新北师大八年级数学下册第四章《因式分解》回顾与思考导学案[全文5篇]

第一篇：新北师大八年级数学下册第四章《因式分解》回顾与思考导学案

八年级数学下册第四章《因式分解》导学案

2.分解因式

(1)-24x3 –12x2 +28x(2)m(a-3)+2(3-a)(3)4x-9y

回顾与思考

主备人：审核人：

一、学习目标：

1.熟练运用提公因式法，平方差公式和完全平方公式进行因式分解。2.灵活运用常见的因式分解的方法进行分解因式。

二、学习重点：

灵活应用所学知识进行因式分解.三、学习难点：

运用因式分解的知识解决问题。

四、学习过程：

（一）知识回顾：

知识点1因式分解的概念

把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

知识点2提公因式法

多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式,我们把这个因式叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如：x2

– x = x（），8a2

b-4ab+2a = 2a()知识点3公式法

(1)平方差公式：a2-b2

=()().例如：4x2-9=()2-（）2

=()().(2)完全平方公式：a2±2ab+b2=()2

其中，叫做完全平方式.例如：4x2-12xy+9y2=（）2

（二）基础训练：

1．下列由左到右的变形哪些是因式分解，哪些不是（是的打“∨”，•不是的打“×”）：（1）（x+3）（x-3）=x2-9；（）;（2）x2+2x+2=（x+1）2+1；（）（3）x2-x-12=（x+3）（x-4）；（）;（4）x2+3xy+2y2=（x+2y）（x+y）；（）（5）1-

1x2=（1+1x）（1-1x）；（）;（6）m2+1m+2=（m+12m）；（）（7）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．（）

(4)-x2-4y2+4xy

(5)9(a-b)2+6(a-b)+1（6）2x3

8x

3．如果2x2+mx-2可因式分解为（2x+1）（x-2），那么m的值是（）A．-1B．1C．-3D．3

4．计算：7.6×199.8+4.3×199.8-1.9×199.85．计算：9992+999．

（三）课堂小测：

1.在下列四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是（）A、-5x2y3=-5xy(xy2)B、x2-4-3x=(x+2)(x-2)-3xC、ab2-2ab=ab(b-2)D、(x-3)(x+3)=x2-9

2.49a3bc3+14a2b2c2-21ab2c2在分解因式时，应提取的公因式是（）A、7abc2B、7ab2c2C、7a2b2c2D、7a3bc3 3.下列多项式中不能用平方差公式分解的是（）

(A)-a2+b2(B)-x2-y2(C)49x2y2-z2(D)16m4-25n2p2

4.分解因式：(1)-4x3+16x2-26x(2)a2(x-y)+b2(y-x)（3）9(mn)216(mn)2；

（4）m4

16n4

（5）-3ma3+6ma2-12ma（6）4a2b2(a2b2)

25、先分解因式，在求值：已知ab2，ab2，求12a3ba2b21

ab3的值

第二篇：数学北师大版八年级下册公式法因式分解法

第四章

因式分解

3．公式法

（二）一．教学目标：

1．知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．

2．过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。

3．情感与态度：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。

教学重难点

学习重点：让学生掌握完全平方公式因式的方法。

学习难点：让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式。

教学方法：讲练结合

咸阳道北中学 翟肖锋

二．教学过程

第一环节

学习新知

活动内容：提问：1．整式乘法中的完全平方公式是_______________；

活动目的：回顾完全平方公式，直入主题将完全平方公式倒置得新的分解因式方法．

注意事项：在上一课时平方差公式倒置学习的基础上，学生比较容易理解和接受此课时的学习铺垫内容．

a2–2ab+b2=（a–b）

2a2+2ab+b2=（a+b）2

活动目的：总结归纳完全平方公式的基本特征，讲授新知形如a22abb2的多项式称为完全平方式．

注意事项：举例说明便于学生理解．同时归纳总结，由分解因式与整式乘法的互逆关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

第二环节

落实基础 活动内容：

1．判别下列各式是不是完全平方式．

(1)x2y2；(2)x22xyy2；(3)x22xyy2；(4)x22xyy2；(5)x22xyy2．2.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．

12345x2_____y2；4a29b2______；x2_____4y2；1a2_____b2；4x42x2y_____．结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；

