几何直观的课程背景及实践策略探究

第一篇：几何直观的课程背景及实践策略探究

几何直观的课程背景及实践策略探究

溯源：追溯几何直观的形成历史，探讨几何直观概念内涵，并与相关概念进行对比、辨析，有助于我们更好地了解几何直观的内涵及课程背景，把握几何直观的教育教学价值。几何直观的内涵、表现形式及教育价值 东北师范大学数学与统计学院 秦德生

几何直观是《义务教育数学课程标准（2011年版）》(以下简称2011年版课标)的十个核心概念之一，也是新增加的核心词汇。几何直观在内容、意义和方法上远远超出对几何图形本身的研究范畴。正如弗莱登塔尔所说：“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”本文基于几何课程要求试图追溯几何直观的形成历史，探讨几何直观的内涵及其与相关概念之间的联系，阐释几何直观的表现形式，挖掘培养几何直观能力的教育价值。

一、几何直观形成的历史溯源

1952年，我国首次制订的中小学数学教学大纲提出，小学“算术教学应该培养和发展儿童的逻辑思维能力”，中学数学应该“发展学生生动的空间想象力，发展学生逻辑的思维力和判断力”。1963年，根据华罗庚、关肇直等专家的意见，中小学数学教学的能力培养任务修改为培养“计算能力、逻辑推理能力和空间想象力”（即传统的三大能力）。1988年，九年义务教育数学教学大纲将能力培养任务改为“培养运算能力、发展逻辑思维能力和空间观念”。2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》提出“丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维”。2003年颁布的《普通高中数学课程标准》指出：“几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学课程的基本要求。”2011年版课标把几何直观作为十个核心概念之一，并明确指出几何直观的含义，阐明其教育价值。由我国几何课程基本要求可以看出，从空间想象能力到空间观念，再到几何直观能力，几何直观的建立和发展是一个历史演变过程。

二、几何直观与相关概念辨析 1.直观与几何直观

数学家克莱因认为，“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上，数学的直观就是对概念、证明的直接把握”；西方哲学家通常认为，“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识”；心理学家认为，“直观是从感觉到的具体对象背后，发现抽象的能力”。蒋文蔚指出，几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态。徐利治先生认为，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。从数学、哲学、心理学等视角可以看出，直观一般有两种：一是透过现象看本质；二是一眼能看出不同事物之间的关联。由此可见，直观是一种感知，是形象思维和抽象思维的中介，是客观世界不同事物的居间联系环节。

2011年版课标指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”换句话说，几何直观就是借助见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。2.空间观念与几何直观

从研究对象来分析，空间观念不仅涉及“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体”，而且涉及“想象出物体的方位和相互之间的位置关系，描述图形的运动和变化，依据语言的描述画出图形等”，而几何直观是凭借图形对几乎所有的数学研究对象进行思考的能力。可见，几何直观与空间观念有重叠又各有侧重。从思维角度来看，几何直观具有思维的跳跃性，而空间观念具有思维的连贯性。从能力分析角度看，空间观念倾向于即使脱离了背景也能想象出图形的形状、关系的能力，几何直观更强调借助一定的直观背景条件进行整体把握的能力。3.几何直觉与几何直观

直观与直觉非常相似。所谓直觉，《辞海》的解释是“一般指不经过逻辑推理认识真理的能力”，而《中国大百科全书》的解释是“一种不经过分析、推理的认识过程而直接快速地进行判断的认识能力。直觉是不经过逻辑的、有意识的推理而识别或了解事物的能力”。从哲学认识论的视角看，直觉可以分为经验直觉、知性直觉和理性直觉。几何直觉无须推理就能直接对事物及其关系作出迅速的识别和理解，属于学习者对于数学对象的感性认识，有很大程度上的猜测成分和朦胧的整体把握，不仅有“经验直觉”的成分，而且有“知性直觉”和“理性直觉”的成分。几何直观是学习者建立在针对几何图形长期有效的观察和思考的基础之上，对于数学对象的几何属性（或与几何属性密切相关的一些属性）的整体把握和直接判断的能力，既有相对丰富的经验积累，也有经验基础之上的理性概括和升华，几何直观的“整体把握”往往带有明显的逻辑成分。4.空间想象能力与几何直观能力

传统的数学教学中，空间想象力指的是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象的能力。麦吉认为，空间想象力包括“在心理上操作、旋转、翻转或逆转形象刺激物的能力”。朱文芳认为“空间想象能力是完成空间认知任务的桥梁，空间思维能力起着决定性的核心作用”。心理学家通常认为，想象以表象为基本材料，但不是表象的简单再现，是指“在头脑中对已有表象进行加工、改造、重新组合形成新形象的心理过程”。因此，空间想象能力是指脱离背景也能想象出图形的形状、关系的能力。几何直观是在有背景的条件下进行，想象是没有背景的；几何中的推理证明始终在利用几何直观，再想象图形。

三、几何直观的表现形式 康德认为，直观分为经验直观和纯粹直观。孔凡哲、史宁中认为，在中小学数学中几何直观具体表现为四种形式，即实物直观、简约符号直观、图形直观和替代物直观。

