培养几何直观能力的教学思考

第一篇：培养几何直观能力的教学思考

《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》提出：在“图形与几何”的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。几何直观主要是指利用图形描述和分析数学问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。《普通高中数学课程标准》也提出要培养和发展学生的几何直观能力以及借助几何直观进行推理论证的能力。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，而且贯穿在整个数学学习过程中。在小学数学教学中，教师应该选择适当的教学内容，培养学生几何直观的能力。

一、对几何直观的本质把握

数学家克莱因认为：“数学的直观是对概念、证明的直接把握”。蒋文蔚先生指出，几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态。（《数学教育学报》，1997年第4期）徐利治先生提出，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。

这些数学家对直观包括几何直观下了定义。综合这些定义，我们认为

一是透过现象看本质；二是一眼能看出不同事物之间的关联。直观是一种感知，一种有洞察力的定势。几何直观是利用图形洞察问题本质的一种方式，既有形象思维的特点，又有抽象思维的特点。

二、培养几何直观能力的教学方法

在小学数学中培养学生的几何直观能力，要先从直观教学开始，引导学生学会用画图的策略分析题意，解决简单的实际问题，逐步上升到能将直观图与数学语言、符号语言进行合情转换，并逐步在解决数学问题的过程中渗透数形结合思想，感悟数与形、形与数之间的转化。

1．重视直观感知，突出画图策略的教学。

苏教版四年级（下册）《解决问题的策略》主要教学用画直观示意图的方法解决有关面积计算的实际问题。在教学面积计算的问题时，关键要使学生想到画图、正确画图、用图分析和体验画图解决问题的好处。首先可以向学生呈现纯文字的例题，面对比较复杂的数学问题，引导学生想到用画图的方法整理条件和问题。接着鼓励学生尝试画草图，让学生的思维集中于用画图来表达题意，并通过师生交流，进一步完善画出的示意图，使学生感受到画图能清楚地理解题意。然后借助示意图分析数量关系，明确先求什么，再求什么，列式解答后，要

再结合算式和图说说解题思路。最后反思整个解题的过程，突出示意图对解决这个数学问题的重要作用，感受画图策略的价值。“试一试”和“想想做做”的题目与例题相比有一定变化，解决这些问题后，要引导学生思考：“不画图能准确解决这些问题吗？画图时要注意什么？”加深学生对应用画图策略价值的直观体验。

第二篇：如何培养学生的几何直观能力

在数学教学中如何培养学生的几何直观能力

如何培养学生的几何直观能力？要遵循学生的认知规律，了解学生的知识结构，依据学生的年龄特点，遵循知识的循序渐进。应注重使学生通过观察、操作、推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小；应注重通过观察物体、制作模型、设计图案等活动，发展学生的空间观念。

我们的教学要立足教材，领着学生从教材中走出来。教材承载着提升学生空间观念的点滴作用，一点一滴虽然微小，但能小中见大、滴水穿石。

一、遵循“渗透——推导——验证——应用”的教学过程。

二、重视学生动手操作实践，发展学生数学思维。数学教学的核心是促进学生思维的发展。教学中，通过学生学习数学知识，全面通过几何直观的数学思维过程，启迪和发展学生思维，将知识发生、发展过程与学生学习知识的心理活动统一起来。课堂教学中充分有效地进行思维训练，是数学教学的核心，它不仅符合素质教育的要求，也符合知识的形成与发展以及人的认知过程，体现了数学教育的实质性价值。

三、注重师生互动、生生互动 新课程标准提倡学生的自主学习，在课堂教学中主张以学生为主体，注重师生互动和生生互动。师生应该互有问答，学生与学生之间要互有问答。要始终面向全体学生，以学生为主体，教师为主导，通过教学中师生之间、同学之间的互动关系，产生教与学之间的共鸣。

借助于几何直观、几何解释，能启迪思路，可以帮助我们理解和接受抽象的内容和方法；抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个自己主动思考的机会；揭示经验的策略，创设不同的数学情景，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程，提高学生的数学思维能力。直观常常提供证明的思路和技巧,有时严格的逻辑证明无非是直观思考的严格化和数学加工。几何直观是认识的基础, 有助于学生对数学的理解。几何直观已经成为数学界和数学教育界关注的问题，如何培养学生的几何直观能力，还有待于我们进一步去研究。只要我们做个有心人，帮助学生建立起实物与概念间的联系，化抽象为具体，就可以促使学生更好地理解数学概念的本质，也能够提高学生学习的兴趣。