完全平方式可以进行因式分解，a2–2ab+b2=（a–b）

2a2+2ab+b2=（a+b）2

活动目的：加深学生对完全平方式特征的理解，为后面的分解因式做能力铺垫． 注意事项：由于有了七年级的整式乘法的学习基础，同时对照口诀，大多数学生能顺利识别完全平方式，但少部分同学由于对完全平方公式的特征的理解模糊，不能很好地掌握完全平方公式，这需要老师更加耐心地引导和启发．

第三环节 范例学习活动内容：

例1．把下列各式因式分解：

(1)x214x492(3)(mn)6(mn)9(2)4a212ab9b2(4)(m2n)22(2nm)(mn)(mn)2活动目的：(1)培养学生对平方差公式的应用能力；

（2）让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．

注意事项：灵活掌握完全平方式的特征成为运用公式法进行分解因式的关键，在运用整体法时，注意去括号后的符号变化和系数变化。活动内容：

例2．把下列各式因式分解：(1)3ax26axy3ay2(2)x24y24xy活动目的：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．

注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解.第四环节

随堂练习活动内容：

1.判别下列各式是不是完全平方式，若是说出相应的a、b 各表示什么？(1)x26x9；

(2)14a2；(3)x22x4；(4)4x24x1；(5)1mm；4

(6)4y212xy9x2．

2、把下列各式因式分解：

（1）m2–12mn+36n2

（2）16a4+24a2b2+9b4

(3）–2xy–x2–y2

（4）4–12（x–y）+9（x–y)2

活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是否清楚，对完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．

注意事项：当完全平方公式中的a与b 表示两个或两个以上字母时，学生运用起来有一定的困难，此时，教师应结合完全平方公式的特征给学生以有效的学法指导． 2第五环节

自主小结

（1）形如________________形式的多项式可以用完全平方公式分解因式。（2）因式分解通常先考虑______________方法。再考虑____________方法。（3）因式分解要_________

课后作业：完成课后习题；103页 1.2题

三．教学设计反思

本节课我们学习了运用公式法分解因式的第二种方法，即逆用完全平方公式分解因式的方法，使用该方法的关键就是观察完全平方式的结构特征：两数的平方和与这两个数的乘积的2倍，具体应用时要特别关注第二项的符号。

把一个多项式进行因式分解的一般方法是：先看有无公因式可提取，然后再尝试用公式法分解因式，直到最终结果再也不能分解因式为止。

运算类型的课往往比较枯燥，学生容易产生浮躁的心理，不利于知识的掌握与运算能力的提高。本节课的设计尽量做了平实无华，将新知教学层层深入，适当的巩固练习，每一个环节让学生感觉不吃力。同时设计过程中注意题型的变化，引导学生暴露学习中的问题，这样易于激发学生的兴趣，使学生的思维不断被拓展，从而达到强化所学知识和提高能力的目的。

第三篇：八年级数学下册 第二章因式分解教案 北师大版（xiexiebang推荐）

第二章 分解因式§2.1 分解因式教学目标

1.使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.2.通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力.教学重点

1.理解因式分解的意义.2.识别分解因式与整式乘法的关系.教学难点

通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.教学目标

一、创设问题情境,引入新课

计算（a+b）（a－b）a2－b2=（a+b）（a－b）成立吗？那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题.二、讲授新课

31.讨论99－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.399－99能被100整除.32因为99－99=99×99－99 2=99×（99－1）=99×9800=99×98×100

33其中有一个因数为100，所以99－99能被100整除.99－99还能被哪些正整数整除？ 还能被99，98,980,990,9702等整除.从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式.2.议一议

3你能尝试把a－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.33观察a－a与99－99这两个代数式.3.做一做

（1）计算下列各式： ①（m+4）（m－4）=__________;2②（y－3）=__________;③3x（x－1）=__________;④m（a+b+c）=__________;⑤a（a+1）（a－1）=__________.（2）根据上面的算式填空：

2①3x－3x=（）（）;2②m－16=（）（）;③ma+mb+mc=（）（）;22④y－6y+9=（）.能分析一下两个题中的形式变换吗？

在（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式.在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式 4.想一想

由a（a+1）（a－1）得到a－a的变形是什么运算？由a－a得到a（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？

