基于课标课程的中学数学建模教学的实践研究

第一篇：基于课标课程的中学数学建模教学的实践研究

基于课标课程的中学数学建模教学的实践研究

摘 要：新课程标准将“数学建模”“数学探究”等纳入数学研究性学习的形式当中，倡导对学生数学学习方式的丰富以及独立思考、自主探索、动手实践等能力的培养，明确规定了中学数学课程需在向学生提供基本内容的同时反映数学的应用性，积极展开数学建模活动。在分析中学数学建模主要原则和具体步骤的基础上，针对不同类型的数学模型展开建模教学的实践研究，以期为当下中学数学的建模教学提供参考。

关键词：课标课程；中学数学；模型

一、中学数学建模的主要原则

1.趣味性

在中学数学课程中引入数学建模是为了使中学生真正体验到生活中数学的重要作用，激发学生主动接触、学习数学的兴趣。因此，教师需立足于满足学生爱好、贴近实际生活且符合学生现有数学知识结构的前提下进行建模问题的选择，通过富有趣味与挑战性的问题的设置来调动学生的积极性，进而主动参与到建模教学活动中。

2.可行性

由于教学的接受者是中学生，故建模问题的选取必须适合中学的数学知识水平，并在不同阶段的建模训练中结合教学现实选取相应的问题，做好由易到难、由简及繁的过渡。

3.发展性

建模问题的选用首先应当渗透中学生数学的数学思想方法，让学生在建模学习过程中巩固并内化所学知识，得到进一步发展。建模问题的解决并非是建模教学的最终目标，需强调问题解决后所带来的延伸作用。

二、中学数学建模的具体流程

作为一种创造性数学思维活动，数学建模的模式、方法并非是固定的，但总结起来大致包括以下几个流程。

1.准备

建模准备环节要在分析问题实际背景的基础上做好数据、资料的收集与整理，发现问题的内在联系并对其中所涉及的量的关系做出分析。

2.假设

从建模目的和实际问题特征出发对问题进行有选择性、必要性的简化，并针对题目条件进行有选择的理想化，经抽象思维思考后使用数学语言对问题提出假设，合理选择变量。

3.建模

使用相应的数学方法根据假设建立不同变量间的关系模型。

4.求解

计算所建立的数学模型并进行求解证明。

5.分析

数学分析建模的求解结果，例如变量间关系、最优解或最优决策，此外还可对所得结果做出进一步的预测。

6.检验

在实际问题中代入分析结果以实现对求解结果合理性、真实性、科学性、可行性的检验，在必要的情况下可修正模型，通过再计算―再检验―再修正的反复循环得到最理想的结果。

三、基于课标课程的中学数学建模教学实践路径

1.降低难度，树立信心

在建模教学的初级阶段需尽量多地选用一些易于寻找模型的题目，让学生在获得成功体验的过程当中逐步形成建模的自信心。对于现实生活中普遍存在的增长率、浓度配比、存款利息等可利用方程这一较为简单的数学模型来表达数量间的相等关系。例如，在讲解七年级方程的相关内容时，教师可先设计这样一个问题：

例1：一件衣服的售价是132元，在降价进行9折出售的情况下，相比较进价仍然可获得10%的利润，求衣服的进价是多少？

假设衣服进价是x元，那么根据问题可列出132×0.9-x=10%x这一方程，并解得x为108。

学生通过这个简单方程式求解的平台获得了成功的体验，而后教师可在此基础上进行深化。

例2：某工厂甲车间与乙车间年度计划总共完成720万元的税利，结果甲、乙车间分别完成了计划的110%和115%，共计完成812万元的税利，那么甲、乙车间分别超额完成了多少万元的税利？

在分析问题后可应用x+y=max+by=n这一模式，假设甲乙两车间完成的税利分别是x、y万元，那么可得出方程式组x+y=720110%x+115%y=812，解得x=320，y=400。进而由320×10%和400×15%得出甲、乙车间分别超额完成了32万元与60万元的税利。

这样由易到难逐级递进的教学方法能够帮助学生打好基础，同时贴近实际生活的问题选择也让学生了解到了数学建模的无处不在，初步形成了建模意识。

2.发散思维，开拓思路

例3：根据一次函数y=6x+12设计不同的问题，学生在讨论与思考后编写出了各种不同的生活背景。

1.出租车的起步价是12元，若超出规定公里数后需每公里增加6元，假设超出x公里，出租车费为y元，则两者的函数关系是y=6x+12。

2.公园里的一个花坛长6 m，宽2 m，现在要保持花坛的长度不变，宽度增加x（m）来扩大花坛的面积，那么扩大后的花坛面积y（m2）和x（m）的关系式是y=6x+12。

3.弹簧长12 cm，每挂上一个重1 kg的物体便增长6 cm，那么弹簧的长度y（cm）和物体重量x（kg）之间的关系是y=6x+12。

在自己编写题目后学生对建模思路有了更清晰的把握，并且学会了多角度、多方位地思考数学问题，有利于培养学生建模的灵活性。

3.绘制图表，加深理解

建模过程中准确理解与把握题目的含义是至关重要的。中学生的思维发展相对来说还不够成熟，往往在阅读文字时很难形成直观形象的概念。因此，中学教师在建模教学中必须指导学生掌握理解问题的方法，可引导学生通过绘制表格或图像等来直观地分析问题。

例4：某地区已有1000公顷耕地，计划在十年后粮食单产比现在增加20%并且人均粮食占有量相比较现在提升15%。若人口的年增长率是1%，求耕地每年最多只能减少多少。

该题目中的数量关系复杂，涉及现有的及十年后的耕地面积、人口、粮食单产等诸多数量，此时教师便可引导学生绘制表格整理数据。如下：

经过列表梳理后学生可以从复杂的数量关系当中准确、清晰地找出关联数量，理解题意后便能够很容易地建立数量关系模

型了。

四、总结与建议

在中学数学的建模教学过程中，教师需结合建模基本原则和学生实际情况适当选择建模切入点。在建模教学初期，考虑到中学生在建模初级阶段经验不足、意识薄弱，因此需密切结合教材选用一些较为简单的建模问题，以指导学生了解、构造模型为目的，帮助学生消除对数学建模的畏难心理；在建模教学中期，可着重培养学生提取信息、应用信息的能力；而在建模教学后期，可鼓励学生自主搜集建模信息、数据并进行假设建模，从而逐步、有效地培养中学生的数学建模能力与数学知识应用能力。

参考文献：

张晓晖.基于建构主义的中学数学建模教学研究[D].山东师范大学，2012.

第二篇：国内中学数学建模及其教学的研究现状

国内中学数学建模及其教学的研究现状

一、国内中学数学建模的研究现状

随着时代的进步和科技的发展,人们越来越觉得数学素质是一个人的基本素质的重要方面之一,而掌握和运用数学模型方法是衡量一个人数学素质高低的一个重要标志。受西方国家的影响,20世纪80年代初,数学建模课程引入到我国的一些高校,短短几十年来发展非常迅速,影响很大。1989年,我国高校有4个队首次参加美国大学生数学建模竞赛。现在这项竞赛已经成为一个世界性的竞赛。在美国大学生数学建模竞赛的影响下,1992年11月底,中国工业与应用数学学会举行了我国首届大学生数学建模联赛。从那以后,数学应用、数学建模方法、数学建模教学的热潮也迅速波及到中学,使得我国有关中学数学杂志中,讨论数学应用数学建模方法、数学建模教学的文章明显多了起来。1996年9月北京市数学会组织了一部分中学生参加了“全国大学生数学建模大赛”,取得了意想不到的好成绩,赢得了评审人员、教师等有关人士的一致好评。这些竞赛与常规的数学竞赛很不一样,题目内容与生产和生活实际紧密相连,可以使用参考书和计算工具,都是要通过建立数学模型来解决实际应用问题。这也说明中学生能否进行数学建模并不在于是否具备高等数学知识,运用初等数学知识仍然可以进行数学建模,甚至有时能把问题解决得更好。