笔者认为，几何直观具有创造性和工具性，其目的是利用图形描述和分析数学问题。因此，从数学功能看，几何直观可以分为实物直观演示、图形直观操作和图形直观表示。

实物直观演示是指借助与研究对象有一定关联的现实世界中的实际存在物，进行简捷、形象的思考和判断。实物直观演示既可以是实际存在物，如球体、柱体、锥体、长方形、平行四边形、梯形、圆、椭圆等；也可以借助计算机、七巧板、木棒等辅助的实物直观演示，引导学生通过观察、操作等活动，感受和探索图形的特征，积累图形与几何的活动经验，建立初步的空间观念。一旦借助实物直观演示用图形把一个问题描述清楚，就有可能使这个问题变得直观、简单。图形直观操作是指对实物的动手操作或图形运动操作进行几何直观探索。直观操作分为两类：一类是实物的动手操作，包括折纸、展开、折叠、切截、拼摆、密铺等操作活动，能帮学生积累丰富的几何事实，获得对简单几何体和平面图形的直观经验；另一类是图形的运动操作（如平移、旋转、反射等运动），如“点动成线”“线动成面”“面动成体”，半圆以直径为轴旋转可以形成球体，矩形以一边为轴旋转可以成为圆柱体，直角三角形以直角边为轴旋转可以成为锥体等。借助图形直观操作可以帮助学生发现、寻找解决问题的思路。因此，教师应该引导学生经历观察、操作等具体的感知过程，培养他们借助图形思考的能力。

图形直观表示是指借助明确的几何图形来描述和分析数学问题。图形直观表示是一种表征方式，是一种工具符号，主要分为两类：一类是“形形表示”，如借助三视图、网格、直角坐标系等图形工具探索、描述和分析几何问题；另一类“数形表示”，利用几何图形直观探索、描述和分析几何以外的其他数学领域的问题，如利用数轴研究数系、方程的根，利用直观图分析数据，构造图形研究代数式、函数，利用单位圆研究三角函数等。借助图形直观表示图形可以帮助表述一些结果，可以帮助记忆一些结果。

四、几何直观能力培养的教育价值 1.几何直观能够培养学生的创造性思维

几何通常被喻为“心智的磨刀石”，在数学研究中起着联络、理解，甚至提供方法的作用。从创造力来看，直观能引出数学发明，能决定理论的形式和研究方向；从数学证明上看，直观常常提供证明的思路和技巧，有时严格的逻辑证明无非是直观思考的严格化和数学加工。数学家总是力求把他们研究的问题变成几何直观问题，使他们成为数学发现的向导。在大多数情况下，数学的结果是“看”出来的，而不是“证”出来的。如，利用平面图形认识分数的乘法，借助韦恩图计算“重叠应用问题”等。所谓的“看”是一种直接判断，是

建立在长期有效的观察和思考的基础之上的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化。因此，在数学教学中保护学生先天的几何直观的潜质，培养和不断提高学生的几何直观水平，就成为数学教育的一个重要的价值追求。2.几何直观能够帮助学生理解数学

几何直观在数学中无处不在。数学家依赖直观推动对数学的思考，加强对数学的理解。几何直观不仅是一切几何学的基础，而且贯穿在整个数学学习过程中。正如美国数学家阿蒂亚所言：“在几何中，视觉思维占主导地位，而代数中有序思维占主导地位。所以，几何首先用到的是最直接的形象思维，用形象思维洞察。”几何直观能利用图形生动形象地描述数学问题，直观地反映分析问题的思路，是理解数学的有效渠道。例如，借助地图理解比例，利用直观图理解正方形边长和面积的关系，借助数轴认识小数的意义，借助“线路图”理解行程问题，借助网络图理解单元知识等。著名数学家拉格朗日曾经说过：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但当这两门学科结合成伴侣时，它们就相互吸收新鲜的活力，从而以快速的步伐走向完美。”因此，教师在数学教学中要挖掘教材资源，利用信息技术工具，展现丰富多彩的图形世界，设计“借助几何直观进行思考”的典型案例；要注意让学生经历动手操作、图形制作的过程，培养学生用几何直观描述、分析问题的意识，培养学生的画图能力，文字语言、符号语言和图形语言相互转化的能力，为学生使用几何直观理解数学提供保障。

3.几何直观能够培养学生科学的思维方式

数学抽象概念发展的“直观—形式—直观”模式，是一般科学概念发展的“具体—抽象—具体”模式的特殊表现形式。几何直观具有原始的创造性。数学经过形式化而趋于完美，又通过直观化而返璞归真，这正是数学发展的辩证过程。正是形式化与直观化之间的矛盾运动推动了数学的发展以及科学的发展。数学教学应该借助几何直观、几何解释启迪学生思路，利用直观背景或者几何直观帮助学生理解和接受抽象的内容和方法，为学生创造主动思考的机会。例如，借助数轴认识小数的意义，利用直观图理解异分母分数加减法先通分的必要性，能使学生借助直观图，从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程，使学生从非形式化的、算法的直觉相互作用与矛盾中形成数学观。可见，直观本身不是目的，而是手段。对于学生的数学学习而言，用图形说话、用图形描述问题、用图形讨论问题等，就是为了形成生动表象并借以形成概念、发展规律，促进抽象思维的发展。4.几何直观能够帮助学生感悟数学美

数学美，不仅美在抽象简约，也美在直观多姿，而几何直观能够充分凸显其结构美。例如，利用直观感悟圆的对称美、理解圆的基本结构和性质；利用直观了解分形几何的奇异美；利用几何直观让学生感悟、发现美，如借助正方形或三角形计算1+3+5+7+9+……，利用直观理解直柱体体积公式的统一美，感受数学的普遍联系。所以，培养学生几何直观能力，不仅能提高学生学习数学的基本素养，而且可以将几何美的直观、对称、奇异、统一等特征融入整个教学过程中，使学生在美的享受中发现知识、理解知识，在潜移默化中感受数学美。

第二篇：空间观念的形成策略和几何直观

空间观念的形成策略和几何直观、推理能力的提高策略研究与实践经验交流

小学数学新课程标准中对空间观念、几何直观、推理能力给出了如下的解释和要求。

空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。

几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。在我教学中有几点浅薄的感受：

一、多让学生主动参与动手实践获取对图形的直观认识

什么叫直观，直是直接，观是看，简单得不能再简单地说，就是直接看，只许看不许摸行吗？课堂不是参观，当然不可以。学习直观几何，就像书上所说采用学生喜爱的“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、摆一摆、量一量、画一画”等具体、实际的活动方式，引导学生通过亲自触摸、观察、测量、制作和实验，把视觉、听觉、触觉、动觉等协同起来，强有力地促进心理活动的内化，也可以说成是刺激，从而使学生掌握图形特征，形成空间观念。