33由a（a+1）（a－1）得到a－a的变形是整式乘法，由a－a得到a（a+1）（a－1）的变形是分解因式，这两种过程正好相反.2222由（a+b）（a－b）=a－b可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a－b=（a+b）（a－b）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反.如：（1）m（a+b+c）=ma+mb+mc（2）ma+mb+mc=m（a+b+c）

联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.即ma+mb+mc m（a+b+c）.33所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形.5.例题：下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？

2（1）4a（a+2b）=4a+8ab;2（2）6ax－3ax=3ax（2－x）;2（3）a－4=（a+2）（a－2）;2（4）x－3x+2=x（x－3）+2.（1）左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法，不是因式分解；

（2）左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；（3）和（2）相同，是因式分解；（4）是因式分解.三、课堂练习连一连

解：

四.课时小结

本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.五、课后作业习题2.1

六、教学反思：分解因式的概念，不能体现出分解因式的要求。学生还不要学习一些很严格的定义，他们只要从直观上知道这么一回事就可以的了。但那利不严格的概念与数学的严谨性不相符。我们班不少学生常常会拿这个概念去问我:“为什么这种明明是完全合符了概念的要求，但老师你又说是不正确的。”我认为，应该对概念的严格定义在书末处列出。这样做对一部分以后从事也数学相关性很大的职业的学生非常有利。

§2.2.1 提公因式法

（一）教学目标

（一）知识认知要求

让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.（二）能力训练要求

通过找公因式，培养学生的观察能力.（三）情感与价值观要求

在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用.教学重点

能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.教学难点

让学生识别多项式的公因式.教学过程

一、创设问题情境,引入新课

一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为面积.3371，，宽都是,求这块场地的4242131317337× + × + × =++=2 242224848***解法二：S=× + × + × =（++）=×4=2 24222424242解法一：S=从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法.二、新课讲解

1.公因式与提公因式法分解因式的概念.将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m（a+b+c），可以用等号来连接.ma+mb+mc=m（a+b+c）从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？

等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式（a+b+c）的乘积，从左边到右边是分解因式.由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式.由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.2.例题讲解

［例1］将下列各式分解因式：（1）3x+6;2（2）7x－21x;323（3）8ab－12abc+abc

32（4）－24x－12x+28x.分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.3 解：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）;2（2）7x－21x=7x·x－7x·3=7x（x－3）;323（3）8ab－12abc+abc 22=8ab·ab－12bc·ab+ab·c

22=ab（8ab－12bc+c）

32（4）－24x－12x+28x

2=－4x（6x+3x－7）3.议一议

过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤.首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4.其次找各项中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有ab,相同字母的指数取次数最低的.4.想一想

从例1中能否看出提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？ 提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.三、课堂练习

（一）随堂练习

1.写出下列多项式各项的公因式.（1）ma+mb（m）（2）4kx－8ky（4k）

322（3）5y+20y（5y）

22（4）ab－2ab+ab（ab）2.把下列各式分解因式（1）8x－72=8（x－9）

2（2）ab－5ab=ab（a－5）

322（3）4m－6m=2m（2m－3）

22（4）ab－5ab+9b=b（a－5a+9）

（二）补充练习

2把3x－6xy+x分解因式 四.课时小结

1.提公因式法分解因式的一般形式，如： ma+mb+mc=m（a+b+c）.这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.2.提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.3.找公因式的一般步骤

（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.（4）所有这些因式的乘积即为公因式.4.初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生.5.公因式相差符号的，如（x－y）与（y－x）要先统一公因式，同时要防止出现符号问题.五.课后作业习题2.2 4 六.活动与探究

利用分解因式计算：

20042003（1）3－3;101100（2）（－2）+（－2）.20042003解：（1）3－3 2003=3×（3－1）20032003=3×2=2×3

101100（2）（－2）+（－2）

100=（－2）×（－2+1）

100=（－2）×（－1）

100=－（－2）

=－

2七、教学反思：

班中有一位男学生数学成绩是倒数的，平时又特别调皮，经常上课不认真听讲。今天他居然举手上黑板板演，而且做对了！我及时表扬了他，看来他对学习有兴趣了，希望他能继 续努力。

§2.2.2 提公因式法

（二）教学目标

（一）知识认知要求

进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法.（二）能力训练要求

进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.（三）情感与价值观要求

通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点.教学重点

能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式.教学难点

准确找出公因式，并能正确进行分解因式.教学过程

一、创设问题情境,引入新课

上节课我们学习了用提公因式法分解因式，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？本节课我们就来揭开这个谜.二、新课讲解