第三篇：培养几何直观能力 让数1

培养几何直观能力 让数学“活”起来

高安市第三小学：刘永维

当我翻开《数学新课标》，就被一个全新教学理念深深地吸引，那就是—— 几何直观。书中是这样说的：“几何直观是指利用图形描述几何或者其他数学问题、探索解决问题的思路、预测结果。简单的说——就是用图形说话，用图形描述问题，用图形讨论问题，这是一种基本的数学素质。”读到这时我终于茅塞顿开，因为在自己还是学生的时候就是用这种方法学习数学的，既简单又有趣，只是不知道怎么用文字来表达。现在自己已经是教了三年的数学老师，也可以说一直在尝试如何提高小学生的几何直观能力，因为它反映了一个学生能否把他的理解用一种适当的方式表达出来，能否用图形的方式来理解一个比较复杂的问题。几何直为观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，而且贯穿在整个数学学习过程中。几何直观能力可以说是学生学习数学的金钥匙，所以教师应十分重视学生几何直观能力的培养，下面我就从自己的教学实中践中谈谈培养学生几何直观能力的方法。

一．注重直观感知。数学中有很多推理的过程，需要学生自己凭借生活经验，采用有效的数学手段去解决。这里，几何直观就扮演着至关重要的角色。学生要是能善于运用几何直观，很多问题就能直观形象的展现出来，理解的问题攻克了，解决就不是问题。所以教学中，教师要再学生面对问题时，让他们充分的思考，探究解决问题的多种方法，让学生体会到几何直观是解决问题的一种有效手段，感知几何直观的重要性。例如在教学二年级的“分一分与除法”时，教师要给学生创造充分的活动空间，让学生亲自动手分一分，圈一圈，画一画，摆一摆等，体验平均分的过程，加深学生的直观感知，从而理解平均分的意义及与除法的关系，辨析出乘除法之间的不同，为后面的解决问题打下坚实的基础。

二．重视数与形的结合。我国著名的数学家华罗庚说：“形缺数时难入微，数缺形时少直观”。“数形结合”的思想是重要的数学思想，其实质是使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。小学数学教材中特别注重这种思想的渗透，借助几何直观，可以把数形结合思想更好地反映出来。例如：小丽前面有9人，后面有4人，这一队有多少人？“对于一年级的学生，他们有时很难想到题中还有个隐含的“小丽”，往往列出来的算是“9+4=13（人）”。要是借助直观图形展现出排队的情况，学生就非常醒目的发现队伍由3部分构成，前面的人﹑小丽和小丽后面的人，算式也自认会变成“9+1+4=14（人）”。”学生就会联想起直观图的作用，以直观图形作桥梁，分析题中数量关系，从而解决数学问题。三.重视直观图形与数学符号的合情转换。直观图形的应用要能充分的体现数量关系，展现数学的本质。有时两者合情转换更能体现数与形的密切关系。例如在统计的教学中，统计图中一格代表多少数量，一定的数量需要几格来表示，从图中你能得到哪些数学信息等等。学生在画图和分析数据中了解直观图形和数学符号的相互转化，体会数与形的统一。

四．注重多媒体应用。多媒体技术不但给学生展现出丰富多彩的图形世界，提供直观的演示和展示，表现图形的直观变化，也给学生展示其不易想像的图形，扩大其空间视野，并多了一条解决问题的途径。多媒体的应用给教师的教学提供了有力的工具，也为学生的学建立了直观基础。例如教学钟表一节课时，由于课堂时间有限，要验证1时=60分时，要是仅仅靠老师的讲，学生只能是机械记忆，很难真正理解。利用多媒体展现时针走一大格分针正好走一圈的过程，给予学生视觉感知，使他们从中发现时和分的关系，学生的印象才深刻，才能真正的理解其中所以然，后面的解决问题才能有依据，做到得心应手。