在空间与图形的教学中，抽象推理、逻辑演绎、严格证明的方式要不要？必要的时候也可以适当运用，但鉴于中学生实际的思维水平及认知能力，动手操作、实践探索似乎更能适应学生“空间与图形”领域的学习。正如课程标准所言，应注重使学生通过观察、操作、推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小；应注重通过观察物体、制作模型、设计图案等活动，发展学生的空间观念。因此，在教学中，应注重使学生探索现实世界中有关空间与图形的问题：应注重使学生通过观察、操作、推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及变换„„”让学生主动参与动手实践获取对图形的最基本的直观认识。而且，“让学生在主动参与中获取对图形的认识”也是空间与图形教学的重点。因此，在实际教学中要注重从学生已有出发，以直观和动手操作为基本手段，注重引导学生把生活中对图形的感受与有关知识建立联系，在学生积极主动的参与学习中并动手实践。

二、以直观为立足点，展开想象。

几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化的思想方法，它贯穿几何教学的始终，在几何教学中占有很重要的地位。几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化，转化是解决几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何图形，从而较快地找到解决问题的突破口。我们可以将数学方法传递给学生，而数学眼光却无法传递，故应着重把握好对数学思想的教学，这样有利于学生主动探索解决问题的方法，体会解决问题的策略，提高数学的应用意识。

整个新知识的教学，教者充分尊重学生的主体地位，学生主动参与学习的全过程，采用直观感知、操作确认、思辩论证等方法认识和探索几何图形及其性质。让学生经历了“大胆想象——操作转化——验证猜想”这一过程，让学生在理解公式推导的过程中以长方形面积计算为基础，以图形间内在联系为线索，以未知向已知转化为基本方法开展学习，学会解决问题。借助于经验、观察或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力，从而建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。

三、让学生在自主构建空间观念

打个比方说，就像我们给学生一堆积木，提出目标和要求后，让学生发挥自己的能力去自由搭建。学生会搭建出复古的、传统的、时尚的、现代的，或者说是超时代的物品等。也有点像玩七巧板的意味，老师的指导只是根据老师的要求和学生的具体需要，老师要求拼数学，学生可以拼任何一个数字，当遇到困难时，老师要给予不同的指导。

建构思想不能简单的说成“以学促教”，在自主建构的教学活动中，教师的活动更倾向于“助学、导学”的学习管理。相比较而言，传统教学也好，新课程理念也好，甚至于“自主建构”，说得通俗明白一点，就是课堂教学中老师和学生，“教”和“学”在份量、时间、空间上多少的转变过程。

另外，物有本未，事有终始，自主建构要想达到教育的本源，达到教育的理想境地，使学生真正成为学习的主人，教师真正成为有一定学习管理权的服务者，尚需时日。作为老师，时不我待。

四、注重了师生互动、生生互动

新课程标准提倡学生的自主学习，在课堂教学中主张以学生为主体，注重师生互动和生生互动。师生应该互有问答，学生与学生之间要互有问答。在课堂中，我始终面向全体学生，以学生为主体，教师为主导，通过教学中师生之间、同学之间的互动关系，产生教与学之间的共鸣。

第三篇：几何直观：小学数学教学的视角探究

几何直观小学数学教学的视角探究

几何直观不断加强是几何课程未来发展的趋势与方向，从小学数学的教学角度来说，可以更加宽泛地对几何直观中的图形进行理解，这对数学关系的变现有不可替代的重要作用。从小学数学教学的角度对几何直观进行探究，这对我国教育教学事业的发展有极其重要的作用与意义。

一、几何直观的含义与概念

义务教学数学课程标准对几何直观及其含义做出明确界定，在实际对图形进行描述与分析的过程中对图形进行利用就是指几何直观，在实际对几何直观利用的同时可促使复杂的数学问题实现向简明形象的转化。这对解决问题思路的探索有极大的促进作用，在整个数学学习过程中发挥着不可替代的重要作用。

1.几何直观基于“图形与几何”而又超越“图形与几何”

几何直观可以说是新课程标准的核心概念，针对某一课程来说是一种核心价值。几何内容具有较高的教育价值，不仅可对学生的逻辑推理能力进行培养，同时也可促使学生的直观思考能力得到大幅度提升。

在实际对图形与几何进行学学时需要在对实物或者图形观察的基础上促使思考以及想象表象的形成，几何的直观因素都是在上述过程中被涵盖。数与形是多数数学概念的方面特征，只有从上述两个方面对其进行掌握才能在真正意义上实现对数学知识本质的了解。利用图形思考以及想象问题可以说是数学学习的基本能力。因此在实际对数学进行学习时需要对学生的几何直观能力进行重点培养。

2.更加宽泛的对图形进行理解

利用图形对数学进行思考可以说是几何直观的实质，因此在实际对图形进行理解时可从更加宽泛的范围进行。在利于思考和理解的基础上可不受几何图形的限制。在实际对问题进行解决时可利用倒推策略，在表达时需要将数量变化的过程作为主要依据，在此基础上对其进行倒推。

在教学达到一定基础与阶段的同时，学生可通过想象对图形进行思考，学生在对图形进行比划也是一种辅助手段。因此不能为了直观而进行直观，这对几何直观来说有一种反作用。只要学生可对顺畅思考这一要求进行满足，就可不必强制性的要求学生对图形进行刻画。

