长沙市一中教案_高二理科数学《2.3数学归纳法(一)》五篇范文

第一篇：长沙市一中教案_高二理科数学《2.3数学归纳法(一)》

2.3数学归纳法（1）

教学目标

1． 使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质．

2． 掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题． 3． 培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．

4． 努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．

5． 通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神． 教学重点

归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析 教学难点

数学归纳法中递推思想的理解 教学过程

一．创设问题情境，启动学生思维

(1)不完全归纳法引例：

明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．

(2)完全归纳法对比引例：

有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟先给出答案，他比大徒弟聪明．

在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．这些归纳法却不能用完全归纳法． 二．回顾数学旧知，追溯归纳意识

(1)不完全归纳法实例： 给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式．

(2)完全归纳法实例： 证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况． 三．借助数学史料, 促使学生思辨

在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大家都可能如此．那么，有没有更好的归纳法呢？

问题1 已知an＝(n5n5)（n∈N），(1)分别求a1；a2；a3；a4．

(2)由此你能得到一个什么结论？这个结论正确吗？

问题2 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N时，221一定

n22都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了221＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．

问题3 f(n)n2n41, 当n∈N时，f(n)是否都为质数？

验证： f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1 601．但是f（40）＝1 681＝412，是合数． 四．搜索生活实例，激发学习兴趣

实例：播放多米诺骨牌录像

关键：(1)第一张牌被推倒；(2)假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下． 于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下．

搜索：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等． 五．类比数学问题, 激起思维浪花

类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式ana1(n1)d：

(1)当n＝1时等式成立；(2)假设当n＝k时等式成立, 即aka1(k1)d, 则ak1akd=a1[(k1)1]d, 即n＝k＋1时等式也成立． 于是, 我们可以下结论： 等差5数列的通项公式ana1(n1)d对任何n∈N都成立． 六．引导学生概括, 形成科学方法

证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：(1)证明当n取第一个值n0时结论正确；

(2)假设当n＝k(k∈N，k≥n0)时结论正确, 证明当n＝k＋1时结论也正确． 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都正确． 这种证明方法叫做数学归纳法． 七．蕴含猜想证明, 培养研究意识

例题 在数列{an}中, a1＝1, an1项an的公式, 最后证明你的结论． 八．基础反馈练习, 巩固方法应用

(1)用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n．

2**an1an(n∈N), 先计算a2，a3，a4的值，再推测通

*(2)首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是ana1q九．师生共同小结, 完成概括提升

n1．

(1)本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；

(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；

(3)数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；

(4)本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想．

十．布置课后作业, 巩固延伸铺垫习案与学案

第二篇：长沙市一中教案_高二理科数学《1.2.1 排列(一)》

长沙市第一中学高二数学备课组

选修2-3 教案

1.2 排列 第一课时

教学目标

1、使学生理解排列的意义，并且能在理解题意的基础上，识别出排列问题，2、能用“树形图”写出一个排列中所有的排列．并从列举过程中体会排列数与计数原理的关系。

教学重点

1、理解排列的概念，能用列举法、“树形图”列出排列，从简单排列问题的计数过程中体会排列数公式。

2、对排列要完成“一件事情”的理解；对“一定顺序”的理解。

教学过程 一．设置情境

问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？

这个问题，就是从甲、乙、丙3名同学中选出2名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同排法的问题．

解决这个问题需分2个步骤．

第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人有3种方法；

第2步，确定参加下午活动的同学，只能从余下的2人中选，有2种方法，根据分步计数原理，共有3×2＝6种不同的方法． 如图所示为所有的排列．

二．新课讲解

我们把上面问题中被取的对象叫做元素．于是所提出的问题就是从3个不同的元素中任取2个，按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法．

我们再看下面的问题：

问题2 从a、b、c、d这四个字母中，取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同的挑法？

解决这个问题，需分3个步骤：

第1步，先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；

第2步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有3种方法；

第3步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取，有2种方法．

根据分步计数原理，共有 4×3×2＝24种不同的排法，如图所示．

由此可以写出所有的排列（出示投影）：

abc abd acb acd adb adc bac bad

bca bcd bda bdc

cab cad cba cbd

cda cdb dab dac

dba dbc dca dcb

一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

问题3：排列的定义中包含哪两个基本内容？

排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志．

问题4：两个排列的元素完全相同时，是否为相同的排列？

根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同．也就是说，如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同，那么也是不同的排列．