在我国,中学真正开展数学建模的时间并不长。最早进行中学数学建模的城市是上海市。1991年10月,由上海市科技局、上海工业与应用数学学会、上海金桥出口加工联合有限公司联合举办了“上海市首届„金桥杯‟中学生数学知识应用竞赛”的初赛,并于1992年3月举行了决赛。以后每年进行一次,主要对象是高中学生。这项竞赛参加者最多时达到了四千多人,在培养中学生数学应用意识和数学建模能力方面起到了重要作用,也为我国其他地区举办中学生数学应用与建模竞赛起了一个带头作用。

北京市于1993年到1994年也成功举办了“北京市首届„方正杯‟中学生数学知识应用竞赛”,有两千多人参加了竞赛。与此同时,举办者开始尝试让中学生写数学建模的小论文,学生所写的小论文让举办者和教师大为吃惊。到1997年北京市教委从中学数学教育改革,特别是从应试教育向素质教育转变的角度出发,批准恢复了一年一度面向高中学生的竞赛。北京市成立了由北京市数学会、北京市教委科教院、人民教育出版社、北京师范大学、首都师范大学联合组织的“高中数学应用知识竞赛”咨询委员会和组织委员会,由北京数学会作为具体承办单位,并于1997年12月举办了“第一届北京市高中数学知识应用竞赛”初赛,并于1998年3月进行了决赛,至今成为惯例,已成功举办了十一届。

2000年8月,第七届全国数学建模教学与应用会议在郑州召开。会议安排了有关中学数学应用和建模的报告。比如,北京理工大学的叶其孝教授和北京师范大学的刘来福教授分别作了题为“深入开展中学生数学知识应用活动”和“北京中学生数学知识应用竞赛”的报告。特别值得提出的是,在这次会议上,第一次有中学教师参加。

2001年7月29日至8月2日,第十届国际数学建模教学与应用会议在北京举行。会议的研讨包括“中学数学知识应用竞赛和中学数学教育改革”的报告和研讨会。部分中国与会者还就“大、中学数学建模教学活动和教育改革”,“美、中大学生数学建模竞赛赛题解析”进行了交流。我国的一些中学教师在会上作了有关中学数学建模的报告,引起了与会者的强烈反响。所有这些都为进一步推动我国的数学建模教学活动创造了良好的条件。

教育部2003年颁布的《普通高中数学课程标准(实验稿)》把数学建模纳入了内容标准中,明确指出“高中阶段至少应为学生安排一次数学建模活动”,这标志着数学建模正式进入我国高中数学,也是我国中学数学应用与建模发展的一个里程碑。

二、国内中学数学建模教学的特点

中学数学建模教学在国内的研究现状,概括起来有以下几大特点:

1.数学课程标准中对数学建模已经有了明确的要求:(1)在数学建模中,问题是关键。数学建模的问题应是多样的,应是来自于学生的日常生活、现实世界、其他学科等多方面的问题。同时,解决问题所涉及的知识、思想、方法应与高中数学课程内容有联系。(2)通过数学建模,学生将了解和体会解决实际问题的全过程,体验数学与日常生活及其他学科的联系,感受数学的实用价值,增强应用意识,提高实践能力。(3)每一个学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题,对同样的问题,可以发挥自己的特长和个性,从不同的角度、层次探索解决的方法,从而获得综合运用知识和方法解决实际问题的经验,发展创新意识。(4)学生在发现和解决问题的过程中,应学会通过查询资料等手段获取信息。(5)学生在数学建模中应采取各种合作方式解决问题,养成与人交流的习惯,并获得良好的情感体验。(6)高中阶段应至少为学生安排一次数学建模活动。还应将课内与课外有机地结合起来,把数学建模活动与综合实践活动有机地结合起来。

2.在各大师范院校为本科生、研究生开设选修或必修的“中学数学建模”课程的同时,奋战在一线的中学数学教师也开始投身中学数学建模的实践和研究中。

苏州大学数学科学学院的徐稼红教授从1997年开始,为师范毕业班开设了“中学数学建模”选修课,该课受到学生的普遍欢迎和重视,学生反映这门课开得及时,是将中学数学与实际应用紧密联系的一门好课。期间,还为中学数学教师开设“中学数学建模”讲座,也得到了中学老师的充分肯定与好评,对促进中学数学应用的教学起到了积极的推动作用。徐稼红教授还就开设“中学数学建模”课程的意义、教学方法和教学基本内容作了深入探讨和研究。并且在实践中得出结论:“高师数学系设置中学数学建模课程既是必要也是可行的,它是提高高师学生的数学素养,培养未来合格教师的一条重要途径,也是加强高初结合值得探索的一个方向。”

河北师范大学的张硕和杨春宏运用循序渐进的教学原则将中学数学建模能力的培养分为初级、中级和高级三个阶段,对应建模能力将建模题目也分为了三个层次。并指出:“建模能力和建模题目的等级划分不是绝对的,在一定条件下是可以相互转换的。因此,不同类型的中学应该根据各自学校的具体情况,努力研究数学建模教育自身的发展规律,让不同能力阶段的学生,通过开展数学建模活动,得到学数学、用数学的实际体验,培养学生勤于思考,勇于探索的勇气与敢为人先的精神,从而达到全面提高学生素质、增长学生才干的目的”。

北京市数学会从1994年起,组织了“中学数学教学改革和数学建模”讨论班,每两周活动一次,参加讨论班的有不少大学的教授、研究生和几十位中学教师。在市教委教研部和教材编审部的支持和组织下,讨论班的教师开设了多次全市范围的数学建模的公开课和专题讲座,正式出版了数学知识应用的课外活动教材。首都师范大学的数学教育的研究生课程班和一些区县的教师进修学校的数学教师继续教育班,也把数学建模作为必修课。

我国部分中学数学教师也在孜孜不倦地对数学应用与建模的实践进行着有益的探索。比如,北大附中的张思明老师从1993年开始在所教的班的数学教学中渗透数学建模的思想和方法。主要做法是:在课堂教学中,让学生了解所学知识的应用背景,让学生接触并解决一些有真实感的应用问题。在课外活动中为学生介绍一些数学建模的实例,设计了多种形式的数学活动,引导各种水平的学生进行用数学解决生活中实际问题的实践。张思明著的《中学数学建模教学的实践与探索》(1998年)和《数学课题学习的实践与探索》(2003年)两本书,就中学数学建模的内容、意义、开展方法和实例分析作了深入探讨,为一线教师提供了有力参考。2000年,四川省邻水二中在苏州大学武茂庆的指导下,以冯永明、张启凡和刘凤文为代表的数学教师开展了中学数学建模教学与应用的研究和实践。他们以教材为载体,以改革活动方法为突破口,以小组为单位开展建模活动,从生活中的数学问题出发,强化应用意识;从社会热点问题出发,介绍建模方法;通过实践活动或游戏中的数学,从中培养学生的应用意识和数学建模应用能力;以数学建模为手段,激发了学生学习数学的积极性、相互合作的工作能力;以数学建模为核心,培养了学生的动手能力和创新精神,取得了较好的成绩。并在数学通讯和数学教育学报上发表多篇文章总结经验。还有不少教师就中学数学建模的教学原则、教学策略、常见模型、作用和意义等方面进行深入的研究。

3.中学数学建模教学的具体实施困难重重。主要原因有:(1)数学课程标准没有对数学建模的课时和内容作具体安排,也没有统一的教材和规定,这就让一线教师在具体实施过程中漫无边际,无从下手。(2)专门针对中学数学建模的研究起步比较晚,一大批的中学教师在大学期间并没有接受过这方面的教育,对数学建模概念、建模意识、建模意义都很模糊。(3)相应的评价体系并没有建立,在高考的压力面前,学生也不愿花费精力进行建模。