［例2］把a（x－3）+2b（x－3）分解因式.分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有（x－3）,因此可以把（x－3）作为公因式提出来.解：a（x－3）+2b（x－3）=（x－3）（a+2b）

从分解因式的结果来看，是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢？ ［例3］把下列各式分解因式:（1）a（x－y）+b（y－x）;32（2）6（m－n）－12（n－m）.分析：虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x=－（x－y）.（m－n）3与（n－m）2也是如此.解：（1）a（x－y）+b（y－x）=a（x－y）－b（x－y）=（x－y）（a－b）

32（2）6（m－n）－12（n－m）

32=6（m－n）－12［－（m－n）］

32=6（m－n）－12（m－n）

2=6（m－n）（m－n－2）.二、做一做

请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:（1）2－a=__________（a－2）;（2）y－x=__________（x－y）;（3）b+a=__________（a+b）;22（4）（b－a）=__________（a－b）;（5）－m－n=__________－（m+n）;2222（6）－s+t=__________（s－t）.解：（1）2－a=－（a－2）;（2）y－x=－（x－y）;（3）b+a=+（a+b）;22（4）（b－a）=+（a－b）;（5）－m－n=－（m+n）;2222（6）－s+t=－（s－t）.三、课堂练习

1.把下列各式分解因式：（1）x（a+b）+y（a+b）（2）3a（x－y）－（x－y）

2（3）6（p+q）－12（q+p）（4）a（m－2）+b（2－m）

2（5）2（y－x）+3（x－y）

2（6）mn（m－n）－m（n－m）2.补充练习：把下列各式分解因式

32（1）5（x－y）+10（y－x）（2）m（a－b）－n（b－a）（3）m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q）

2（4）（b－a）+a（a－b）+b（b－a）四.课时小结

本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的分解因式.五、课后作业习题2.3 六.活动与探究

把（a+b－c）（a－b+c）+（b－a+c）·（b－a－c）分解因式.解：原式=（a+b－c）（a－b+c）－（b－a+c）（a－b+c）=（a－b+c）［（a+b－c）－（b－a+c）］ =（a－b+c）（a+b－c－b+a－c）=（a－b+c）（2a－2c）=2（a－b+c）（a－c）

七、教学反思：

⒈《数学课程标准》提出学生是学习数学的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者，本节课以开放式的课堂形式组织教学，让学生进行合作学习，共同操作与探索，共同探究、解决问题．在教学中能注意充分调动学生的学习积极性、主动性，坚持做到以人为本，以学生为先，立足于让学生先看、先想、先说、先练，根据自己的体验，用自己的思维方式，通过实验、思考、合作、交流学好知识．

2.探究、发现中，让学生分组讨论，合作、交流，培养了学生新的学习方法，加强了学生团结、协作的能力；讨论中充分展示学生语言的零乱性，培养了学生良好的思维能力、语言运用能力。适时对学生积极评价，体现了平等的师生关系，张扬了学生的个性，体现了《标准》的人文化。

§2.3.1 运用公式法

（一）教学目标

（一）知识认知要求

1.使学生了解运用公式法分解因式的意义； 2.使学生掌握用平方差公式分解因式.3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.（二）能力训练要求

1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.2.训练学生对平方差公式的运用能力.（三）情感与价值观要求

在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.教学重点

让学生掌握运用平方差公式分解因式.教学难点

将单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.教学过程

一、创设问题情境,引入新课

在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.二、新课讲解

1.请看乘法公式（a+b）（a－b）=a－b（1）

左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是 a2－b2=（a+b）（a－b）（2）

左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否 是因式分解？

符合因式分解的定义，因此是因式分解.对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.2.公式讲解

22请大家观察式子a－b,找出它的特点.是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.222如x－16=（x）－4=（x+4）（x－4）.22229 m－4n=（3 m）－（2n）=（3 m +2n）（3 m －2n）3.例题讲解

［例1］把下列各式分解因式：

（1）25－16x;（2）9a－解：（1）25－16x=5－（4x）=（5+4x）（5－4x）;