总之几何直观能力是一种非常重要的数学学习能力，它已经成为数学界和数学教育界关注的问题，几何直观能力的培养应随时体现在我们适时的教学中。教学中应关注学生的基本生活经验和生活经历，注重引导学生把生活中对图形的感受与有关知识建立联系，在学生积极主动的参与学习中，几何直观能力的培养不是一道题解决，不是一节课讲授，而是潜移默化的一种方法的探究和深入。在数学教学中，教师应该指导学生养成一种用直观的图形语言，刻画、思考问题的习惯，有机渗透数学思想方法的同时，培养学生的几何直观能力，提高学生的思维能力和解决问题的能力，让数学真正能活学活用。

第四篇：关于几何直观的思考

关于几何直观的思考

作者：秦德生，„ 文章来源：《中学数学教学参考》2005年第10期 [摘要] 随着数学课程标准提出培养和发展学生的几何直观能力，几何直观已经成为数学教育中的一个关注问题。本文从几何课程基本要求的演变出发，探讨几何直观的概念以及与相关概念的辨析，追溯几何直观的哲学基础，提倡“直观型”的课程设计，挖掘几何直观能力培养的教育价值。

[关键词] 几何直观；课程标准；哲学基础；教育价值

当前，数学教育界都在关注数学课程标准[1][2]的制订与实施，关注数学课程改革，而几何直观是数学中生动的、不断增长的而且迷人的课题，在内容上、意义上和方法上远远超出对几何图形本身的研究意义。正如弗莱登塔尔所说，“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”这也与康德的“缺乏概念的直观是空虚的，缺乏直观的概念是盲目的”观念是相同的。随着《普通高中数学课程标准》[2]提出培养和发展学生的几何直观能力，几何直观成为数学教育中的一个关注问题；经过适当的发展，相信对几何直观的研究能够成为数学教育的核心问题。

在此，笔者试图从几何课程基本要求的演变出发，探讨几何直观的概念以及与相关概念辨析，追溯几何直观的哲学基础，挖掘几何直观能力培养的教育价值。现将自己的一些想法就正于各位同行专家．

1．我国对几何课程基本要求的演变

我国解放后首次制定(1952年)的中小学数学教学大纲中提出，小学“算术教学应该培养和发展儿童的逻辑思维”，中学数学应“发展学生生动的空间想像力,发展学生逻辑的思维力和判断力”[3]。以后的中小学数学教学在能力培养方面的要求一直是“通过数学教学，发展学生的逻辑思维和空间想像力”。1963年根据华罗庚、关肇直等专家的意见，中小学数学教学的能力培养任务修改为“计算能力、逻辑推理能力和空间想像力”(传统的三大能力)。1978年的中小学数学教学大纲中，又增加了“培养学生分析问题和解决问题的能力”。1988年的九年义务教育数学教学大纲中，能力培养任务改为“培养运算能力，发展逻辑思维能力和空间观念”,这种要求一直持续至今。《义务教育阶段国家数学课程标准》

(征求意见稿，2000年)在发展性领域中，明确提出能力培养任务是思维能力的培养，“应使学生在定量思维、空间观念、合情推理的演绎论证等方面获得发展”。2000年3月颁布的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用修订版)》中指出，要“培养初步的思维能力和空间观念”。

2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》[1]提出“丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维”[1]．2003年颁布的《普通高中数学课程标准》[2]指出：“几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力，是高中阶段数学课程的基本要求。”[2] 从我国几何课程基本要求的演变来看，从空间想象能力到空间观念，再到几何直观能力，对几何教学的要求不尽相同，那么，什么是几何直观，它与直觉、空间观念、空间想像能力等名词之间有联系或者区别么？我们来进一步探讨。

2．几何直观概念的内涵及典型观点辨析 2.1 什么是直观

数学家克莱因认为，“数学的直观就是对概念、证明的直接把握”[4]；而西方哲学家通常认为“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识”；心理学家则认为“直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力”。

蒋文蔚指出，几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态[5]。

徐利治先生提出，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知[6]。换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。