第三篇：中学数学建模教学的探讨与实践3000字

中学数学建模教学的探讨与实践 摘要：主要论述了数学建模在中学数学教学过程中的实践探讨，论述了应用的方法和应用的对策，以及应用过程中应该注意的问题，希望可以为今后的中学数学教学提供参考。关键词：数学建模；中学数学；教学 1 引言

在中学数学教学的过程中，为了能够提高中学生学习的效果，教师必须要重视采取有效的教学手段，将数学建模思想融入到教学工作中，提高学生学习数学的水平，并学习将数学知识应用到生活实际问题中，从而能够适应未来生活。2 数学建模的内涵

何谓模型?总而言之，模型就是根据具体实际问题，把复杂而抽象难理解的问题，形象化的建立起一个可以反映具体实际问题的一种模型。数学模型在现实和非现实的理论体系中扮演着重要的角色，使得两者之间能够很好的联系到一起，这在数学领域被广泛的应用，也是一种解决问题的很好的方法。数学建模对中学数学教学的现实意义

3.1 中学数学建模教学的紧迫性、必要性和重要性

数学建模的发展影响着社会人才的发展，和更强的能力去适应社会，西方等发达国家很早就开始了相关教学工作。增加数学和其他科学、以及日常生活的联系是世界数学教育的总趋势。所谓数学建模就是把所要研究的实验问题，通过数学抽象构造出相应的数学模型，再通过数学模型的研究，使原问题获得解决的过程。数学建模不仅在与数学联系紧密的学科（物理、化学、生物）中应用广泛，在其他学科的应用也日益增强。比如在管理学科，利用数据进行统计分析，为决策者提供参考；通过数学模型对相关绩效进行综合评价。比如在美学中的应用，设计最优设计方案。在网络交通中制定最短路路径等，都需要建立数学模型解决问题。传统的中学数学教学过于注重理论和计算，忽视了实际问题的深入研究和应用。内容枯燥，往往打击了学生学习数学的积极性。据搜狐教育最新调查研究[6] 表明超过半数人人文中学数学较难或难。新世纪数学课程改革中明确要求加强应用性、创新性，重视联系学生生活实际和社会实践的要求。在中学的教学课堂中引入建模的思想，不仅可以很好的提高学生的创造力，还可以改变目前的教学理念，使得学生脱离题海战术，将这种思维始终贯穿在整个学习过程中让学生真正感受到学习的乐趣，让学生在素质教育的背景下得到提升，同时还能够增强探索和创新精神。所以，在目前的情形下，在中学课堂中落实数学建模思想是提高素质教育的重要措施。

3.2 有利于培养学生主体性意识

传统教学法一般表现为以教师为主体的满堂灌输式的教学，强化数学建模的教学，可极大地改变教学组织形式，学生是学习中主要的对象，而教师则是授业解惑之人，是教学过程中的引导者。由于在学习过程中就是一个不断地发现问题解决问题的过程，每一个学生都要积极地参与到学习中来，对问题要进行报告、讨论和总结，所以对于学生能够收到极大地调动。在新时代的大背景下，学习是多方面的，只是不能只来源于老师，要极大地鼓励学生在其有益他方面多加学习，争取构建全面的学习观，只有这样学生的主动学习和接受知识的意识才会得到提升。

3.3 有利于培养学生创新意识 从问题的提出到问题的解决，建模没有现成的答案和模式。学生要自己组成讨论小组对遇到的问题提出疑惑自主判断和分析，创造性地解决问题。数学建模需要学生多思考问题，独立完成一些简单的问题，小组讨论深入探讨的一个过程，同时通过全新模式的数学理念去学习数学建模，也给那些生搬硬套、思维逻辑、只会理论表象的学生做出一个表率，学生可以通过自己本身所具有的自主性和想象空间去学习建模，其过程可以培养学生的分析问题的能力和解决问题的能力，让学生本身更具有创新能力。3.4 有利于培养学生合作意识

在现实社会中，很多实际问题不是单个人所能解决的，需要众多人员共同合作完成。数学建模的实施往往通过组建多人团队来完成。建模团队为实现共同的目标，他们既要明确分工，各尽所能，又要密切配合，集思广益，只有发挥团队精神，共同努力，集体攻关，才能取得正确的答案。因此，数学建模教学有利于培养了学生相互学习、积极合作、集体攻关的合作意识。如何提高数学建模在中学数学教学中的应用效果

随着社会的发展，教育体制也在不断地改革，数学建模在中学的教学课堂越来越受重视，并且在很多地区数学建模课堂成绩显著。在课堂上不断地开展建模为主题的活动，不仅可以通过建模来具体解决问题和提高学生的学习思维方式还能够加强同学之间的交流。这就是数学建模融入到中学课堂的主要目的，具体如何能够取得显著效果，可以从以下几个方面分析： 4.1 在数学教材中的重要部分引入数学建模

在中学阶段处理很多数学问题都可能用到数学建模的方法，而此时的学生也正是需要理论联系实际的阶段，如果在解决问题时只是考虑所学的理论问题，如果在问题上只是考虑理论问题，而不明白真正的原理，势必会让学生更加迷惑，而问题得不到解决。现在的中学数学教学课本中，主要还是以实际问题为主，然后根据实际问题引入数学的知识，根据知识建立相关的数学模型，此类方法对于解决数学问题很有针对性。4.2 改编数学问题，转枯燥为生活化、趣味化 中学阶段数学的学习就是一个枯燥乏味的阶段，现在大部分中学数学教学课本得知识和例题取自现实生活中，而生活中的很多问题都可以根据相应的数学建模来实现，但是在课本中经过处理的应用问题对于学生来讲是枯燥乏味的，问题的解决不能完全让学生明白，但是如果根据具体的实际问题，将课本的编制基础进行改革，使得其更加接近于实际，更加能够增加学生的学习爱好和学习的积极性，为学生学习数学建模奠定基础。4.3 合理性的把教材内容进行延伸，为数学建模作基础 目前的中学数学教学中，在进行数学建模教学时所选用的教材有一个显著的特点，其应用性都比较强，及时难度各不相同，但是给建模建立了一个很好的条件，通过建模的教学，不仅可以让学生学习到理论知识，还可以让学生在学习知识的同时更好的去理解，加深印象，使得理论知识更加巩固，因此形成一套很好的解题办法以及提高学生的建模能力。只要将数学建模的的思想始终贯穿在学习数学的教学中，就可以通过长期的积累，提高学生的建模能力。也就是在不断的学习过程中，老师要不断的引导学生去用建模的思想去思考、观察各种事物，从复杂的数学问题中，找出具体熟悉的数学模型，进而使得问题得到解决，逐渐使得学生在遇到问题时习惯性的用建模的思维去思考。5 结束语

综上所述，中学数学教学中，要注重学生的学习效果，当把数学建模的思想和数学理论有机的结合在一起，不仅可以使学生提高思考能力，还可以使学生提高建模意识，在遇到问题时自觉地去用建模的方法去观察，分析和解决问题，使得素质教育能够更好地落实。参考文献

[1]张裕波.数学建模思想在中学数学教学中的运用[J].数学学习与研究，2015（7）：73-74.[2]战珊珊.数学建模思想在中学数学中的应用[J].现代营销（学苑版），2015（12）：198.[3]陆世标.数学建模在中学数学教学中的滲透和实例[J]，南宁师范高等专科学校学报，2008，25（2）：113-116.[4]胡新安.中学数学建模教学的难点及对策[J].数学大世界,2012(9):4.[5]胡大海.初中数学教学中建模思想的应用[J].中学生数理化教与学,2016,(4):89-90.[6]http://learning.sohu.com/20160324/n441844286.shtml [7] 赵 林.国外中学数学建模教学情况概述[ J].课程·教材·教法, 1995,(8):36-38.[8] 吴 正, 张维忠.数学模型方法的教育价值浅谈[ J].中学数学教学参考, 1998 ,(8 , 9):7-9.