2222

b.4121b=（3a）2－（b）2 4211=（3a+b）（3a－b）.22（2）9a－2［例2］把下列各式分解因式: 22（1）9（m+n）－（m－n）;3（2）2x－8x.22解：（1）9（m +n）－（m－n）

22=［3（m +n）］－（m－n）=［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］ =（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）=（4 m +2n）（2 m +4n）=4（2 m +n）（m +2n）

32（2）2x－8x=2x（x－4）=2x（x+2）（x－2）

说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.补充例题：判断下列分解因式是否正确.22222（1）（a+b）－c=a+2ab+b－c.42222（2）a－1=（a）－1=（a+1）·（a－1）.解：（1）不正确.本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.2（2）不正确.错误原因是因式分解不到底，因为a－1还能继续分解成（a+1）（a－1）.应为a－1=（a+1）（a－1）=（a+1）（a+1）（a－1）.三、课堂练习

（一）随堂练习1.判断正误

2222（1）x+y=（x+y）（x－y）;

（2）x－y=（x+y）（x－y）;

2222（3）－x+y=（－x+y）（－x－y）;（4）－x－y=－（x+y）（x－y）.2.把下列各式分解因式

222解：（1）ab－m

22（2）（m－a）－（n+b）

22（3）x－（a+b－c）

44（4）－16x+81y

（二）补充练习：把下列各式分解因式

22（1）36（x+y）－49（x－y）;2（2）（x－1）+b（1－x）;22（3）（x+x+1）－1.四.课时小结

我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.五.课后作业习题2.4 六.活动与探究

把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式 解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc =［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc

2222=abc+a（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）－abc=a（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）

2=（b+c）［a+bc+a（b+c）］

2=（b+c）［a+bc+ab+ac］ =（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］ =（b+c）（a+b）（a+c）

§2.3.2 运用公式法

（二）教学目标

（一）知识认知要求

1.使学生会用完全平方公式分解因式.2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.（二）能力训练要求

在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.（三）情感与价值观要求

通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力.教学重点

让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.4222教学难点

让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.教学过程

一、创设问题情境，引入新课

因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？

在前面我们不仅学习了平方差公式

22（a+b）（a－b）=a－b 而且还学习了完全平方公式

222（a±b）=a±2ab+b本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.二、讲授新课

1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？ 将完全平方公式倒写： a2+2ab+b2=（a+b）2;a2－2ab+b2=（a－b）2.便得到用完全平方公式分解因式的公式.请大家互相交流，找出这个多项式的特点.从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解.左边的特点有（1）多项式是三项式；

（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.右边特点：这两数或两式和（差）的平方.用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.2222形如a+2ab+b或a－2ab+b的式子称为完全平方式.由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.练一练.下列各式是不是完全平方式？

2（1）a－4a+4;22（2）x+4x+4y;（3）4a+2ab+2212b;42（4）a－ab+b;2.例题讲解

［例1］把下列完全平方式分解因式：

2（1）x+14x+49;2（2）（m+n）－6（m +n）+9.分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.2222解：（1）x+14x+49=x+2×7x+7=（x+7）

2222（2）（m +n）－6（m +n）+9=（m +n）－2·（m +n）×3+3=［（m +n）－3］=（m +n －3）.［例2］把下列各式分解因式：

2222（1）3ax+6axy+3ay;（2）－x－4y+4xy.分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.22解：（1）3ax+6axy+3ay

22=3a（x+2xy+y）

2=3a（x+y）

22（2）－x－4y+4xy

22=－（x－4xy+4y）

22=－［x－2·x·2y+（2y）］

2=－（x－2y）

三、课堂练习

1.随堂练习见书本

2.补充练习：把下列各式分解因式：

2（1）（x+y）+6（x+y）+9;2mn2m2（2）－+n;6144（3）4（2a+b）－12（2a+b）+9;212y24（4）xy－x－

5100四.课时小结

这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：（1）要求多项式有三项.（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式.五.课后作业习题2.5 六.活动与探究

写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a和b，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式.分析：本题属答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：①含字母a和b；②三项式；③提公因式后，再用公式法分解.参考答案： 32234ab－4ab+ab

22=ab（4a－4ab+b）=ab（2a－b）

七、教学反思：

本节课通过整式乘法的完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力；在运用公式法分解因式中，要有意识的引导学生，再熟悉乘法公 11 式的来历，以及乘法公式的结构，多注意培养学生认真观察地良好习惯。基本完成了既定的教学目标，是一堂较成功的新课。