他们从数学、哲学、心理学等角度给直观包括几何直观下了定义，但我们认为直观一般有两种：一是透过现象看本质；二是一眼能看出不同事物之间的关联，2

可见，直观是一种感知，一种有洞察力的定势。

2.2 直观与直觉

直观与知觉在英文中都是单词Intuition，但二者并不是完全相同，直觉不等于直观。

从研究对象来看直觉的对象不一定是可视的对象，直观的对象一定是可视的。从过程来看，直观与个人的经验、经历有关，直观有层次性，直观是从一个层次看到更深刻的层次或本质；在同一个层次不是直观而是直觉，直觉是有原因与结果的关联，是一个平面上的，属于同一个层次。从功能来看，直观是用来发现定理的，而直觉用来证明定理的。

2.3 直观与想象

传统的数学教学中,空间想像力“指的是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象的能力。麦吉(Megee,1979)认为，空间想像力包括“在心理上操作、旋转、翻转或逆转形象刺激物的能力”，朱文芳认为“空间想像能力是完成空间认知任务的桥梁,空间思维能力起着决定性的核心作用”[7]。心理学家通常认为,想像(imagination)以表象为基本材料,但不是表象的简单再现，是指“在头脑中对已有表象进行加工、改造、重新组合形成新形象的心理过程”。

我们认为，空间想象能力是指脱离背景也能想象出图形的形状、关系的能力。直观是在有背景的条件下进行，想象是没有背景的；几何中的推理证明始终在利用几何直观，在想象图形。

所以，我们建议：普通高中数学课程标准中对几何目标的叙述修改为“培养和发展学生的几何直观能力和借助几何直观进行推理论证的能力，从而培养运用图形语言进行交流的能力以及空间想象能力，是高中阶段数学课程的基本要求。”这样叙述应该更恰当和准确。

3．几何直观的哲学分析 3.1 直观主义

直观化，本来是数学基础中的直观主义流派，出于数学概念和方法的“可信性”考虑而提出的基本主张，其中心内容是“存在必须是被构造”。可见数学中的直观主义就是哲学中的康德主义，主张数学的概念由人类理性构造而成。数学对象的构造就是人们先验地在直观中画出与概念相应的图形，所以构造数学对象 3

需要非经验的直观。人们在这种纯粹直观中构造出一个具体的图形，这一图形能够代表所有与某概念相应的图形，这说明人们在纯直观中构造的图形具有与概念相同的普遍意义，因此在几何直观中构造出了具体的图形就是构造出了相应的概念与数学实体。

笛卡儿认为，直观是纯粹理性的，但作为理性的东西并不能完全摆脱或无视某些经验，可见这二者是矛盾的，直观的确定性与与非逻辑性相矛盾，直观不能保证普遍原理的确定性，直观具有发现真理功能，但不能兼备证明真理、确保真理可靠性的功能。

3.2 几何直观的历史性

毕达哥拉斯时代,人们的数学直观里浸透了整数是万物本质的哲理；非欧几何产生以前,人类的数学直观里有着欧氏公理是先验不变的真理的观念；非标准分析又使一度失去了对无穷小的直观在更抽象的层次上恢复；而今计算机造成的外移动的超立体的图象,又对我们关于高维空间的抽象直观充实了具体感性。所以数学直观是历史概念，数学直观在每个历史时期,其抽象性和直观性都具有不同的内涵。

数学中的抽象性带有理论和哲学色彩，几何直观带有经验、思想和感情因素。复数的引入，是因逻辑上的需要而直接引进的“理想元素”，被赋予某种实际意义后，以几何直观解释为中介，同现实世界建立了间接联系，从而提高了它的可信性。复数，在它被引入后的最初两个半世纪中一直“给人虚无缥缈的感觉”，直至维塞尔、高斯等人相继对它作出了几何解释与代数解释，把它与平面向量a+bi或数偶 对应，才“帮助人们直观地理解它的真实意义”，并取得了实际应用．所以，它不仅被数学理论所决定，并随着数学理论的发展而发展，而且它也避免不了当时人类整个文化情境对个人心理上的影响。直观是随着人类理性的进步而进步的。换言之,几何直观的建立和发展是一个历史过程。它并不是一个从古到今就一直存在着的永恒的人类用来认识数学现象的中性框架，几何直观是一种进化的产物，可以进行更高层次的创造性活动。因此一个人在不同年龄阶段所表现出的数学直观能力可以看作是整个人类在这方面历史发展过程的缩影。