二、对几何直观的应用

1.在主动尝试中对几何直观价值进行感受

超越知识的技能层面可对核心概念进行直观体现，数学的意识、感受以及能力也是在这一过程中得到培养。所以说几何显性与知识点之间存在一定的联系，但呈现出一定的不显性。几何直观在义务教育范围内时间较短，这也是导致义务教育阶段几何直观设置呈现出层次不丰富现象的主要原因。

教师在实际开展教育教学的过程中应该鼓励学生在解决与分析问题时应该对图形进行利用，并且利用图示对数学经验进行积累与学习。在对几何直观进行积极尝试的基础上对几何的直观价值进行主动感受。在经历几何直观的过程中学生主要作为参与者存在，几何直观的价值与意义可在这一过程中得到最大限度的发挥。

2.显性学习和氛围感受相结合

要达成“感受几何直观价值”的教学目标，总得依托一定的内容载体。这样的载体，可以有两条途径，一是有计划有目的的显性学习，二是让学生在良好的课程氛围中感受。几何直观包含画图策略与技能的一面，所以，几何直观的课程实施应该可以设立一个明线脉络。其一，在低年级可以实施“实物图―示意图（直条图）―线段图”的过渡递进，不少教师已经具有很好的经验。实物图的图示过程就是描绘的过程，包含了太多的直观成分，孩子还没有学会只保留思考对象的量方面的属性。这个过程虽然不是我们教学要追求的，但确实是小学生真实的几何直观的起点阶段。

3.处理好几何直观过程与几何直观结果间的关系

几何直观，既是个体具有的相关技能与能力，表现出结果属性，也是利用图形描述问题、思考问题的过程，表现出过程属性。比起几何直观的结果来，我们更要重视几何直观的过程。其缘故在于其一，对于学习目标来说，“感受”本身就是描述过程目标的行为动词；其二，对于学习者来说，几何图形并不必然具有直观意义。如果学生不把握几何图形本身的特征，不领悟图形本身具有的数学模型意义的话，图形就不具有让数学思考变得有形可视的直观作用。

随着学习的推进，学生对图形性质的认识层次提高了，对其他知识理性认识的层次提高了，都应该在相应的层次上接触和体会更为简练与精准的几何直观方式。比如从示意图到线段图（一个单位的线段可以表示任意数量），从线段图表示数量关系到用面积图表示数量关系，从线段图到韦恩图，等等。

几何的方式方法渗透在数学的各个方面，因此，教师要具有较好的几何直观课程意识，在其他知识的学习过程中，在各种教学细节的处理中，善于挖掘和捕捉几何直观的资源。可以这样说，几何直观的有效培养，离不开长期一以贯之自然贴切的渗透。

第四篇：关于几何直观的思考

关于几何直观的思考

作者：秦德生，„ 文章来源：《中学数学教学参考》2005年第10期 [摘要] 随着数学课程标准提出培养和发展学生的几何直观能力，几何直观已经成为数学教育中的一个关注问题。本文从几何课程基本要求的演变出发，探讨几何直观的概念以及与相关概念的辨析，追溯几何直观的哲学基础，提倡“直观型”的课程设计，挖掘几何直观能力培养的教育价值。

[关键词] 几何直观；课程标准；哲学基础；教育价值

当前，数学教育界都在关注数学课程标准[1][2]的制订与实施，关注数学课程改革，而几何直观是数学中生动的、不断增长的而且迷人的课题，在内容上、意义上和方法上远远超出对几何图形本身的研究意义。正如弗莱登塔尔所说，“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”这也与康德的“缺乏概念的直观是空虚的，缺乏直观的概念是盲目的”观念是相同的。随着《普通高中数学课程标准》[2]提出培养和发展学生的几何直观能力，几何直观成为数学教育中的一个关注问题；经过适当的发展，相信对几何直观的研究能够成为数学教育的核心问题。

在此，笔者试图从几何课程基本要求的演变出发，探讨几何直观的概念以及与相关概念辨析，追溯几何直观的哲学基础，挖掘几何直观能力培养的教育价值。现将自己的一些想法就正于各位同行专家．

1．我国对几何课程基本要求的演变

我国解放后首次制定(1952年)的中小学数学教学大纲中提出，小学“算术教学应该培养和发展儿童的逻辑思维”，中学数学应“发展学生生动的空间想像力,发展学生逻辑的思维力和判断力”[3]。以后的中小学数学教学在能力培养方面的要求一直是“通过数学教学，发展学生的逻辑思维和空间想像力”。1963年根据华罗庚、关肇直等专家的意见，中小学数学教学的能力培养任务修改为“计算能力、逻辑推理能力和空间想像力”(传统的三大能力)。1978年的中小学数学教学大纲中，又增加了“培养学生分析问题和解决问题的能力”。1988年的九年义务教育数学教学大纲中，能力培养任务改为“培养运算能力，发展逻辑思维能力和空间观念”,这种要求一直持续至今。《义务教育阶段国家数学课程标准》

(征求意见稿，2000年)在发展性领域中，明确提出能力培养任务是思维能力的培养，“应使学生在定量思维、空间观念、合情推理的演绎论证等方面获得发展”。2000年3月颁布的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用修订版)》中指出，要“培养初步的思维能力和空间观念”。

2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》[1]提出“丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维”[1]．2003年颁布的《普通高中数学课程标准》[2]指出：“几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力，是高中阶段数学课程的基本要求。”[2] 从我国几何课程基本要求的演变来看，从空间想象能力到空间观念，再到几何直观能力，对几何教学的要求不尽相同，那么，什么是几何直观，它与直觉、空间观念、空间想像能力等名词之间有联系或者区别么？我们来进一步探讨。