§2.4 回顾与思考

教学目标

（一）知识认知要求

1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式.2.熟悉本章的知识结构图.（二）能力训练要求

通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力.（三）情感与价值观要求

通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.教学重点

综合应用提公因式法,运用公式法分解因式.教学难点

利用分解因式进行计算及讨论.教学过程

一、创设问题情境,引入新课

前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下.二、新课讲解

（一）讨论推导本章知识结构图

请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些?（1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念.（2）分解因式与整式乘法的关系.（3）分解因式的方法.很好.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢?（若学生有困难,教师可给予帮助）

（二）重点知识讲解

下面请大家把重点知识回顾一下.1.举例说明什么是分解因式.3222322如15xy+5xy－20xy=5xy（3xy+1－4y）

3222322把多项式15xy+5xy－20xy分解成为因式5xy与3xy+1－4y的乘积的形式,就是把多32223项式15xy+5xy－20xy分解因式.学习因式分解的概念应注意以下几点:（1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等.（2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止.2.分解因式与整式乘法有什么关系? 分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形.如:ma+mb+mc=m（a+b+c）从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法.3.分解因式常用的方法有哪些? 提公因式法和运用公式法.可以分别用式子表示为:ma+mb+mc=m（a+b+c）a2－b2=（a+b）（a－b）a2±2ab+b2=（a±b）2 4.例题讲解

［例1］下列各式的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?说明理由.2（1）x+3x+4=（x+2）（x+1）+2 232（2）6xy=3xy·2xy

2（3）（3x－2）（2x+1）=6x－x－2（4）4ab+2ac=2a（2b+c）分析：解答本题的依据是因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式是因式分解，否则不是.解:（1）不是因式分解,因为右边的运算中还有加法.23（2）不是因式分解,因为6xy不是多项式而是单项式,其本身就是积的形式,所以不需要再因式分解.（3）不是因式分解,而是整式乘法.（4）是因式分解.［例2］将下列各式分解因式.433425（1）8ab－4ab+2ab;2233（2）－9ab+18ab－27ab;（3）112－x;49

22（4）9（x+y）－4（x－y）;433425解:（1）8ab－4ab+2ab 2322=2ab（4a－2ab+b）;2233（2）－9ab+18ab－27ab

2233=－（9ab－18ab+27ab）

22=－9ab（1－2ab+3ab）;1121212－x=（）－（x）49231111=（+ x）（－x）;2323（3）（4）9（x+y）－4（x－y）

22=［3（x+y）］－［2（x－y）］ =［3（x+y）+2（x－y）］［3（x+y）－2（x－y）］ =（3x+3y+2x－2y）（3x+3y－2x+2y）=（5x+y）（x+5y）;［例3］把下列各式分解因式: 7333（1）xy－xy;4224（2）16x－72xy+81y;2

213 解:（1）xy－xy 334=xy（x－1）3322=xy（x+1）（x－1）332=xy（x+1）（x+1）（x－1）

4224（2）16x－72xy+81y

222222=（4x）－2·4x·9y+（9y）

222=（4x－9y）

2=［（2x+3y）（2x－3y）］

22=（2x+3y）（2x－3y）.从上面的例题中,大家能否总结一下分解因式的步骤呢? 分解因式的一般步骤为:（1）若多项式各项有公因式,则先提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.三、课堂练习1.把下列各式分解因式

22（1）16a－9b;222（2）（x+4）－（x+3）;22（3）－4a－9b+12ab;2（4）（x+y）+25－10（x+y）2.利用因式分解进行计算（1）9x+12xy+4y,其中x=（2）（22733

341,y=－;32ab2ab21）－（）,其中a=－,b=2.228四.课时小结

1.师生共同回顾,总结因式分解的意义,因式分解的方法及一般步骤,其中要特别指出:必须使每一个因式都不能再进行因式分解.2.利用因式分解简化某些计算.五、课后作业 复习题 A组

六、活动与探究

22求满足4x－9y=31的正整数解.22分析:因为4x－9y可分解为（2x+3y）（2x－3y）（x、y为正整数），而31为质数.2x3y312x3y1所以有或

