学习”。
第五篇：在数学解题教学中培养学生自主学习的能力
在数学解题教学中培养学生自主学习的能力
【摘 要】新课改的核心环节是引导学生自主学习。“解题教学”恰恰契合这一教育理论的最佳实践。“解题教学”并非就是单纯的解题过程，它是教师引导学生通过阅读题目，经过认真、仔细、严谨的审题后，在充分独立思考的基础上，让学生作为课堂教学的主体，走上讲台，分析题目条件，讲述解题思路，完成解题过程，也是促进学生知识水平和思维能力的全过程。教师则适当进行引导、点拨、变式与拓展，引导学生反思、总结与归纳的全过程。这样的教学方式，通过师生之间、生生之间的探究、合作、交流，通过师生之间角色的转变，充分为学生创设一个自主、平等、合作、探究、论证以及交流的探究性平台。在交流中思维的火花产生激烈的碰撞，大大调动学生探究的积极性，从而教会学生学会思考、学会探究、学会解题的思想方法、真正成为数学学习的主人。
【关键词】数学解题教学；审题和“三思”；自主学习；策略和方法
本文结合教学实践，谈几点数学解题中如何培养学生自主学习能力的思考方法，以供参考。
一、培养学生认真审题的习惯
审题是发现问题、解决问题，得到解法的前提，认真审题可以为探索解法指明方向。审题需要弄清题意，题目是由条件和结论构成的，教师就要教会学生审清题目的已知事项，解题的目标，审清题目的结构特征和判明题型。例如，审清题目条件的具体要求是：罗列出已知条件中的明显条件，同时挖掘出相关的隐含条件，把条件图表化，弄清已知条件的等价说法，把条件进行解题需要的转换。又例如，审清题目结论的具体要求是：罗列解题目标，分析多目标之间的层次关系，弄清解题目的等价说法，把解题目标图表化。
为了使学生养成认真审题的习惯，教师首先应强调审题的重要性，其次要作出审题的示范，还要在学生的作业中捕捉因不认真审题而导致解题错误的典型事例，进行讲解，吸取教训。
二、教会学生探索解题方法
审题以后，引导学生探索解题方法的过程，可以概括为“解题三想”。
（1）回想。根据题目中涉及的主要概念，回想它的定义是怎样的？根据题目的条件、结论及其结构，回想与它们有关的公式、定理、法则是什么？回想一下在你的知识仓库里，有否储存过这些定义、公式、定理、法则？能否直接利用这些知识来解题？
（2）联想。如果直接套用现成知识解决不了问题，就必须进行恰当的联想。解题时的联想，就是要求在你的知识仓库里，找出与题目很接近的或很相似的原理、方法、结论或命题，然后变通使用这些知识，看能否解决问题。联想是发现解题途径的一种基本思维方法，它有助于培养学生的发散思维。而联想的思维基础往往是类比推理，即由特殊到特殊的推理，把解决某种特殊情况的原则和方法迁移过来，应用在接近的或相似的情况上，联想就是要灵活运用现成的数学知识。
（3）猜想。如果经过联想仍解决不了问题，不妨进行大胆猜想。如果对解决问题的途径、原则和方法不能马上找到，可以去选择一些接近于解决问题的途径、原则和方法，这就是提出猜想。然后设法论证这个猜想是否真实。这里的猜想不是胡思乱想和任意拼凑，它也是一种科学思维活动。它是以已有的表象（如数量关系的描述、图象的示意等等）为引发物，按逻辑推理的规律而进行的思维活动。猜想的思维基础往往是归纳推理，即由特殊到一般的推理。也就是对特殊情况的结论进行一番分析去伪存真，由表及里，找出共性由此猜想一般性的结论该是什么？
例如有这样一道几何证明题，题目为：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E，F分别为AB，AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180，求证：DE=DF。这道题是学生在学习了角平分线定理及全等三角形之后呈现的一道几何证明题，最基本的内容就是：利用三角形全等证明两条线段相等。而解决该问题的关键就是利用恰当的辅助线构造全等图形，其核心就是角平分线定理和三角形全等的判定方法的综合运用，其实质就是利用几何图形中图形变换，即平移、旋转等方式，将非全等图形转化为全等图形，从而达到证明线段相等的目的，整个这个过程为化难为易、化无为有的过程，重在体现了数学中转化的思想方法。因此，为教会学生思考，我以问题串的形式创设这样问题的情境：
问题一：在你已有的知识、解题经验的基础上，如何证明两条线段相等呢？（学生可以回答将两条线段转化到同一个三角形中利用等角对等边；或寻找两条线段所在的三角形全等；或垂直平分线上的点到线段两个短点的距离相等；或角平分线上的点到角两边的距离相等，或特殊图形中直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等方式解决）结合这道题的已知条件所提供的信息，并借助你已有的经验，你想从哪个方面去解决这个问题呢？（学生会想到利用全等来解决）
问题二：结合这道题呈现的条件，DE，DN所在的两个三角形有可能全等吗？（不能，因为有锐角三角形，有钝角三角形）那么如何构造这两条边所在的三角形全等：引导学生自己探索――小组展开讨论――交流汇报。部分学生在交流中会想到解决问题的方式，在学生没有思路的情况下，教师可以引导学生思考构建辅助线的方式，设计。
问题三：结合图形中的条件，看到角平线的条件联想到什么？看到互补的角，结合图形，想到什么？引导学生通过已知条件和基本图形联想相关的结论，很自然的作垂直得到全等的两个条件，再通过互补的角得到另一个全等的条件，从而利用角角边定理证明全等，最终得到DE=DF。
同时，在此基础上，继续引导学生思考，联想以往学过的几何图形，进行变式：
变式一：结论互换，已知DE=DF，其余条件不变，求证AD是∠BAC的平分线。
变式二：改变图形进行变式。如图，已知四边形ABCD中，AD是∠DAB的平分线，∠DAB=60，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=AC。
在这道证明题中，我充分引导学生根据已知条件和问题进行合理的回想、猜想与联想。这三者之间是密切相联的，回想越充分，联想就越丰富，猜想也就越合理，解题的思路、方法也就越明确。
总之，在数学解题教学中，引导学生认真审题和开拓思维参与解题的全过程，学会解题，是提高课堂教学效益，提高学生自主学习能力的一种有效途径。
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