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选修2-3 教案

问题5：什么是排列数？排列数与排列有何区别？

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．用符号Amn表示。

问题6：排列可分为几类？

如果m＜n，这样的排列（也就是只选一部分元素作排列），叫做选排列；

如果m＝n，这样的排列（也就是取出所有元素作排列），叫做全排列．

三．例题讲解

例1：写出从a、b、c三个元素中取出两个元素的全部排列．

解：所有排列是ab ac bc ba ca cb

例2：由数字1、2、3、4，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

（24个）

例3；以参加乒乓球比赛的5名运动员中选3名排好出场顺序，有多少种不同的出场顺序？

（60）例4：从3、5、7、10、13五个数字中任选两个数相加、相乘、相减、相除哪些是排列？

问题7：从n个不同的元素中取出2个元素的排列数为An是多少？An、An（n≥m）又各是多少？

得出排列数公式：An=n(n-1)(n-2)(n-3).....(n-m+1)

364例5

计算

（1）A16

（2）A6

（3）A6 m

23m364解：（1）A!720

（3）A66543360 161615143360

（2）A6654pnpn例6.求下列各式中的n： 4 3pn例7．北京、上海、广州三个民航站之间的直达航县，需要准备多少种飞机票？

（6种）

四．课堂练习

1．下列问题中哪些是排列问题？如果是在题后括号内打“√”，否则打“×”．

（1）20位同学互通一封信，问共通多少封信？（√）

（2）20位同学互通一次电话，问共通多少次？（×）

（3）20位同学互相握一次手，问共握手多少次？（×）

（4）从e，π，5，7，10五个数中任意取出2个数作为对数的底数与真数，问共有几种不同的对数值？（√）

（5）以圆上的10个点为端点，共可作多少条弦？（×）

（6）以圆上的10个点为起点，且过其中另一个点的射线共可作多少条？（√）

2．在A、B、C、D四位候选人中，选举正、副班长各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果．

解：选举过程可以分为两个步骤．第1步选正班长，4人中任何一人可以当选，有4种选法；

第2步选副班长，余下的3人中任一人都可以当选，有3种选法．根据分步计数原理，不同的选法有4 ×3＝12（种）．其选举结果是：

AB AC AD BC BD CD

BA CA DA CB DB DC 五．课堂总结

1、排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）．

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选修2-3 教案

2、由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题．

当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列． 六． 布置作业 《习案》与《学案》

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第三篇：长沙市一中教案_高二理科数学《2.1.2演绎推理》

2.1.2演绎推理

教学目标

1.了解演绎推理 的含义。

2.能正确地运用演绎推理

进行简单的推理。3.了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。教学重点

正确地运用演绎推理

进行简单的推理

教学难点

了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

教学过程

一．复习引入

问题1；合情推理有几种？ 归纳推理

从特殊到一般 类比推理

从特殊到特殊

从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。类比――提出猜想。二．问题情境。

观察与思考

1所有的金属都能导电

铜是金属，所以，铜能够导电

2.一切奇数都不能被2整除，(2100+1)是奇数，所以，(2100+1)不能被2整除.3.三角函数都是周期函数，tan  是三角函数, 所以，tan 是 周期函数。

问题 2：像这样的推理是合情推理吗？ 三．学生活动 ：

1.所有的金属都能导电 ←————大前提

铜是金属，←-----小前提 所以，铜能够导电

←――结论 2.一切奇数都不能被2整除 ←————大前提

(2100+1)是奇数，←――小前提

所以，(2100+1)不能被2整除.←―――结论 3.三角函数都是周期函数，←——大前提

tan  是三角函数, ←――小前提

所以，tan 是 周期函数。←――结论 四．概念数学

演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．

１．演绎推理是由一般到特殊的推理； ２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括

⑴大前提---已知的一般原理；

⑵小前提---所研究的特殊情况；

⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断． 三段论的基本格式

M—P（M是P）（大前提）S—M（S是M）（小前提）

S—P（S是P）（结论）

3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解: 若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.五．数学运用

例

1、把“函数yx2x1的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论。

解：二次函数的图象是一条抛物线

（大前提）函数yxx1是二次函数（小前提）结论）所以，函数yxx1的图象是一条抛物线（例2.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC，D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等 2

解：(1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,——大前提 在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°——-小前提

所以△ABD是直角三角形——结论

(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提 因为 DM是直角三角形斜边上的中线,——小前提 所以 DM= 12同理 EM= AB AB——结论

所以 DM=EM.例3.证明函数f(x)＝－x＋2x在(－∞,1)内是增函数.例4 教案205面的例1 例5教案205面的例2

六．课堂练习

第81页 练习第 1，2，3题 七． 回顾小结：

演绎推理错误的主要原因是

1．大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的条件。八．课后作业习案与学案

第四篇：长沙市一中教案_高二理科数学《1.1分类计数原理与分步计数原理(一)》

长沙市第一中学高二数学备课组

选修2-3 1.1 分类计数原理与分步计数原理

（一）教学目标

1、引导学生归纳得出两个计数原理，初步区分“分类”与“分步”，2、掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单问题．