3.3 直观与形式的统一

数学作为一门精确科学，其研究活动必须以量和质、形式和内容的分离为前 4

提，把前者从自然界的普遍联系中抽取出来，加以抽象，在不断形式化的过程中实现它的精确性，这个过程就是数学化，换言之，就是数学抽象发展与现实世界的紧密结合，它既可以描述具体问题的数学模型，也可以反映各种层次的数学概念或规律的更高层次抽象．数学抽象概念发展的“直观——形式——直观”模式，是一般科学概念发展的“具体——抽象——具体”模式的特殊表现形式，它深刻地反映了数学活动的基本矛盾，数学通过形式化而实现精确性，又因为形式化而减弱客观性，直观化具有原始的创造性，它的历史性决定不允许完全客观的有理化．

直观与形式之间矛盾的解决，只有在形式化和直观化的矛盾运动中才可能实现，正是二者之间的矛盾推动了数学的发展以及科学的发展。从创造力来看，直观能引出数学的发明,直观能决定理论的形式和研究方向；从在数学证明上看,直观常常提供证明的思路和技巧,有时严格的逻辑证明无非是直观思考的严格化和数学加工。数学直观的世界与因果感觉的世界是对立的，数学思维不能完全形式化，数学思想是独立于语言的形式之外，但数学又必须通过形式来表达，使其严格化。因此，数学经过形式化而趋于完美，又通过直观化而返朴归真，这正是数学发展的辩证过程。

4．几何直观的课程设计

课程设计已经走向多流派、多元化。而强调知识之间有机地融合、依赖几何直观的“直观型”课程成为数学课程设计的主流之一。我国新课程已经把几何直观看作是贯穿高中数学课程的线索之一。从函数的图象教学、三角函数的单位圆、到导数的图象判断；从不等式的直观解释到线性规划的区域刻画，此外，还有数系扩充中复数、概率统计中的直观图以及向量的使用等等。几何课程设计更离不开几何直观。可见，几何直观是高中数学教学中必不可少的有效工具。因此，要充分利用几何直观来揭示研究对象的性质和关系，使学生认识几何直观在数学学习中的意义和作用，同时也学会数学的一种思考方式和学习方式。

当然，我们也要注意不能用几何直观来代替证明、注意几何直观带来的认识上的片面性。例如，对指数函数 与直线 的关系的认识，因为教材中通常都是以2或10为底来给出指数函数的图形，在这两种情况下，指数函数 的图形都在直线 的上方，于是，便认为指数函数 的图形都在直线 的上方。教学中应避免这 5

种因特殊赋值和特殊位置的几何直观得到的结果所带来的对有关概念和结论本质认识的片面性和错误判断。[2] 5．几何直观能力培养的教育价值

几何通常被喻为“心智的磨刀石”，几何在数学研究中起着其实、联络、理解、甚至提供方法的作用，而几何直观具有发现功能，同时也是理解数学的有效渠道。数学家依赖直观来推动对数学的思考，数学教育家们依赖直观来加强对数学的理解。直观推动了数学和科学的发展。而数学概念经过多级抽象充分形式化后，有必要以相对直观可信的数学对象为基础进行理性重建，从而达到思维直观化的理想目标和可应用性要求,这要求数学的直观与形式的统一，才使得数学的完美。

首先，几何直观是一种创造性思维，是一种很重要的科学研究方式，在科学发现过程中起到不可磨灭的作用。对于数学中的很多问题，灵感往往来自于几何直观。数学家总是力求把他们研究的问题尽量变成可借用的几何直观问题，使他们成为数学发现的向导，随着现代科技的发展，几何直观在计算机图形学、图象处理、图象控制等领域都有诱人的前景。

其次，几何直观是认识论问题，是认识的基础, 有助于学生对数学的理解。借助于几何直观、几何解释，能启迪思路,可以帮助我们理解和接受抽象的内容和方法，抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个自己主动思考的机会，揭示经验的策略，创设不同的数学情景，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程；使学生从非形式化的、算法的、直觉相互作用与矛盾中形成数学观。

最后，几何直观是揭示现代数学本质的有力工具，有助于形成科学正确的世界观和方法论。借助几何直观，揭示研究对象的性质和关系，使思维很容易转向更高级更抽象的空间形式，使学生体验数学创造性工作历程，能够开发学生的创造激情，形成良好的思维品质。