2．几何直观概念的内涵及典型观点辨析 2.1 什么是直观

数学家克莱因认为，“数学的直观就是对概念、证明的直接把握”[4]；而西方哲学家通常认为“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识”；心理学家则认为“直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力”。

蒋文蔚指出，几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态[5]。

徐利治先生提出，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知[6]。换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。

他们从数学、哲学、心理学等角度给直观包括几何直观下了定义，但我们认为直观一般有两种：一是透过现象看本质；二是一眼能看出不同事物之间的关联，2

可见，直观是一种感知，一种有洞察力的定势。

2.2 直观与直觉

直观与知觉在英文中都是单词Intuition，但二者并不是完全相同，直觉不等于直观。

从研究对象来看直觉的对象不一定是可视的对象，直观的对象一定是可视的。从过程来看，直观与个人的经验、经历有关，直观有层次性，直观是从一个层次看到更深刻的层次或本质；在同一个层次不是直观而是直觉，直觉是有原因与结果的关联，是一个平面上的，属于同一个层次。从功能来看，直观是用来发现定理的，而直觉用来证明定理的。

2.3 直观与想象

传统的数学教学中,空间想像力“指的是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象的能力。麦吉(Megee,1979)认为，空间想像力包括“在心理上操作、旋转、翻转或逆转形象刺激物的能力”，朱文芳认为“空间想像能力是完成空间认知任务的桥梁,空间思维能力起着决定性的核心作用”[7]。心理学家通常认为,想像(imagination)以表象为基本材料,但不是表象的简单再现，是指“在头脑中对已有表象进行加工、改造、重新组合形成新形象的心理过程”。

我们认为，空间想象能力是指脱离背景也能想象出图形的形状、关系的能力。直观是在有背景的条件下进行，想象是没有背景的；几何中的推理证明始终在利用几何直观，在想象图形。

所以，我们建议：普通高中数学课程标准中对几何目标的叙述修改为“培养和发展学生的几何直观能力和借助几何直观进行推理论证的能力，从而培养运用图形语言进行交流的能力以及空间想象能力，是高中阶段数学课程的基本要求。”这样叙述应该更恰当和准确。

3．几何直观的哲学分析 3.1 直观主义

直观化，本来是数学基础中的直观主义流派，出于数学概念和方法的“可信性”考虑而提出的基本主张，其中心内容是“存在必须是被构造”。可见数学中的直观主义就是哲学中的康德主义，主张数学的概念由人类理性构造而成。数学对象的构造就是人们先验地在直观中画出与概念相应的图形，所以构造数学对象 3

需要非经验的直观。人们在这种纯粹直观中构造出一个具体的图形，这一图形能够代表所有与某概念相应的图形，这说明人们在纯直观中构造的图形具有与概念相同的普遍意义，因此在几何直观中构造出了具体的图形就是构造出了相应的概念与数学实体。

笛卡儿认为，直观是纯粹理性的，但作为理性的东西并不能完全摆脱或无视某些经验，可见这二者是矛盾的，直观的确定性与与非逻辑性相矛盾，直观不能保证普遍原理的确定性，直观具有发现真理功能，但不能兼备证明真理、确保真理可靠性的功能。

3.2 几何直观的历史性

毕达哥拉斯时代,人们的数学直观里浸透了整数是万物本质的哲理；非欧几何产生以前,人类的数学直观里有着欧氏公理是先验不变的真理的观念；非标准分析又使一度失去了对无穷小的直观在更抽象的层次上恢复；而今计算机造成的外移动的超立体的图象,又对我们关于高维空间的抽象直观充实了具体感性。所以数学直观是历史概念，数学直观在每个历史时期,其抽象性和直观性都具有不同的内涵。

数学中的抽象性带有理论和哲学色彩，几何直观带有经验、思想和感情因素。复数的引入，是因逻辑上的需要而直接引进的“理想元素”，被赋予某种实际意义后，以几何直观解释为中介，同现实世界建立了间接联系，从而提高了它的可信性。复数，在它被引入后的最初两个半世纪中一直“给人虚无缥缈的感觉”，直至维塞尔、高斯等人相继对它作出了几何解释与代数解释，把它与平面向量a+bi或数偶 对应，才“帮助人们直观地理解它的真实意义”，并取得了实际应用．所以，它不仅被数学理论所决定，并随着数学理论的发展而发展，而且它也避免不了当时人类整个文化情境对个人心理上的影响。直观是随着人类理性的进步而进步的。换言之,几何直观的建立和发展是一个历史过程。它并不是一个从古到今就一直存在着的永恒的人类用来认识数学现象的中性框架，几何直观是一种进化的产物，可以进行更高层次的创造性活动。因此一个人在不同年龄阶段所表现出的数学直观能力可以看作是整个人类在这方面历史发展过程的缩影。

3.3 直观与形式的统一

数学作为一门精确科学，其研究活动必须以量和质、形式和内容的分离为前 4

提，把前者从自然界的普遍联系中抽取出来，加以抽象，在不断形式化的过程中实现它的精确性，这个过程就是数学化，换言之，就是数学抽象发展与现实世界的紧密结合，它既可以描述具体问题的数学模型，也可以反映各种层次的数学概念或规律的更高层次抽象．数学抽象概念发展的“直观——形式——直观”模式，是一般科学概念发展的“具体——抽象——具体”模式的特殊表现形式，它深刻地反映了数学活动的基本矛盾，数学通过形式化而实现精确性，又因为形式化而减弱客观性，直观化具有原始的创造性，它的历史性决定不允许完全客观的有理化．