教学的重点与难点

1、归纳得出分类加法计数原理与分步乘法计数原理。

2、正确理解“完成一件事情”的含义，根据实际问题的特征，正确地区分“分步”与“分类”。

教学过程

（一）分类加法计数原理。

问题1：P2面的思考，你能说说这个问题的特征吗？

问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

图1

问题3：某班级三好学生中男生有5人,女生有4人。从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？ 问题4：第2面的例1 问题5：如果完成一件事情, 有三类办法, 在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，在第三类办法中有m3种不同的方法.那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情, 有n类办法,在每一类中都有若干中不同的方法，应当如何计数？

归纳：

一般地，有如下原理：（出示投影）

分类计数原理

完成一件事，有类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，„，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 注意：分类适当不重不漏。

（二）分步乘法计数原理

问题6：从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班．那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法（如图2）？

图2

这个问题与前一个问题不同．在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地．

这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有3×2＝6种不同的走法．

问题7：见教材P3面的思考。你能说说这个问题的特征吗？

归纳；完成一件事，需要分成两个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法

长沙市第一中学高二数学备课组

选修2-3 那么完成这件事共有m1×m2种不同的方法。

问题8：完成一件事，需要分成3个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少不同的方法？如果完成一件事情, 需要有n个步骤做每一步都有若干中不同的方法，应当如何计数？ 于是得到如下原理：（出示投影）

分步计数原理落千丈 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，„，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法．

问题8：分类计数原理与分步计数原理有什么不同？

分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题，共同点是：它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法。

它们的区别在于：

分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事； 分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．

（三）举例应用 例1.第4面的例2 例2．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？ 例3．要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？ 例4.教案第4面的例1 例5.教案第4面的例2

（四）课堂练习

1.教科书第6面的第1，3题

2．（1）将4个信封投入3个不同的邮筒，有多少种不同的投法？

34（2）4位同学参加3项不同的竞赛，每人限报一项，有多少种不同的报法？

34（3）4位同学参加3项不同的竞赛，每项限报一项，有多少种不同的报法？

43（4）4位同学去3人参加3项不同的竞赛，每人限报一项，有多少种不同的报法？

4×3×2 3．某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法？

解：由于1、2、3、4层每一层到上一层都有3处楼梯，根据分步计数原理N3333381

（五）课堂小结

1、分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，2、“合理分类”要全面, 不能遗漏;但也不能重复、交叉;“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的，3、“准确分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;

4、在运用“加法原理、乘法原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,不重复、不遗漏

（六）课后作业

《习案》与《学案》

第五篇：长沙市一中教案_高二理科数学《1.1.2导数的概念》

§1.1.2导数的概念

教学目标：

1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 3．会求函数在某点的导数

教学重点：

瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

教学难点： 导数的概念．

教学过程：

一．创设情景

问题1：什么是平均变化率？ 二．新课讲授 1．瞬时速度

问题2：什么是瞬时速度？

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 问题3：平均速度能反映瞬时速度吗？

运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度。

问题4：如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t2时的瞬时速度是多少？考察t2附近的情况：

思考：当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？

结论：当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v都趋近于一个确定的值13.1．

从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于运动员的瞬时速度，因此，运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s

h(2t)h(2)13.1

t0t表示“当t2，t趋近于0时，平均速度v趋近于定值13.1” 为了表述方便，我们用lim小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

导数的概念

从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: f(x0x)f(x0)flim

x0x0xx我们称它为函数yf(x)在xx0出的导数，记作f'(x0)或y'|xx0，即 lim

f(x0)limx0f(x0x)f(x0)

x说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率

（2）xxx0，当x0时，xx0，所以f(x0)lim三．典例分析

2例1．（1）求函数y=3x在x=1处的导数.2分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)

再求

x0f(x)f(x0)

xx0ff6x再求lim6

x0xx解：法一 定义法（略）

3x23123(x212)limlim3(x1)6

法二：y|x1limx1x1x1x1x12（2）求函数f(x)=xx在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

y(1x)2(1x)23x 解：xxy(1x)2(1x)2lim(3x) f(1)limx0xx0x例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行

2冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为f(x)x7x15(0x8)，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6)

''f(2x)f(x0)f xx(2x)27(2x)15(227215)x3

xflim(x3)3 所以f(2)limx0xx0同理可得:f(6)5

在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升． 根据导数定义，注：一般地，f(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况． '例3利用导数的定义求y1在xx0处的导数.x四．课堂练习

1．质点运动规律为st3，求质点在t3的瞬时速度为． 2．求曲线y=f(x)=x3在x1时的导数．

3．例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 五．回顾总结

1．瞬时速度、瞬时变化率的概念 2．导数的概念 六．布置作业 《习案》作业二 2