第四篇：中学数学建模教学的实践与认识

中学数学建模教学的实践与认识<

张思明

/b>

一、“问题解决”与数学建模

当今的中学数学教育中，问题解决(Problem Solving)正成为一个热点。在国际中，日本已把问题解决纳入教学大纲(学习指导要领)，在美国的中学课程标准中，问题解决已作为“一切数学活动的组成部分，应当成为数学课程的核心”；美国也已把问题解决当做一种教学模式和教学的指导思想。在我国，国家教委基础教育课程教材研究中心在1993年组织过专题讲习班，并出版了用于问题解决的“问题集”。反映问题解决教与学过程的文章也多次出现在专业期刊上。

这一切来源于数学教育工作者们对基础数学教育在走向21世纪时的发展、变化的如下认识和展望：

(1)数学文化素养越来越成为每一个公民，以至于整个民族文化素养的重要内容和标志。因此数学教育要面向大众，面向每一个学生。

(2)数学教学将从传统的“传授知识”的模式更多地转变到“以激励学习为特征的，以学生为中心”的实践模式。

(3)数学教学将更着重于培养、发展学生的广泛的数学能力。它不仅包括理解运用数学概念和方法、组织正确的逻辑推理，进行准确有效的计算和估算；还应包括会检索阅读相应的数学书刊文献，会利用表、图、计算机去组织、解释、选择、分析处理信息，能从模糊的实际课题中形成相应的数学问题，会选择有效的解决问题的方法、工具和策略。

问题解决作为一个学数学、用数学的过程，恰好是实现上述目标的有效途径之一。

作为问题解决的核心——问题，有着各种各样的分类方法，但大体上可以分成两类：

(1)为了学习、探索数学知识，复习巩固所学内容而主要由教师构作的数学问题，如教科书、复习参考书中的练习题和复习题等。

(2)出现于非数学领域，但需用数学工具来解决的问题。如来自日常生活、经济、理、化、生、医等学科中的应用数学问题。

(1)类中的问题，往往是已完成数学抽象和加工的“成品”问题。

(2)类中的问题，往往还是“原坯”形的问题，怎样将它抽象、转化成一个相应数学问题，这本身还是一个问题。当然两类问题是可能有“交集”的，它们彼此的边界也是模糊的，如可列方程(组)求解的文字应用题的一部分就在这个“交集”中。

数学建模可以看成是问题解决的一部分，它的作用对象更侧重于(2)类中问题。作为问题解决的一种模式，它更突出地表现了原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程；数学工具、方法和模型的选择、分析过程；模型的求解、验证、再分析、修改假设、再求解的迭代过程，它更完整地表现了学数学和用数学的关系。它给学生再现了一种“微型的科研过程”，这对学生今后的学习和工作无疑会有着很好的影响，也对学生的能力提出了更高层次的要求。

对于(1)类问题怎样进行问题解决的教与学已有很多成果，如G.Plya的关于解题的几本名著。数学建模也已成为工科院校的数学主干课程之一。但在中学里进行数学建模的教与学还刚刚起步，有许多问题正有待探讨，还有一些认识问题和技术上的困难，如：

·搞数学建模和当年联系实际，搞“三机一泵”，开门办学是如出一辙，有走回头路之嫌。

·高中数学课程内容多，学时少，完成教学计划尚不十分从容，还要应付会考、高考，没有时间搞数学建模。

·能适合中学生水平且能结合课本教学内容的建模问题不多，开发这样的问题也不十分容易，这让有心尝试者有巧妇难为无米之炊的感觉。

·在教学第一线的教师常常有较重教学任务负担。对他们来说，对正常教学内容比较熟悉，课外内容相对生疏；对正常的、一般的数学竞赛的内容比较熟悉，对数学建模的内容和过程相对生疏。而数学建模的问题常常是未经数学抽象和转化的“原坯”问题，在建模步骤中不仅要求有相应的数学知识，还要涉及非数学领域的知识；在求解步骤中除了数学方法外，还常常用到计算机(在计算机上进行模拟、试算、检验等)和物理方法。这不仅对学生，而且对教师都会遇到知识或方法上的困难和障碍。

下面部分实例和讨论，也许可以看成我们对上述问题的一种思考和回答。

二、“磁带问题”教与学的实录与评析

磁带是日常生活中常见的物品，但它却联系着许多有趣的数学应用问题，抓住这些问题让学生去动手、动脑，不仅能培养学生学习数学的乐趣，还能培养学生学数学、用数学，生活中的问题用数学化的方法加以思考、分析、求解的能力。磁带问题所涉及的相关知识不多，易被学生观察、了解，是中学数学建模的一个容易下手的问题。下面我们给出对同一课题在初

二、高三这两个年级进行数学建模活动的主要线索。

(一)初二年级(1)班，1993年10月26日

1由教师先提出问题

(1)一盘60分钟的普通磁带有多长?

(2)一盘60分钟的普通磁带的单层厚度是多少?

请同学们观察从家中带来的磁带样品，寻找解决问题的模型与方案。

2组织课堂讨论

几分钟，全班分成了四派：

(1)设法直接测量带长l与单层带厚d(2)设法直接计算l与d；

(3)设法测量l，而去计算d；

(4)设法测量d，而去计算l；

教师进一步要求，提“算”的同学给出算法，提“测”的同学给出实际可行的测量方案。

在教师的启发下，“算”派的学生代表上黑板给出了如下的算法模型：

先将磁带全绕在一边(如左侧)，测出图1中的R与r(实测为R=224mm,r=10.5mm)把磁带所在的左盘的俯视图看成是一个圆环，把它想像成是由一条长为l(磁带长)、宽为d(磁带的单层厚)的‘细长矩形’环绕填充而成，因此，有：

（１）

教师：这个模型建立的非常好，但一个方程怎么解两个未知数l与d?

学生：可用以公式(1)测一个量，算一个量，很好!那么测哪一个?算哪一个?

学生甲：测量d，算出l。

学生乙：测量l，算出d。

学生丙：两个都测量更简单。

教师：谁来谈谈测量l的方法?

学生乙(举手发言)：将磁带从带头开始，放入录音机走带1分钟，取出磁带做上记号，测量出1分钟走过的带长，再乘60就是总的磁带长l。

学生丁：不对，应将1分钟走过的带长乘以30才是总的带长。

教师：乙谈得不错，丁补充得也很好。60分钟的磁带的单面放音时间约为30分钟，所以应将1分钟的带长乘以30而不是60。另外，一次测量常常由于操作和测量工具的原因造成测量的误差，最好多测几次，取平均值作为测量的最终结果，这也是测量中减少误差的常用手段之一。谁再来谈谈怎么测量d?