直观与形式之间矛盾的解决，只有在形式化和直观化的矛盾运动中才可能实现，正是二者之间的矛盾推动了数学的发展以及科学的发展。从创造力来看，直观能引出数学的发明,直观能决定理论的形式和研究方向；从在数学证明上看,直观常常提供证明的思路和技巧,有时严格的逻辑证明无非是直观思考的严格化和数学加工。数学直观的世界与因果感觉的世界是对立的，数学思维不能完全形式化，数学思想是独立于语言的形式之外，但数学又必须通过形式来表达，使其严格化。因此，数学经过形式化而趋于完美，又通过直观化而返朴归真，这正是数学发展的辩证过程。

4．几何直观的课程设计

课程设计已经走向多流派、多元化。而强调知识之间有机地融合、依赖几何直观的“直观型”课程成为数学课程设计的主流之一。我国新课程已经把几何直观看作是贯穿高中数学课程的线索之一。从函数的图象教学、三角函数的单位圆、到导数的图象判断；从不等式的直观解释到线性规划的区域刻画，此外，还有数系扩充中复数、概率统计中的直观图以及向量的使用等等。几何课程设计更离不开几何直观。可见，几何直观是高中数学教学中必不可少的有效工具。因此，要充分利用几何直观来揭示研究对象的性质和关系，使学生认识几何直观在数学学习中的意义和作用，同时也学会数学的一种思考方式和学习方式。

当然，我们也要注意不能用几何直观来代替证明、注意几何直观带来的认识上的片面性。例如，对指数函数 与直线 的关系的认识，因为教材中通常都是以2或10为底来给出指数函数的图形，在这两种情况下，指数函数 的图形都在直线 的上方，于是，便认为指数函数 的图形都在直线 的上方。教学中应避免这 5

种因特殊赋值和特殊位置的几何直观得到的结果所带来的对有关概念和结论本质认识的片面性和错误判断。[2] 5．几何直观能力培养的教育价值

几何通常被喻为“心智的磨刀石”，几何在数学研究中起着其实、联络、理解、甚至提供方法的作用，而几何直观具有发现功能，同时也是理解数学的有效渠道。数学家依赖直观来推动对数学的思考，数学教育家们依赖直观来加强对数学的理解。直观推动了数学和科学的发展。而数学概念经过多级抽象充分形式化后，有必要以相对直观可信的数学对象为基础进行理性重建，从而达到思维直观化的理想目标和可应用性要求,这要求数学的直观与形式的统一，才使得数学的完美。

首先，几何直观是一种创造性思维，是一种很重要的科学研究方式，在科学发现过程中起到不可磨灭的作用。对于数学中的很多问题，灵感往往来自于几何直观。数学家总是力求把他们研究的问题尽量变成可借用的几何直观问题，使他们成为数学发现的向导，随着现代科技的发展，几何直观在计算机图形学、图象处理、图象控制等领域都有诱人的前景。

其次，几何直观是认识论问题，是认识的基础, 有助于学生对数学的理解。借助于几何直观、几何解释，能启迪思路,可以帮助我们理解和接受抽象的内容和方法，抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个自己主动思考的机会，揭示经验的策略，创设不同的数学情景，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程；使学生从非形式化的、算法的、直觉相互作用与矛盾中形成数学观。

最后，几何直观是揭示现代数学本质的有力工具，有助于形成科学正确的世界观和方法论。借助几何直观，揭示研究对象的性质和关系，使思维很容易转向更高级更抽象的空间形式，使学生体验数学创造性工作历程，能够开发学生的创造激情，形成良好的思维品质。

几何直观已经成为数学界和数学教育界关注的问题，那么如何培养学生的几何直观能力、如何更好地发挥几何直观性的教学价值，是每个数学教育工作者都应该深思的问题。

[参考文献] [1]中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M]，北京师范大学出版社，2001.[2]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验稿）[M]，人民教育出版社，2003.[3]建国以来中小学《数学教学大纲汇编(1949—1985)》[M],国家教委编印,1986.[4]M.克莱因.古今数学思想[M]，第四册.上海：上海科技出版社，1979.[5]蒋文蔚.几何直观思维在科学研究及数学教学研究中的作用[J]，数学教育学报.1997(4)[6]徐利治.谈谈我的一些数学治学经验[J],数学通报，2000(5)[7]朱文芳.关于义务教育阶段对空间能力培养的思考[J],课程·教材·教法.2001(3)[8]数学课程标准研制组，普通高中数学课程标准（实验稿）解读[M].江苏教育出版社，2004.[9]史宁中.关于数学的反思[J],东北师大学报(哲学社会科学版), 1997(2)[10]M.阿蒂亚.数学的统一性[M].南京：江苏教育出版社，1995.

第五篇：浅议小学数学低年级直观几何教学的若干策略

浅议小学数学低年级直观几何教学的若干策略

上海市三新学校 侯琦

【摘要】

“图形与几何”学习领域是小学数学基本教学内容的重要组成部分。培养学生的空间观念、几何直观和推理能力是该领域的重要目标。《国家中小学数学课程标准（2011年版）》首次提出在义务教育阶段应当注重培养学生的几何直观，凸显了几何直观在学生数学学习过程中的地位和作用，彰显了几何直观的教学价值。对于刚接触图形与几何的低年级学生来说，直观几何的教学对其空间观念的发展和几何直观能力的培养起着重要作用。在课堂教学中，教师应通过有效的教学手段和活动来实现低年级直观几何教学的目标，为后续的学习奠定基础。

【关键词】低年级 直观几何 空间观念 策略。

《国家中小学数学课程标准（2011年版》提出：“几何直观是指利用图形描述几何或者其他数学问题、探索解决问题的思路、预测结果。在许多情况下，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习中都发挥着重要作用。”课程标准首次提出在义务教育阶段应当注重培养学生的几何直观，凸显了几何直观在学生数学学习过程中的地位和作用，彰显了几何直观的教学价值。既然几何直观作用如此之大，那么对于刚接触几何的孩子来说，怎样才能培养和发展几何直观呢？