2x3y12x3y31解：∵4x－9y=31 ∴（2x+3y）（2x－3y）=1×31 ∴222x3y312x3y1或

2x3y12x3y31x8x8或

y5y5解得因所求x、y为正整数，所以只取x=8,y=5.七、教学反思：

本节课采用先个人、后小组、再全班学习的形式；重视引导每个学生都参与复习过程，并把思维训练落实到全班每个学生身上。给学生充分的时间进行独立、自由的回顾思考。新教材提出了一个严峻的问题：课堂教学的重心必须转变，由教向学的转变。过去是“以教为主”，现在要“以学为主”；过去是“重教”，现在要“重学”；过去提倡“为教服务”，现在鼓励“为学服务”。过去老师们是带着知识走向学生，现在则要带着学生走向知识。

第四篇：八年级数学下册《第三章 分式(二)》回顾与思考 北师大版（写写帮推荐）

八年级数学下册《第三章 分式

（二）》回顾与思考 北师大版

总体说明

本节是第二章《分式》的最后一节，占两个课时，这是第二课时，它主要让学生回顾在分式方程解法的基本步骤与解分式方程应用题的基本步骤，让学生能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示，发展学生的符号感．通过螺旋式上升的认识，让学生逐步了解怎样解决现实生活中的实际问题，培养学生的代数表达能力，使学生对实际问题的解决能有更深的认识和更强的数学能力及数学素养．

一、学生知识状况分析

学生的技能基础：学生已经学习了分式方程及分式方程应用题等有关概念，对解决与分式方程相关的实际问题有了一定的基础与认识．

学生活动经验基础： 在学习解方程及解决方程的应用题等实际问题的过程中，学生已经经历了观察、探究、讨论等活动方法，获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．

二、教学任务分析

在本章的学习中，学生已经掌握了分式方程和它的应用，本课时安排让学生对本部分内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对就的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的目标是： 知识与技能：

（1）能熟练地解分式方程；

（2）能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示．

数学能力：

（1）通过解分式方程，使学生了解转化的思想方法；

（2）关注对算理的理解，发展学生的代数表达能力，运算能力和有条理地思考问题的能力；

（2）提高学生解决实际问题的能力，发展学生的符号感，提高分析问题和解决问题的能力．

情感与态度：

（1）让学生了解数学与生活是不可分离的，生活是数学的载体；

（2）通过经历观察、归纳、类比、猜想等思维过程，进而学会反思自己的思维过程．

三、教学过程分析

本节课设计了六个教学环节：回顾——做一做——试一试——想一想——反馈练习——课后练习．

第一环节回顾

活动内容：

1、解分式方程有哪些步骤？

2、解分式方程应用题有哪些步骤？

活动目的：

通过学生的回顾与思考，加深学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤的认识． 教学效果：

有了前几节课的学习，学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤有了较清楚的认识与理解．

第二环节做一做

活动内容：

解下列分式方程：

（1）1253x22（2）x1x1x11x

5x12361（4）2 x44xx11xx1（3）

活动目的：

通过对分式方程的解答，使学生明白解分式方程的关键是把分式方程转化为整式方程． 教学效果：

学生能够理解解分式方程的步骤，但有部分学生在去分母时，会出现整数不乘公分母，如第（2）（3）两小题．

第三环节试一试

活动内容：

1、在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．

（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；

（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．

2、A、B两地相距80千米，甲骑车从A地出发1小时后，乙也从A地出发，用相当于甲1.5倍的速度追赶，当追到B地时，甲比乙先到20分钟，求甲、乙的速度．

活动目的：

（1）让学生能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示，发展学生的符号感．

（2）通过解决生活中的实际问题，提高分析问题和解决问题的能力．

教学效果：

由于在前一阶段学生已经有了一些解决实际问题的基础，学生在解决比较简单的问题时较好，但也有少数学生很难把生活中的实际问题与数学结合到一起，思维上有一定的障碍．

第四环节想一想

活动内容：

某顾客第一次在商店买了若干件小商品花去了5元，第二次再去买该小商品时，发现每一打（12件）降价0.8元，他这一次购买该小商品的数量是第一次的两倍，这样，第二次共花去2元，问他第一次买的小商品是多少件？