几何直观已经成为数学界和数学教育界关注的问题，那么如何培养学生的几何直观能力、如何更好地发挥几何直观性的教学价值，是每个数学教育工作者都应该深思的问题。

[参考文献] [1]中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M]，北京师范大学出版社，2001.[2]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验稿）[M]，人民教育出版社，2003.[3]建国以来中小学《数学教学大纲汇编(1949—1985)》[M],国家教委编印,1986.[4]M.克莱因.古今数学思想[M]，第四册.上海：上海科技出版社，1979.[5]蒋文蔚.几何直观思维在科学研究及数学教学研究中的作用[J]，数学教育学报.1997(4)[6]徐利治.谈谈我的一些数学治学经验[J],数学通报，2000(5)[7]朱文芳.关于义务教育阶段对空间能力培养的思考[J],课程·教材·教法.2001(3)[8]数学课程标准研制组，普通高中数学课程标准（实验稿）解读[M].江苏教育出版社，2004.[9]史宁中.关于数学的反思[J],东北师大学报(哲学社会科学版), 1997(2)[10]M.阿蒂亚.数学的统一性[M].南京：江苏教育出版社，1995.

第五篇：小学生几何直观能力培养的三个着眼点专题

小学生几何直观能力培养的三个着眼点

数学是研究数量关系和空间形式的科学。几何直观是贯穿小学数学教学始终的基本内容。俄国教育家乌申斯基说过：“儿童是用形式、声音、色彩和感觉来思维的。”直观性是一种发展观察力和发展思维的力量，它能给认识带来一种情绪色彩。如果不形成发达的、丰富的情绪记忆，就谈不上童年时期的完美的智力发展。

几何直观则是借助见到的或想到的几何图形的形象关系产生的对事物的性质或数量关系的直接感知。它凭借图形的直观性特点，将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，使复杂的问题简单化，隐蔽的问题明朗化，抽象的问题直观化，能迅速、简捷、合理地解决问题，更好地帮助学生学好数学、研究数学。因此，在小学阶段着眼于培养学生的几何直观能力显得尤为重要。

一、着眼于画图策略的掌握

培养学生看图、读图、想图、作图能力是发展学生几何直观能力的重要环节。在实际学习中，学生由于年龄特点的影响，再加上抽象思维能力差，头脑中难以形成较为准确、直观的几何模型，主要反映在做题时不会画图或即使画出来的图也不易辨认，甚至画出错误的图形来，从而误导了解题的思路且不易查错，严重地影响了解题的正确性。因此，着眼于画图策略的教学是提高学生几何直观能力的有效方法。

（一）强化画图意识，激发兴趣

小学生因年龄小，生活经验有限，再加上空间想象能力不足，对数学问题的感知程度往往很低，认识模糊、思路不清。但他们好奇心强，大多数孩子喜欢画画。教师可引导学生将有些数学题中的数学信息以自己喜欢的形式画下来，或用图形摆出来，这样原本枯燥的数学突然间就会变得直观形象起来。学生通过运用画图策略解决问题，就能体验画图策略的有效性，感受直观图形对于解题的作用，形成应用画图策略的兴趣和自觉性。

如一年级教材中有一道思考题：12个男生排队，老师让每两个男生中间站一个女生，一共有多少个女生？当学生表示解决有困难时，教师提示：画一画，想一想。许多学生画了12个圆表示男生，然后再在间隔处画上另外的记号表示女生，最后数出一共有多少个女生。得到解题的结果后，教师进行适当的提升，如果有15个男生呢？然后提问：如果有100个男生呢？用画图的方法还好吗？让学生感觉到画图的作用是帮助理解题意，但不是永远的“救命稻草”，而是需要在题目中进行抽象和理解，最后学会理性思考，独立解题。

又如在学生解决三年级的“学校里有一块长方形花坛，如果将它的宽增加3米，长不变，这样花坛就变成了一个正方形，面积增加了24平方米。原来长方形花坛的面积是多少平方米”这一问题时，很多学生对题意不是很理解，觉得无从下手。这时教师问：“有什么办法可以清楚地看出花坛的扩建情况？”在这时学生很自然地产生了画图的需要，因为画图能使题意直观可见。