(静场约1分钟)

学生甲(举手发言)：磁带太薄，普通尺子的刻度太大不好测量，可以多叠几层再测量。

学生丙：可以把磁带绕在笔帽上，绕上30圈，再量内、外径就可以算出单层厚度。

教师：大家的想法都很好，试着做一下就会感到测d不太容易，比如绕在笔帽上绕齐30圈就不容易，再用普通尺子量准内、外径也不太容易。我给同学们提一个建议，到物理实验室向那里的教师学习一下千分尺或游标卡尺的使用方法，相信你们会找到并学会测量很薄物体厚度的方法。今天的一个课外作业就是请同学们实际测算出一盘60分钟的普通磁带的长度和单层厚度，请大家把测算方案和结果写出来，下次课我们一起来交流。

〔评注〕像这样的问题并不需要专门的整段时间去进行教学活动，而可以安排在正课的头或尾的15分钟内进行。教师的指导重点放在设计问题，引导学生建立相应的求解模型上，而把实际的求解过程放在课下让学生独立完成或分小组讨论完成。对具体的求解过程教师不必给出详解，而只要给出一个让学生进行思考或操作的可以入手的方向就行了。这样不会太干扰正常的教学进度，却给学生留下了学、用数学的生动场景。

3完成作业后的讲评

教师：大家的作业写得不错，大致上磁带的厚度在0.0165到0.0167(mm)之间。磁带的长约为90米，由于磁带的牌号不同，测算的过程和方法不同，答案略有差异也是正常的。其中王颖同学的讨论写得不错，他先测d，再算l得88.7米，再用上次课提到的测l的方法用录音机测出一分钟走带2.9米，乘30得87米，比前面的结果短了一些。小王分析了误差产生的一个原因是60分钟的录音带单面放音机时间都略长于30分钟(实测在30′30″—32″之间)故磁带的实际长度应比87米长。这个讨论是切合实际的。求解应用问题时，往往不是一次就能得到最合乎实际的结果，对得到的结果进行分析、讨论、修正、验算，常常是求解过程的必要内容，应当在今后的学习中引起大家的充分注意。

现在我们把“磁带求长”的问题一般化，解决怎样求“成卷材料的长度”。这个问题里，待求长的对象可以是纸卷、布卷、油毡卷、成卷的金属材料等，请大家先讨论一下求解的方案。

经过讨论，学生们提出的方案有：

①先测材料的单层厚度d，然后用

(2)

来求其长。

教师随后引导讨论使用这种求长模型要注意的条件：材料应缠绕的均匀、密实，且d＜l。

②物理模型，先称出单位长度的待测长材料的重量W0，再称出待测长材料的总重量(扣除卷芯的重量)，于是

(长度单位)

教师可引导学生，讨论使用这个求解模型的利弊——它不要求卷材卷绕得是否密实，对d的大小及截面的形状也没有限制，但它要求材料质量分布应是均匀的。

〔评注〕讲评也可以采取学生报告结果的方式，教师应注意帮助学生将结果一般化，并注意求解模型的适用条件，引导学生注意发现，体会别人的有创见之处，找出问题，提出有待探索的新课题。

4应用已有的求解模型的训练——大家一起提问题，解问题。

教师：我请同学们编几个练习题，来用一用刚才提到的卷材求长的方法。请每一个同学编一个实际问题，再附上解，我们下次课再交流。

学生们提出的问题主要有：

①求45分钟、90分钟、120分钟磁带的长。

②求120分钟录像带的长。

③求一个纸卷(r=2cm,R=20cm)的纸长。

④求磁带全绕于左侧时的匝数。

⑤求磁带在放音时通过磁头的线速度。

⑥求一轴线的线长。

〔评注〕让学生自己通过观察思索去提问题，解问题，是数学建模教与学的重要环节。这里面有不同层次的能力体现，如①、②、③就是“模仿”层次的(对初中生的大多数来说是这个层次的)；④、⑤、⑥就是“发散”层次的，它需要将已知求解模型或改造，或逆用，或推广„„。虽然仅有较少同学能提出这类问题，但教师应着力引导，鼓励学生努力这样去思考，为他们创造展现才能的机会，而不仅是 “Follow Me”式的学习。这样坚持下去，就会使学生们有更多的题外收获，它不仅使学生能更好地体会到数学模型的意义和作用，而且能培养锻炼学生在问题解决中观察、发现、控制、调整从而走向更高层次的问题与求解过程的能力。学生提出的问题，可以成为下一阶段的课题，也可引导学生在假期中，独立钻研写出相应的小论文。

(二)高三年级(3)班，1994年2月

1(在代数复习课的结尾留作业时)布置问题

(1)同(一)之1中(1)；

(2)同(一)之1中(2)；

(3)取一盘磁带，观察当磁带全绕在一边(如左轮)时，磁带的边缘与另一轮边缘之间的最短距离是多少毫米?在放音过程中，这个距离会变化吗?若变化，是变大还是变小?(请试验观察之)，要使得在放音的任何时刻两轮磁带的外缘互不接触，两轮轴间的最小距离最小应为多少毫米?

(4)以自己家里的录音机为观察对象，观察录音机的计数器中的数字k与放音时间之间的关系，t是k的正比例(或线性)函数吗?你能根据你的观测数据求出一个t=f(k)型的近似公式吗?磁带A上有一首长为7′30″的歌曲，要将它转录在另一盘磁带B上。起始位置的计数显示是k=120，问转录歌曲结束时，应在k=?时停机?

完成这一专题作业的时间是一周，可以互相讨论，也可以使用必要的测量、计算工具。

2一周后的交流、讲评

对问题(1)，(2)，高中学生除了提出(一)中求解的模型外，还提到了“等差数列求和”的模型：

对于，不同的选取有三种计算方式：

①，(以磁带内层为基准)

②，(以磁带侧面中心线为基准)

③，(以磁带外层为基准)

当d很小时，三种算法的结果非常接近，与(一)中的求解结果比较，相差也不超过2rd。由此引导学生在比较中得到结论，当d很小时，用式

求卷材之长比等差数列的算法更简捷有效。

为了结合课堂所学的知识，教师进一步提出这样的问题：上面的求解模型，实际上是把磁带看成一个个绕在轴上的“同心圆”，而实际上磁带的(俯视图)内侧边缘的轨迹应是何种曲线，轨迹方程是什么?它的精确长度应如何求?(答：阿基米德螺线，ρ=r+aq，见解析几何课本p.123，它的精确求长要用到定积分的方法。)

对问题(3)，学生较普遍地观察出，在放音初期，受带轮转得快，供带轮转得慢，故大盘变“瘦”的速度小于小盘变“胖”的速度，因此两盘空隙渐渐变小；而放音后期正好相反，故知当磁带走至全长的一半时，两盘间隙最小，此时两轮的外半径均为r′；且有

要使两轮外缘互不接触，两轮轴中心间距D只须满足

问题(4)是一个开放性问题，不同的录音机可能会得到不同的公式和结果，学生的观察发现，一些新的组合音响或录像机中，计数器的数字k和时间t关系是线性关系(正比例函数)。如不少学生得到k=3t这样的公式，但也有不少收录机不是线性关系。如京产PHILIPS收录机，经多次试验，有以下数据：

容易看出它不是线性关系(教学过程中，“否定”是一个薄弱环节，此时教师可以利用上面的数据，请学生回答为什么k与t不是线性关系?怎么得出这样的判断?)

答：取Δt=5看到Δk不是常数

多数学生此时的另一困难是面对数据，不知找什么样的近似公式，更不知怎样去找这类公式，他们习惯处理那些条件与结论恰当、准确，目标清楚的数学问题，不太会自己根据需要去挖掘、利用条件，这也是传统数学教学的缺憾之一。此时的素材恰好是克服这种缺憾的机会之一。教师可以把前面的数据先画在一张图上(如下面的图)然后大胆鼓励学生设计近似公式的类型，学生提出的方案有：

(1)线性近似公式：

t=ak+b

(2)抛物线型近似公式：

(3)型近似公式：

(4)对数型近似公式：

„„

很多同学会提出否定选用直线型的近似公式，因此数据已表明t与k非线关系，认为选用(1)一定不好。教师可抓住时机提问：什么叫一个近似公式好?怎样评价一个近似公式的优劣程度?

答：简单易求，易用，与已知数据的“拟合”程度尽可能地好，线性近似公式常常是出现最多的。

进一步教师可引导学生思考：在已经确定近似公式的类型的前提下，怎样找出“拟合”程度好的近似公式?