活动目的：

通过螺旋式上升的认识，进一步发展学生的符号感，提高解决实际问题的能力． 教学效果：

学生对抽象思维较难理解，但可以进行现场模拟这个情景，使学生从感性认识中发展到抽象思维，让大多数学生能够找到解决问题的钥匙．

第五环节反馈练习

活动内容：

1、选择题：

（1）一个工人生产零件，计划30天完成，若每天多生产5个，则在26天里完成且多生产10个，若设原计划每天生产x个，则这个工人原计划每天生产多少个零件？根据题意可列方程（）

30x1018018030x1030x26C3 26B2610DAx5x2xx5x5

（2）几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两名同学，租车价不变，结果每个同学比原来少分摊了3元车费．若设参加旅游的学生共有x人，则根据题意可列方程（）

***033B、A、x2xxx2

***033C、D、xx2x2x2、解下列方程：

3x2x14 2（2）（1）x22xx1x3、某厂第一车间加工一批毛衣，4天完成了任务的一半，这时，第二车间加入，两车间共同工作两天后就完成了任务并超额完成任务的数．

活动目的：

通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求．教学效果：

部分学生能举一反三，较好地掌握分式方程及其应用题的有关知识与解决生活中的实际问题等基本技能．

第六环节课后练习

课本第96页复习题第4、9、10、11题； 1，求第二车间单独加工这批毛衣所用的天1

2四、教学反思

数学来源于生活，并应用于生活，让学生用数学的眼光观察生活，除了用所学的数学知识解决一些生活问题外，还可以从数学的角度来解释生活中的一些现象，面向生活是学生发展的“源头活水”．

在解决实际生活问题的实例选择上，我们尽量选择学生熟悉的实例，如：学生身边的事，购物，农业，工业等方面，让学生真切地理解数学来源于生活这一事实。有些学生对应用题有一种心有余悸的感觉，其关键是面对应用题不知怎样分析、怎样找到等量关系。在教学中，如果采用列表的方法可帮助学生审题、找到等量关系，从而学会分析问题。可能学生最初并不适应这种做法，可采用分步走的方法，首先，让学生从一些简单、类似的问题中模仿老师的分析方法，然后在练习中让学生悟出解决问题的窍门，学会举一反三，最后达到能独立解决问题的目的。

第五篇：八年级地理下册导学案

以河流为生命线的地区——长江沿江地带导学案（八年级地理）

设计者：陈博文审核人：李荣荣

授课时间：2012年5月 日 【教学目标】

1.让学生认识长江沿江地带优越的地理位置和得天独厚的自然条件。

2.让学生认识长江沿江地带区内主要地理差异，以及河流在区域发展中的作用。3.认识长江对沿江地带的纽带作用和其他条件所形成的城市群和产业基地以及沿江地带南北的辐射作用。

4.认识长江沿江地带区域产业的结构与空间分布特点。

5.了解长江沿江地带在经济发展中出现的生态问题与治理保护措施。

【教学重、难点】

重点：1.长江对沿江东西地带的纽带作用和由沿江地带纵贯南北的辐射作用。2.长江沿江地带的产业结构与空间分布特点。

难点：长江对沿江东西地带的纽带作用和由沿江地带纵贯南北的辐射作用。

【学习过程】

一、自主探究：

1.选择题

（1）京沪铁路经过下列哪个城市（）

A.武汉B.南京C.杭州D.上海（2）在武汉交汇的铁路线有（）

A.京九线B.京广线C.汉丹线D.京沪线（3）被誉为“九省通衢”的城市是（）

A.上海B.重庆C.武汉D.杭州

（4）长江最长支流在下列哪个城市汇入长江（）

A.上海B.长沙C.重庆D.武汉（5）关于上海叙述不正确的是（）

A.全国最大城市B.全国最大的综合性工业基地C.全国最大的科技教育中心D.位于长江入海口，是全国最大港口

2.绘出长江沿江地带“H”形经济格局略图。简述长江沿江地带的纽带和辐射作用。

二、合作交流：

小组内交流“自主学习”的成果。

三、拓展延伸：

结合所学内容、分析黄河沿岸没有成为世界著名沿河产业带的原因。（从自然因素和社会因素两方面分析）

四、系统总结：

长江沿江地带沟通沿海经济发达地区与西部资源富集地区，是承东启西的纽带。长江沿江地带拥有很多城市，对区域经济发展具有强大的辐射和带动作用。

五、巩固练习：做《综合能力训练》相关题目。

六、学习感悟：