因此，学生在解决实际问题中，通过教师的引导，可以真切体会到画图的方便和直观，当图形和题目意思有机结合时，很多的问题自然会水到渠成、迎刃而解。在这个教学过程中，学生学会的不仅仅是画图的方法，而是很好地培养了学生画图的意识，激发了学习数学的兴趣。

（二）掌握画图方法，习得技能

在实际教学中，要帮助学生掌握用画图策略解决问题的过程，促进学生体验画图策略解决问题的优越性。教师要提高自身的数学专业素养，尤其是在“画图策略”技能上的素质。教师需要在对数学知识和画图策略的应用上进行透彻的研究，寻找最精当的方式，从而达到教学目的。只有这样，教师才能对教材进行精心分析，寻求对不同知识板块个性化的图解。

1.正确示范画图

在平时教学过程中，教师要主动地运用几何直观进行教学。首先，教师要正确示范画图。教师是学生学习和模仿的对象，教师的示范作用对学生来说至关重要。比如，在“倍的认识”一课教学时，教师在画图过程中，要非常清楚地表示出一倍数，当画几倍数的时候，就要很清楚地表示出有这样的几个。精确的画图示范，对于学生有效地建构倍的概念、形成倍这个知识的正确表象，具有非常重要的作用。当然，教师也不能为了画图而画图，把画图停留在表象上，而是要深入地揭示数学的本质，挖掘知识的内涵和外延。

2.教给作图技巧

小学生学会独立画图有一定的难度，但是让他们学会一些基本的画图技能，对于数学的学习非常重要。因此，教师要结合教学的内容和数学学科的一些特点，教给学生一些作图技巧。如画线段图时，几个对比的量用不同的线段来表示；互相包含的量可以画一条线段；去掉的部分可以用斜线画去，但不要擦掉，这样便于对比和还原。画图时，一般要按问题陈述的顺序，题中先说什么，就先画什么，要在图中依次表示出所有的条件，还要标清问题。不是规定的作图题，可画草图，但要能看得清楚。这样的画图技巧，对于学生今后画图水平的提高和运用画图技能解决实际问题非常有用。

（三）丰富画图形式，积累经验

学生可以根据自己的需要画出不同的图来帮助自己分析、理解数量关系，解决实际问题。因此，教师应鼓励学生运用多种图的形式分析和解决问题。在这个过程中要遵循这样一个原则，即能把数量关系最清晰、最直接地表示出来的图形，就是最佳的选择。

如一位教师在教学“分数的意义”一课时，让学生画出你心目中的四分之一。学生根据自己的经验和理解，用了各种不同的素材画下了心目中的四分之一。有的学生画了一个圆平均分成了4份，取其中的一份；有的学生画了4颗星，平均分成了4份，取其中的一份；还有人写了一句话，共12个字，把12个字平均分成了4份，取了其中一份（3个字）……总之，表现的形式各式各样，但在课堂上师生共同评议总结得出了共同的特征：都是把单位“1”平均分成了4份，取了其中的一份，本质是一样的……

用画图的方法表征数学的形式很多很多，教师在教学的时候要尽可能地拓宽教学的内容，提供开放的教学素材，从源头上丰富学生画图的形式，让学生用各种不同的画图形式来进行表示。在这样实实在在的画图训练中，积累经验，提高画图的实际水平。当然，“画图策略”的能力训练需要教师从学生一年级起就引起重视，长抓不懈。

（四）评议画图呈现，渗透思想

在学生根据题意画好图后，还要引导学生对所画的图进行观察思考，让学生体验画图“化抽象为直观”“化模糊为清晰”的价值。最后，通过回顾解题过程，说说开始解题时有什么困难，后来依靠什么办法弄清题意并解决问题的。引导他们感知画图法的优势，并表扬自觉运用画图方法的学生。在教师反复强调中，学生在“运用―回顾―反思―再运用―总结”中，逐步形成自觉运用的意识，从而使“画图”内化成一种解决问题的策略。

教师在培养学生利用画图策略解决实际问题的过程中应有意识地渗透数学思想，如转换思想、对应思想、归纳思想、化归思想、类比思想等，从而培养和发展学生的数学能力。学生把图画好后，师生评议时教师要有意识地选择一些较好的渗透数学思想的图，给全体同学一个示范。