新课标中对于第一学段“数学思考”的目标要求是：发展空间观念。空间观念是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；能够想象出空间物体的方位和相互之间的位置关系；依据语言描述画出图形。

几何直观能力的形成和空间观念的发展有密切的关系，空间观念的发展也是低年级几何直观的重要教学价值之一。那么如何通过有效的教学手段和学生的活动来实现这些目标呢？基于新课程标准，结合自身的教学实践，我从以下几个方面来谈谈自己的做法：

一、利用感性经验，丰富学生对空间观念的认识。

《国家中小学数学课程标准（2011年版）》对第一学段要求“能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体“。我们的学生在小时候就开始接触各种形状的物体，他们具有较多的关于形状感知方面的早期经验，这些现实生活中丰富的原型是发 展学生空间观念的宝贵资源。作为教师，应该看到这一资源，并在教学中合理地使用，重视挖掘利于教学实施的潜在经验基础。

例如在学习《物体的形状》和《物体的表面》这两个内容时，就可以利用学生的已有生活经验。日常生活中孩子们玩的积木中有许多正方体、长方体和圆柱体；他们见到的楼房、砖头、纸盒、书等更是给了他们长方体、正方体的形象；他们从小玩的皮球给了他们球的直观形象。通过观察这些实物，学生对物体的形状有了直观的认识，使学生能够在抽象的物体形状概念与具体的物质实体之间建立有意义的联系。又如，在学习周长这个内容时，教师安排了一项课前活动：绕着操场跑一圈，使学生在感性认识和体验后引出“周长”的概念。这是一个使学生的思维经历从具象到抽象的提升过程，也是低年级学生认识物体形状的最重要的价值所在。

方向的认识既是人们日常生活的重要经验和常识，也是今后进一步学习图形与位置的基础，对发展空间观念起着重要作用。在教学《东南西北》一课时，学生在日常生活中虽然积累了一些辨别方向的经验和策略，但这些经验和策略往往是零散模糊的，于是在上课前我就布置学生观察早上的太阳在学校的哪个方位升起？在上课时首先提问学生观察的结果，然后让学生用小手指一指，并且让学生说出太阳升起的方向有什么物体，以此来确定东方在教室的哪一边，之后学生闭上眼睛想一想前边与后边分别是什么方向，左边与右边又是什么方向？学生结合生活经验，经过独立思考，多数学生辨认出了四个方向，这时我又让四个同学进行演示，四位同学站成十字形，向东的同学身上带“东”字，其他同学观察，得到“东与西相对，南与北相对”。通过这些活动，学生获得了一定的感性认识，培养了他们位置、方向的空间观念。

低年级学生的思维以直观形象为主，他们对图形的认识在很大程度上依赖于对丰富的实物原型的直觉观察。因此在直观几何的教学中，教师应遵循儿童认识事物的规律，结合学生的生活实际，组织学生通过对现实空间中实物的形状、大小及其所处方位的感知，积累丰富的几何事实，以帮助学生理解现实的三维世界，形成初步的空间观念，激发学生学习几何知识的兴趣。

二、引导自主探索，加深学生对空间观念的体验。

直观几何是一种经验几何或实验几何，是可看、可感、可操作的。因此，学生获得几何知识并形成空间观念，更多的是借助他们的自主探索。特别是对于低年级学生的实际思维水平及认知能力，观察比较、动手操作、实践探索更能适应学生“图形与几何”领域的学习。正如《国家中小学数学课程标准（2011年版）》也较多地使用“通过观察、操作，认识„„”等表述，现行教材根据课程标准精神和学生的认知特点，设计了大量的观察、操作、思考等数学活动材料，为学生提供充分动手操作的课程资源，让学生通过观察、实践加深对几何形体特征的认识和理解，积累数学活动经验，发展空间观念。

第一，通过观察比较，发现几何特征。

观察是学生获得空间和图形知识的主要途径之一，全方位、多角度的观察是促使学生建立和发展“空间观念”的主要途径之一。例如，在《从不同方向观察物体》这一课上教师设计了两个探究活动：各人眼中的杯子和各人眼中的积木图。通过探究一中的看一看、画一画、想一想和探究二中的猜一猜、连一连、闯一闯，让学生充分体验观察物体的过程。而在具体的观察过程中，通过本位观察、换位观察与全面观察三个活动环节，体现了一个从静态到动态、从片面到全面的观察方法，培养了学生初步的空间观念，并发展他们的空间想象能力和观察能力。又如：在《锐角三角形、直角三角形、钝角三角形》这一课的教学中，教师准备了6个三角形，让学生先观察每个三角形各个角的特点，分别有几个锐角、几个直角以及几个钝角填入表格中，再进行对比，从而归纳出三类三角形。通过这种不完全归纳法，学生能抓住三类三角形的本质区别，在头脑中有了比较清晰的轮廓，在比较中有助于发现各几何图形的特征。

在几何教学的课堂上，学生获取知识的重要手段就是观察，而观察中的交流则是帮助学生从感性的直观认识发展到初步的理性认识的重要途径。这里的交流方式有很多种，包括师生交流、生生交流、还有师班交流等多种方式，每种方式都有其适合使用的时候。我在教学“物体的形状”中认识长方体时，先让学生拿出准备好的长方体实物，小组合作，摸一摸，看一看，比一比，小组交流说说这些物体的相同之处。这一步的小组交流是让孩子们将图形基本特征的模糊认识口头与同伴叙述，并在叙述交流的过程中，碰撞出思维的火花，开始形成对图形基本特征的一些理性认识。学生小组讨论结束后，我采用了师生交流的方式，即老师与若干学生一对一的交流，其他学生则在一旁聆听，在这次交流活动中，我开始引导学生初步建立图形的基本特征。在得出图形的所有特征后，我采用了师班交流的方式，引导学生集体说出图形的基本特征，并且逐个板书，既对图形的特征进行了总结，又进一步加深了学生对于长方体的认识。