用直线“拟合”的同学想到了，让拟合直线两侧数据点大体均匀分布、分段拟合等直观想法；还有同学证明了：当k与出带轮转过的圈数n成比时，t一定是k的二次函数，从而选择了抛物线型近似公式，用任取的三点数据就求出了近似公式。„„

学生进一步提出的问题有：同一类型的近似公式中，哪个更好?怎么能找出同一类型中最好的近似公式?这些问题为今后的课外活动提供了新的素质和课题(如：用最小二乘法求线性拟合公式等)。

〔评注〕高中学生较初中学生在数学知识、能力上都有较大提高。因此问题的设计应更有深度、广度，并在求解的过程的指导中给学生更多的自由度。有些问题就学生现有水平求解起来有困难(如螺线求长，最佳逼近)，但若学生想到了这些问题，也应积极鼓励，因为问题本身往往是学生学习的最好动力，可以明确地告诉学生将来用什么知识在什么学习阶段解决这类问题。实际上教师不可能解决学生提出、想到的所有问题，但不要为此去限制学生的思维的疆域，而应引导他们在更有数学背景的方向上积极思考，有所发现，有所领悟，有所存疑。这样才能体现问题本身更多的思维价值。这种价值的实现是教师在问题及求解过程设计中应花大力气考虑的环节。

三、关于数学建模教与学的思考

1好的问题是关键

毫无疑问“问题解决”的前提与载体是“问题”。数学建模也是如此，它的发展与成熟无一不和一批经典的数学问题的解决相连。在大学理工科的数学建模课程中，教师会讲到一大批微分方程、概率统计、网络图论的典型问题和模型。每年的《应用数学》期刊中也会登载不少建模的优秀成果与论文。但就中学而言，这几乎还是一块空白，每每想到的还常常是“当年”联系实际的一些“成果”。我们自然会想到两个问题。

(1)对中学中开展数学建模，什么样的问题是好的问题。

作为好的问题的评价标准，我们不必过分计较它的完整性、统一性、权威性，在这里只是提出我们的一点关于“好的问题”的特点的认识：

①好的问题应适合中学生的数学知识水平，在建模求解过程中不需补充大量知识就可入手。问题的“可读性”好(容易被看懂读懂)，求解的线索和过程不宜过长、过繁。有些问题虽可用高等数学方法解决，但一定还有相应的初等解法，或即使用初等的解(算)法也能有较好的结果和精度。如上海“金桥杯”、北京的“文正杯”应用数学知识竞赛的试题基本有这样的特点(见《数学教育》1994.1，《数学通报》1994.1，1994.7)。

②好的问题应能努力表现出建模求解过程的特点，即能表现问题假设、抽象简化、建模求解、检验修改(循环迭代回去)的过程，而不仅仅像教科书上的传统文字应用题那样，已将假设、抽象，甚至建模过程完成，问题不含多余干扰信息，条件不多也不少，目标指向清楚，只须设出未知数，列等式或不等式就可得到解。

③好的问题最好有生产、生活的实际背景和较好的应用价值。模型的“可移植性”强，这样学生从建模的求解的过程中不仅能体会理论与实践相互关系和相互作用，还能从结果的实际意义中看到数学的价值和积极的审美感受，如“方正杯”决赛中的“水库问题”(见《数学通报》1994.4，它来源于1991年湖南资水的实际情况，问题寻求的解是怎样调节水库泄流量可以避免或减少淹没损失。学生通过求解，体会到了科学的、正确的决策的意义和作用，也体会到了正确的决策离不开数学。又如前面提到的磁带求长的求解模型，可以移植到其他“卷材求长”问题。又如图论中的模型，它们的可移植性更强，用状态转移的模型就可以处理“过河问题”和“分油问题”等。

④好的问题最好有多种求解模型，可便于分析、比较它们的侧重和利弊。如前面的磁带问题。

⑤好的问题应有较好的趣味性、可延展性和数学(物理)背景。如“选举问题”既有趣，易理解，又有很深刻的数学背景。“交通流量问题”与物理中的“熵”概念直接相关，“传染病传播的问题”可以延拓到“混沌”等微分动力系统中的理论中去。

⑥很大一部分好的问题都会展现计算机作用，甚至可以预言越来越多的建模求解过程可以用或者必须用计算机。如随机过程的模拟，超越方程(组)或不等式的求解，线性或非线性规化等。在中学建模的问题中，适当引入一部分不是凑数编造的问题，使问题更有实际感，让学生学会用计算工具去采集、处理、分析不规律、有一定精度要求的数据，无疑对学生是一种科研的微缩模拟训练，这对将步入信息时代的学生们是很有现实意义的。

„„

总之，从上面的表述中，我们希望从不同角度描述中学数学建模中的“好的问题”的理想状态。虽然实际的建模问题很难同时达到上述理想的程度，但它为我们收集、整理、加工、创造好的问题提供了一个方向。

(2)怎样寻找“好的问题”，“好的问题”从哪儿来?

比较可行的寻求办法有这样几种：

①从自己或周围人的生产、生活的实际中来。

②从大学的“成品”建模问题中发掘简化得到。

③从国内外的相应教材刊物上整理、编译而来。

④从自己的教学实践中改编创作而来。如在数列教学之后，可以创作一些“人口问题”、“利率计算问题”；或者将课本中已有的文字应用题向“两端”“延长”，如原教材上有过给了两三组数据求一个直线经验公式的问题，可以将它向问题的“始端延长”，即改成请学生自己找出若干组数据(如磁带问题中录音机中t与k的关系)再求经验公式；也可以将问题向“末端延长”，即让学生对公式的适用程度给出评判，如精度是多少?误差怎样?怎么改进?在什么样的要求下，选择怎样的近似公式有最佳的计算效率?„„这样，已有的问题经过改造后，一端越来越“原始”，一端越来越“深入”，就比较接近建模过程的要求了。再如前面提到的“卷材求长的问题”，只要将它改变“维数”，就可以提出成卷状的线材求长问题，成球状的线材求长问题等等。

总之，只要我们肯于学习，大处着眼，小处着手，留心观察，善于联想发掘，从自己熟悉的材料入手，就一定能逐步使我们数学建模的问题库丰富起来。

2关于数学建模教学过程设计的思考

数学建模的教学过程的设计更应反映数学教育发展、改革的方向，具体说来它更应强调以下原则：

(1)着重发展数学能力，特别是数学应用的能力，这不仅包括计算、推理、空间想像，还应包括辨明关系、形式转化、驾驭计算工具、查阅文献、能进行口头和书面的分析和交流。

(2)强调计算工具(计算器和计算机)的使用。这不仅指在计算过程中使用计算工具，而且指在猜想、争辩、探索、发现、模拟、证明、作图、检验中使用计算工具。

(3)更强调学生积极主动的参与，把教学过程更自觉地变成学生活动的过程。教师不应只是“讲演者”、“总是正确的指导者”，而应不时扮演下列角色：

①模特——他不仅演示正确的开始，也表现失误的开端，“拨乱反正”的思维技能。

②参谋——提一些求解的建议，提供可参考的信息，但并不代替学生做出决断。

③询问者——故作不知，问原因、找漏洞，督促学生弄清楚、说明白，完成进度。

④仲裁和鉴赏者——评判学生工作及成果的价值、意义、优劣，鼓励学生的有创造性的想法和做法。

我们觉得，数学建模的教学更应表现“活动”的特点，教学过程设计的着眼点应考虑：怎样让学生更多地参与进来，让他们做什么?怎么做?或者怎样让他们自己悟出，该做什么?应怎样去做?