二、着眼于空间观念的提升

空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化。教学中可着眼于几何模型、几何画板、多媒体等直观教学方式的运用来提升学生的空间观念。

（一）培养学生的直觉思维

直觉思维是指人们不受逻辑规则约束直接领悟事物本质的一种思维方式，在看到题目的条件或题里的图形，能很快说出它的特点、隐藏的意思等。

它在数学学习中有其他思维不可替代的优点。这就要求教师转变教学观念，把主动权交给学生，对于学生大胆的设想给予充分的肯定，对于其合理的成分及时给予鼓励、爱护。

（二）重视学生的直观操作

空间观念的发展依赖于学生的实践操作活动，在教学中应设计一定的实践操作活动，以发展学生的空间观念。教学中教师要组织学生开展观察、操作、猜测、想象。观察和操作是产生猜想的条件，也是验证猜想的手段，一定要予以足够的重视。

如教学“长方形和正方形”一课时，笔者给学生充分的操作时间和空间，验证长方形两组对边分别相等，正方形的四条边都相等。展示时，先让学生演示量的方法，再演示折的方法，折纸，需要有空间想象力，特别是通过“折纸”证明正方形四条边都相等，笔者特别要求全班同学都动手经历这种验证方法。之后，又让学生用长方形折一个最大的正方形……实践证明，学生通过直观操作，对长方形的特征有了深刻的认识，对后续学习收到较好的效果。

（三）设计有效的想象活动

利用学生已有的生活经验，设计恰当的教学情境，激发学生学习几何的兴趣。通过学生放眼看、动手做、动口说、动脑想，发展学生的合情推理能力，培养学生的空间想象能力。

如在复习“长方体和正方体的表面积和体积”一课时，笔者先是提供给学生六个面，让学生想象着求这个长方体的体积，依次慢慢地减少，逐渐变成5个、4个、3个、2个面，让学生想象着求体积，最后到一个面，学生还要想象它的高可能是多少。这样的想象活动，既很好地检查了学生的知识掌握情况，又很好地培养和发展了学生的空间观念。

三、着眼于“数形结合”的运用

在小学数学学科里，有很多重要的数学内容都既有“数的特征”，也有“形的特征”，只有从两个方面同时认识它们，才能很好地理解、掌握它们的本质意义。数形结合是贯穿于数学教学的一条主线，使数学在实践中的应用更加广泛和深远。一方面，借助于图形的性质许多抽象的数学概念和数学关系变得形象化、简单化，给人以直观感；另一方面，将图形问题转化为代数问题，可以获得准确的结论。“数”和“形”的信息转化、相互渗透，不仅使解题简洁明快，还开拓解题思路，也只有这样，才能让这些内容变得形象、生动起来，变得更容易使学生接受并运用它们去思考问题，形成几何直观能力。

（一）计算教学：实现数形间的合理转化

在计算教学中，往往单纯的计算无法激起学生的挑战欲，教师可以提供给学生一些材料，鼓励学生思考。如下图，在教学乘法口诀后，教师出示一个小三角形表示5，那么大三角形表示（）。学生要先思考大三角形里有几个小三角形，再用口诀算出结果。这样的设计“数中有形、形中有数”，很好地实现了数形间的合理转化。

（二）概念教学：突出数形间的直观感知

学生在学习了概念后，往往只会机械记忆。比如，学习了100以内的数后，学生会数。但如果要解决66离70近还是离60近这个问题，很多学生就不能很快地找到。但如果教学时给学生一根数轴，看看每个数在数轴上的位置，就能有效地避免这个问题。

（三）解决问题教学：借助数形化抽象为直观

在应用转化策略解决问题的同时，巧妙借助几何直观，把复杂的计算问题转化成简单的计算问题，可以培养学生初步的几何直观能力。教师要引导学生思考：为什么喜欢用画直观图的方法？使学生体会到数与形的完美结合，可以帮助我们将复杂的计算问题转化成简单的算式进行计算。

总之，借助几何直观可以使复杂的问题简单化，隐蔽的问题明朗化，抽象的问题直观化。几何直观不仅在“图形与几何“的学习中发挥着不可替代的作用，并且贯穿在整个小学数学学习过程中。

（浙江省临海市白水洋镇中心校 317031）