第二，通过动手操作，提升学生对空间观念的理解。

空间观念的形成，光靠观察其实还是不够的，老师还必须引导学生进行动手操作，让他们在体验中感受、理解。例如：在《物体的形状》中，借助学生已有的生活经验，动口、动眼、动手，初步感知和体会长方形、正方形、三角形、圆，形成一定的表象。通过各种方法，让学生在课堂上活跃起来。如：让学生从“体”上找“面”，并把画下来，剪下来，让他们在这一活动中，充分感知到“长方形、正方形、圆、三角形”的特征。学生始终处于高度兴奋状态，争着回答这些图形的特征。又如：《长方体与正方体的初步认识》这一课中，组织学生摸一摸物体有多少个面，多少条棱，多少个顶点，每个面都是什么形状，折一折，看一看长方体和正方体的表面是什么样的，量一量每条边有多长等，通过多种活动充分调动学生的视觉、触觉、听觉等多种感官，形成了一个清晰的感知，提升学生对空间观念的理解。

第三，通过问题解决，实现学生对空间观念的应用。

发展空间观念不能靠纸上谈兵，必须以学生自己的空间感觉和体验为基础。此外，通过解决实际问题可以加深学生对几何体的感知，发展空间观念。如待学生学习了面积和面积单位这部分内容后，针对学生对面积单位认识不够的情况，我设置了一节练习课，设计了“想一想、填一填”“剪一剪、算一算”、“动手围一围”的活动，使学生进一步理解面积单位的意义。

学生的空间观念具有较强的抽象性。由于低年级的学生年龄小，抽象思维能力很差，且空间观念并不是一朝一夕就可以形成的，这就要求我们教师在实际教学中充分调动学生的各种感官，根据具体的教学目标，营造轻松的学习氛围，给予充分的时空，采用更有效的措施，引导学生观察、操作，通过自主探索，空间观念在头脑中的形成才是丰满的，也只有经历这样一个过程，学生的知识建构才能从“经历”走向“经验”，由感性的理解上升到理性的高度，最终发展学生的空间观念。

三、尝试几何推理，实现学生对空间观念的发展。

直观与推理是“图形与几何”学习中的两个重要方面。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，对于空间观念的发展也有一定的促进作用。低年级图形与几何部分，几何推理在教学中主要体现在以下几个活动中：

第一，在观察中思考。例如：认识三角形，可以出示形状不同的（直角三角形、锐角三角形、钝角三角形）大小不同的、方位不同的甚至颜色和用料不同的各种三角形，然后学生在观察中悟出：像这样的三条边围成的封闭图形叫三角形，与其他的因素都没有关系。在促使学生“空间观念”形成的过程中，要注意给学生思考的空间。如在观察茶壶的活动中，引导学生进行比较深入的思考，例如:为什么同组同学观察同一物体，会看到不一样的结果？为什么改变位置后，物体的形状不一样了？通过这些问题，让孩 子进行比较本质的探讨，总结出较为科学的结论。

第二，在对比中判断。这种方式可以帮助学生从相似的图形中精确的辨别出图形的本质，印象更加清晰。例如：在教学三角形和四边形时就可以出示这样的图形来对比判断，最后总结出三角形和四边形的概念和特征。

第三，在想象中推理。有时多为学生创造想象的时间和空间，可能会有意想不到的效果。例如在教学《观察物体》时，让学生在小组内观察茶壶，又让学生猜一猜小组内其他同学看到的茶壶是什么样的。并且在想象完后，走到该同学的位置观察一下，在这个活动学生的想象能力得到了培养。再如学习“面积单位”，在认识1平方分米时，可以引导学生通过“看书自学---观察教具---动手裁剪---闭眼想象”来建立1平方分米的表象。在这样设置的情境中，学生利用空间想象进行几何推理，发展空间观念。

第四，在活动中思考。在教授《左与右》这堂课时，老师很好地组织学生进行模拟活动，如：照镜子、握握手等，真正体会左右的相对性。又如，教学《七巧板》活动课时，老师先请学生选择七巧板中的两块，拼成一个正方形，引导学生观察、发现：用两块完全一样的三角形能拼成一个正方形，而且要把三角形中同样长的两条边（最长边）拼在一起。再让学生思考：用两块完全一样的三角形，还能拼成什么图形？学生通过自主操作，找到了一种或几种答案，再组织学生进行合作交流，分享同伴的想法，互相学习、启发。最后老师趁热打铁地追问：“你能有次序地一下子拼出正方形、三角形和平行四边形吗？与你的小伙伴一起，想想有什么好办法？”学生们立刻行动起来，在尝试操作、小组讨论中，他们发现，只要按住1个三角形，让另一个三角形移动（平移或旋转）就行了。在合作交流中，学生真正加深了对图形变换的理解，学会了有序思考的方法，学生的空间观念也自然得到了进一步发展。

综上所述，空间观念的发展对于几何直观的发展具有重要的促进作用，并构成几何直观形成的重要基础，而几何直观的发展对于空间观念具有重要的强化作用。作为几何学习的重要目的，无论是几何直观，还是空间观念，都应深深融入几何学习的活动中，而这些学习与学生亲身参与的几何活动交织在一起。将观察、操作、想象、推理、表达进行有机的结合，有助于发展学生的空间观念，进而培养几何直观能力。这样的过程对低年级图形与几何的教学有重要作用，也为后续的学习奠定了基础。参考文献：

【1】中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）【M】.北京：北京师范大学出版社，2012。

【2】吴正宪、王彦伟.图形与几何若干内容分析[J].小学数学教育，2012，（7—8）。