一般地，数学建模的过程可用下面的框图表示。

对上面的各个环节，我们常常可以采取的教学方法是：

A：比较容易控制教学过程的方式是教师给出设计好的问题，但若有可能，最好让学生自己提出问题。初始问题一般教师给出，“入轨”后可激发学生自己观察、发现提出问题，或者教师可以就学生提出的问题、结果引发新的问题。这样做可以大大激发学生的兴趣和探索欲，调动学生的参与意识。

有些教师会担心，这样做有可能“失控”或被问住。确实，在教学过程中有时学生会提出一些令教师措手不及的问题，甚至是教师力所不能及的问题，但这也不一定是坏事，起码反映了学生在积极思考。教师可先将问题“放一放”，给大家和自己留一个思考的“台阶”；或者分析一下问题的可行性因素，看一看缺什么条件和知识?不要急于下断语性评论。

A→B→C：这两步常常是学生的困难所在。在低年级，或对较抽象的模型，教师应给出具体的范例；对高年级或有一定经验的学生，可引导学生讨论。小组形式往往更便于发挥学生互相启发的功能。对于学生提出的多种彼此不同的模型，引导他们自己比较不同模型的可行性、适用性、效率、优劣，这也是锻炼思维能力的最有价值的过程之一。

C→D：这是学生们相对熟悉的过程，可以让他们独立或分组完成。值得注意的是，在这一过程中算法的优化、工具的使用、其他学科知识的实际应用等方面的困难将会相对突出。教师可以利用这一机会，提高学生的学习动力、欲望、自觉性，扩大学生的知识面；同时，帮助学生培养良好的数学书写、表达习惯。

D→E：这一过程并不困难，可让学生自己完成。教师在这一过程应注意引导学生发现错误、调整偏差。如这磁带问题中，一个学生算出磁带的单层厚度为0.16mm，教师并不需要马上纠正他的错误，而只要给他一个新的问题：“你面前的教科书的一页纸有多厚?你算出的磁带厚度是它的几倍?”就可以让他自己发现他的计算错误。

E→A：这是学生最容易忽略的环节，实际上用数学建模去解决实际问题往往不是一次就能得到符合实际的满意结果。理论的最优值不一定都能达到，这里面有些是非数学因素，如人的认识、政策干扰、经济条件限制、环境条件限制等；也有时是对模型条件考虑不周，带来了超出范围的误差或荒谬的结果。对于前一种情况，要分析原因，朝理想目标努力；对于后一种情况，就需要修改模型的假设或模型本身，重新进行求解。这与学生通常的解题经验(无循环、一次成功)有较大的差异，如有的学生在“磁带问题”中得出的放音时间公式t=f(k)，由于时间间隔Δt选得太大，造成公式计算误差较大。教师要求学生作实际检验与公式结果对照，引导学生自己发现问题，找出原因，用多次测量、变化测量参数等方法来改进公式的待定系数，就能使学生得到很好的建模体验和能力训练。另一方面，一个阶段的问题解决之后，引导学生自己发现、提出新问题，变化模型的参数，扩展模型的适用范围都是非常有创意的环节。“问题解决大师”波利亚在他的解题名著中，曾提出过许多很好的想法和作法，这里面确有文章可做，教师应特别珍惜这块引导学生走向创造和发现的“富矿区”。如在前面的“磁带问题”求解完后，引导学生做以下工作：

推广模型的适用对象——测量其他磁带、纸卷、布匹的长度和厚度；

变换模型的条件——d很大——螺线求长法；卷绕不规则——物理模型求长；

变换模型的‘维数’——测量一轴线的线长；

逆用模型——计算录、放音时通过磁头的带速；

„„

总之，数学建模的各个环节都有着不同的思维锻炼价值。教师在设计教学过程时，不仅要把自己的“导游程序”设计好；而且要使学生能逐渐体会“导游意图”和“导游程序”设计的要领，在求解的路上或“设疑”、或“破障”，使学生们在“游览”和“寻觅”中逐渐由“游人”变成“导游”。

3关于中学数学建模课程的思考

从前面的分析中我们能看到，数学建模的许多问题都要求能综合应用所学的知识，分析求解过程有时费时较多。因此一些教师认为，让它进入课堂会干扰正常的教学计划和进度，即使有心尝试，也有一些顾虑。其实，从前面的例子可以看到：

(1)从教材发展的趋势看，数学建模的一部分内容会逐渐成为中学数学课程体系的一部分。国外在这方面走得较快，相应的教材已问世。从为下个世纪培养人才的目标上看，数学素养已成为公民文化素养的重要内容，有文化的公民的标志之一是能借助数学去思考、评价、判断生活中的现实问题。与之相适应，教材也必须体现这一要求，我们希望尽快看到在新的数学课程的目标设计中，能有对数学知识应用的明确要求，并将相应的内容添加到教材中去。虽然教材建设是一个周期较长的工作，但尝试不妨从现在开始。作为教学第一线的教师，可以从所教的教材入手，认真分析现行教材中的应用因素，有意识地挖掘它们，提出或构作一批哪怕很浅的应用或建模问题，把它们以不同方式安排进自己的教学过程中去。如：

(2)“化整为零”或“零存整取”。把数学建模的问题解决过程分解后放在正常教学过程的局部环节上，这也是建模教学可行的方式之一。正像前面的例子那样，教师可在课题教学或复习环节中提出问题、建立模型，而把问题的具体求解过程留给学生在课后完成，较大的或较难的问题可与假期作业或小论文的写作结合起来。

(3)充分利用数学课外活动和选修课。这是一种容易上手和控制的形式，也与我国目前数学建模教学刚起步的现实相适应，教师和学生都能从中取得经验、积累素材。现在一些省市已有了相应教材。

4数学建模教学对教师的要求

数学建模的教学不仅对刚走出校门的师范生，而且对许多已有几十年教龄的老教师都会陌生和不适应。确实，数学应用与建模的能力也是一项专门的能力，它与学习、掌握纯粹数学的能力有密切关系，但并不等价。应用的意识、技巧、方法、能力也需要有一个培养、锻炼、提高的过程，建模的教学过程也需要教师不断调整自己所扮演的角色，这无疑是对我们在教学第一线的数学教师的一种新的要求和挑战，怎样适应这种要求和挑战?

(1)应努力保持自己的“好奇心”，留心向身边各行各业的能人学习，开通自己的“问题源”、相关知识的储备库和咨询网。

(2)努力掌握计算机工具，这主要包括一门计算机高级语言和一些常用的算法，如求根、迭代、逼近、拟合、模拟等。

(3)实践是最好的学习方法，在做数学中才能学到自己不懂的数学。一方面教师最好自己做一点应用的课题，或参加专业的培训班、讨论班；一方面也可以从自己较熟悉的课题入手，直接实践、探索教与学的规律。

(4)建议师范院校增开有关数学应用和数学建模的课程，相应地，在中学数学期刊上开辟有关数学应用和数学建模的专栏，以利于教师学习、进修和提高，也为数学建模的教与学提供一块探索和交流的园地。

第五篇：中学数学教学案例研究

中学数学教学案例研究

在我们走入新课程的这段时间，我对自己过去的教学思想和行为进行了反思，用新课程的理念，对曾经被视为经验的观点和做法进行了重新审视，现将在反思中得到的体会总结出来，以求与同行共勉。

一、教学中要转换角色，改变已有的教学行为

（1）新课程要求教师由传统的知识传授者转变为学生学习的组织者。

（2）教师应成为学生学习活动的引导者。

（3）教师应从“师道尊严”的架子中走出来，成为学生学习的参与者。

二、教学中要“用活”教材

三、教学中要尊重学生已有的知识与经验

教学反思，或称为“反思性教学”，是指教师在教学实践中，批判地考察自我的主体行为表现及其行为依据，通过观察、回顾、诊断、自我监控等方式，或给予肯定、支持与强化，或给予否定、思索与修正，将“学会教学”与“学会学习”结合起来，从而努力提升教学实践的合理性，提高教学效能的过程。教学反思被认为是“教师专业发展和自我成长的核心因素”。美国学者波斯纳认为，没有反思的经验是狭隘的经验，至多只能形成肤浅的知识。只有经过反思，教师的经验方能上升到一定的高度，并对后继行为产生影响。他提出了教师成长的公式：教师的成长＝经验＋反思。那么，我们应如何在教学反思中学会教学呢？

自我提问

自我提问是指教师对自己的教学进行自我观察、自我监控、自我调节、自我评价后提出一系列的问题，以促进自身反思能力的提高。这种方法适用于教学的全过程。如设计教学方案时，可自我提问：“学生已有哪些生活经验和知识储备”，“怎样依据有关理论和学生实际设计易于为学生理解的教学方案”，“学生在接受新知识时会出现哪些情况”，“出现这些情况后如何处理”等。备课时，尽管教师会预备好各种不同的学习方案，但在实际教学中，还是会遇到一些意想不到的问题，如学生不能按计划时间回答问题，师生之间、同学之间出现争议等。这时，教师要根据学生的反馈信息，反思“为什么会出现这样的问题，我如何调整教学计划，采取怎样有效的策略与措施”，从而顺着学生的思路组织教学，确保教学过程沿着最佳的轨道运行。教学后，教师可以这样自我提问：“我的教学是有效的吗”，“教学中是否出现了令自己惊喜的亮点环节，这个亮点环节产生的原因是什么”，“哪些方面还可以进一步改进”，“我从中学会了什么”等。

行动研究

行动研究是提高教师教育教学能力的有效途径。如“合作讨论”是新课程倡导的重要的学习理念，然而，在实际教学中，我们看到的往往是一种“形式化”的讨论。“如何使讨论有序又有效地展开”即是我们应该研究的问题。问题确定以后，我们就可以围绕这一问题广泛地收集有关的文献资料，在此基础上提出假设，制定出解决这一问题的行动方案，展开研究活动，并根据研究的实际需要对研究方案作出必要的调整，最后撰写出研究报告。这样，通过一系列的行动研究，不断反思，教师的教学能力和教学水平必将有很大的提高。

教学诊断

“课堂教学是一门遗憾的艺术”，而科学、有效的教学诊断可以帮助我们减少遗憾。教师不妨从教学问题的研究入手，挖掘隐藏在其背后的教学理念方面的种种问题。教师可以通过自我反省与小组“头脑风暴”的方法，收集各种教学“病历”，然后归类分析，找出典型“病历”，并对“病理”进行分析，重点讨论影响教学有效性的各种教学观念，最后提出解决问题的对策。

交流对话

教师间充分的对话交流，无论对群体的发展还是对个体的成长都是十分有益的。如一位教师在教学“平均分”时，设计了学生熟悉的一些生活情境：分桃子、分鱼、分饼干、分苹果等。在交流对话时有的教师提出，仅仅围绕“吃”展开教学似乎有局限，事实上，在生活中我们还有很多东西要进行分配，可以适当扩展教学设计面。这样开放性的讨论能够促进教师更有效地进行反思，促进教师把实践经验上升为理论。

案例研究 从平时自测与正规考试分析，有的题型我们教师讲过，甚至几乎一模一样，但是学生仍然不会。学生存在“知其然，不知其所以然”现象。这是因为在备课时，我们往往只习惯于备教学内容，而忽视备学生。如果教师不去研究学生对所教内容的掌握情况，不去研究学生的个体差异，一切从本本出发，课堂教学的适切性就会大打折扣，课堂教学的高效更无从谈起。

案例：《二元一次方程组的应用》各环节配题。

（一）提出问题，导入新课

1、问题1 解二元一次方程组

问题2 母亲26岁结婚，第二年生个儿子，若干年后母亲的年龄是儿子年龄到3倍，此时母亲的年龄为几岁？

解法一：设经过x年后，母亲的年龄是儿子年龄的3倍。

由题意得 26+x=3x 解法二：设母亲的年龄为x岁。

由题意得 x=3（x－26）

（二）精选讲例，探求新知

例 某班有45位学生，共有班费2400元钱，准备给每位学生订一份报纸。已知《作文报》的订费为60元/年，《科学报》的订费为50元/年，则订阅两种报纸各多少人？ 巩固练习小明和小李两人进行投篮比赛，规则：小明投3分球，小李投2分球，两人共投中20次，经计算两人得分相等，问小李和小明各投中几个球。

（三）变式训练，激活学生思维

问题1 小明和小李两人进行投篮比赛，小明投3分球，小李投2分球，两人共投中100次，小明投中率为40%，小明投中率为40%，经计算两人得分相等，问小李和小明各投中几个球。

问题2 已知某电脑公司有A型、B型、C型3种型号的电脑，其价格分别为A型6000元/台、B型4000元/台、C型2500元/台，我校计划将100500元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供学校采用。小红的方案：她认为可以购进A型和B型电脑，请你判断小红提出的方案是否合理，并通过计算说明。

（四）课堂练习，巩固新知

1、A、B两地相距36千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，4小时候相遇。若6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，求甲乙两人的速度。

2、某班借来一批图书，分借给同学阅览，如果每人借6本，那么会有一个同学没书可借，如果每人借5本，那么还剩5本书没人借，问该班有多少人，有多少书。

（五）拓展

1、变题训练问题2中，若学校要购买A、B、C3种型号的电脑，有如何安排？

2、某中学新建一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进、出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同。安全检查中，对4道门进行测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生。

⑴问平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生。

⑵检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离。假设这栋大楼每间教师最多有45名学生，问建造的这4道门是否符合安全规定。

分析：

1、本课的配题注重从学生亲身经历的活动、学生熟悉的事入手选题，有开放型题、变式题，有数学思想的渗透，从易到难，由浅入深，应该说配题的设置具有一定的挑战性，能够起到激活学生思维的作用。

2、本课的教学容量太大且选题具有一定的难度，对于基础好的学生也很难能够在有限的时间内从容地、完整地完成所有的学习任务；对于基础差的学生来说，由于太多的题不会做，课堂的时间等于空耗。

3、由于时间紧，不能给学生留有充分的思考空间和时间，学生对于习题所传达的知识、方法很难理解透彻。所以常常出现习题做了很多，但是在遇见题还是有困难，习题的功能没有发挥。

修改：

1、可以结合学生的实际情况，分层次配题。对于基础差的学生习题的难度再降低一些，使他们会用二元一次方程组解决最基本的实际问题。对于基础好的学生，可以删除

（二）（四）两组题，使他们能有更多的时间去探究问题、去迎接挑战。

2、将学生分成不同的学习小组，能力强、弱搭配。在上述习题中选出部分更容易激起学生对数学的兴趣，更适合学生探究的习题，充分发挥习题的功能，使学生在主动学习、探究学习的过程中获得知识，培养能力。

对于“实际问题与二元一次方程组”，不等同于一般例题内容的教学，而是应该以探究学习的方式完成。从教材设置的“数学活动”及“拓广探索”栏目下的习题等都设置了带有探究性的问题。对于这些内容的教学，应注意鼓励学生积极探究，当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，设计必要的铺垫，适时地追问，让学生在经过自己的努力来克服困难的过程中体验如何探究，而不要替代他们思考，不要过早给出答案，应鼓励探究多种不同的分析问题和解决问题的方法，使探究过程活跃起来，在这样的氛围中可以更好地激发学生积极思维，得到更大收获。所以教学中不能盲目地扩大习题量，而是要充分发挥习题的功能，给学生留有充分的思考时间与空间，引导学生更多的参与数学活动和相互交流，在主动学习、探究学习的过程中获得知识，培养能力，使每一位学生都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。

总结记录

一节课结束或一天的教学任务完成后，我们应该静下心来细细想想：这节课总体设计是否恰当，教学环节是否合理，讲授内如一位教师在让学生进行分数应用题的综合训练时出了这样一道题：一套课桌椅的价格是48元，其容是否清晰，教学手段的运用是否充分，重点、难点是否突出；今天我有哪些行为是正确的，哪些做得还不够好，哪些地方需要调整、改进；学生的积极性是否调动起来了，学生学得是否愉快，我教得是否愉快，还有什么困惑等。把这些想清楚，作一总结，然后记录下来，这样就为今后的教学提供了可资借鉴的经验。经过长期积累，我们必将获得一笔宝贵的教学财富。

