对高考数学“两角和公式的证明”命题的思考

第一篇：对高考数学“两角和公式的证明”命题的思考

对高考数学“两角和公式的证明”命题的思考 今年的高考数学命题，让我们所有数学教师和学生不得不对数学考试大纲和新教材的学习方法重新审视。现将我的心得体会分述如下。

一，教师教学方式的转变。

传统教学是注入式教学，基本方式是“输入信息——反馈信息——补充和纠正信息”。“两角和公式的证明”的推导，基本上都是由教师来完成的，学生作为被动的、重视的听众。将公式背下来，会利用其解题就可以了。未经自己分析、概括、比较，对知识缺乏深入理解和领会。结果是：学生对数学知识记不牢，更不能灵活运用。

而新课程改革方案明确提出：有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、合作交流与自主探究是学生学习数学的重要方式。而今年高考命题思维的转变，是对新课程改革的最好诠释。教师应该换主动权与学生。

二，学生学习方式的转变。

课堂教学中教师应致力于探索激发学生学习兴趣的课堂形式，创设真实的问题情境，提供学生探索与交流的时间与空间。反对过去僵化的为“高分”而解题，反对题海战术。学生应在学习活动中，培养自己的创新精神和实践能力。让学生的学习成为“研究性学习”的模式。构建一个以情景为基础，提出问题与解决问题相互引发共同并进的“情景——问题”学习链。

三，教学理念的转变。

新课程标准要求学生真正成为课堂的主人，成为知识的“发现者”的“创造者”。使教学过程成为学生主动获取知识、启迪智慧、发展能力、体验数学的过程。教师成为学生学习的合作者、引导者，教师与学生是平等的关系。高考命题的转变，对我们提出了新的要求，立足新课标，认真钻研教材，探索新方法。

四，教学过程设计的转变。

在我今后的教学“两角和公式的证明”时，我想应该做到以下几点。1，创设学生生活中熟悉而感兴趣的数学情境。2，启发学生将现实问题转化、抽象、概括成数学问题。3，学生为了解决提出的数学问题，自主探索、合作交流、估算猜测，教师启发诱导，师生共同归纳总结。4，在“师生”与“生生”双边互动中，展示学生的数学思维建构的过程。培养学生推理、证明的能力。5，让学生用自己“发明”的“两角和的公式”来解决相关问题。体验数学来源于生活，又服务于生活的道理。

五，教学课堂的转变。

传统的教学课堂，要求“堂堂清”，对本堂课的知识点、内容完全掌握是最高境界。而新课程标准要求，学生不能仅仅停留在课堂的探索上。而要引导学生课后继续探究，把课堂延伸到课外。两角和的公式探索方法很多。可以利用单位圆中的三角函数线，可以利用不同角度探索公式„„这些探索证明方法的建构，都有着丰富的数学思想方法。让学生产生“欲罢不能”的求知欲望，惊声振奋地投入学习。从而使其获得良好的学习效果。

总之，高考命题思路的转变，对新课程改革的促进是一个良好开端。教师在今后的教学中就可以大胆实践，而没有后顾之忧。教师大胆的激发学生学习积极性，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。

第二篇：高二数学教案：三角函数两角和公式

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两角和公式

sin(A+B)= sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)= sinAcosB-cosAsinB  cos(A+B)= cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)= cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

Sin2A=2SinA•CosA Cos2A=Cos^A-Sin^A=1-2Sin^A=2Cos^A-1 tan2A=2tanA/1-tanA^2

三倍角公式

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)

半角公式

和差化积

sin(a)+sin(b)= 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

sin(a)-sin(b)= 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] cos(a)+cos(b)= 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] cos(a)-cos(b)=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

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积化和差

sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]

+cos(a)cos(b)= 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]

sin(a)cos(b)= 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

cos(a)sin(b)= 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]

诱导公式

sin(-a)=-sin(a)

cos(-a)= cos(a)

sin(π/2-a)= cos(a)

cos(π/2-a)= sin(a)sin(π/2+a)= cos(a)

cos(π/2+a)=-sin(a)sin(π-a)= sin(a)

cos(π-a)=-cos(a)

sin(π+a)=-sin(a)

cos(π+a)=-cos(a)

tanA= sinA/cosA

万能公式

其它公式

其他非重点三角函数

csc(a)= 1/sin(a)

sec(a)= 1/cos(a)

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双曲函数

sinh(a)= [e^a-e^(-a)]/2

cosh(a)= [e^a+e^(-a)]/2

tg h(a)= sin h(a)/cos h(a)公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα

tan（2kπ＋α）= tanα cot（2kπ＋α）= cotα

公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）=-sinα cos（π＋α）=-cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα

公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin（-α）=-sinα cos（-α）= cosα tan（-α）=-tanα cot（-α）=-cotα

公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π-α）= sinα cos（π-α）=-cosα tan（π-α）=-tanα cot（π-α）=-cotα

公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π-α）=-sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）=-tanα cot（2π-α）=-cotα

公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2+α）= cosα

cos（π/2+α）=-sinα tan（π/2+α）=-cotα

cot（π/2+α）=-tanα sin（π/2-α）= cosα

cos（π/2-α）= sinα tan（π/2-α）= cotα

cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2+α）=-cosα

cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）=-cotα

cot（3π/2+α）=-tanα sin（3π/2-α）=-cosα

cos（3π/2-α）=-sinα tan（3π/2-α）= cotα

cot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z)

这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用

A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ)=

√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[(A•sinθ+B•sinφ)/ √{A^2 +B^2;+2ABcos(θ-φ)} }

√表示根号,包括{……}中的内容

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第三篇：两角和与差的正弦公式教案

两角和、差正弦公式

一、教学目标

1.知识技能目标：理解两角和、差的正弦公式的推导过程，熟记两角和与差的正弦公式，运用两角和与差的正弦公式，解决相关数学问题。2.过程方法与目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3.情感态度价值观：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

二、教学重、难点

1.教学重点：两角和、差正弦公式的推导过程及运用； 2.教学难点：两角和与差正弦公式的灵活运用.三、教学过程

（一）导入：

回顾两角和与差的余弦公式：

coscoscossinsin；coscoscossinsin．

推导：

sincoscoscoscossinsin2222sincoscossin．

sinsinsincoscossinsincoscossin特例：sin()cos 23)cos sin（（二）例题讲解

例

1、利用和（差）公式求sin75和sin15的值。

232162**222244sin75ｏ＝sin(45o+30o)=sin45ocos30o+cos45osin30osin15osin(45o30o)sin45ocos30ocos45osin30o另：sin15osin(90o75o)cos75o

232162**222244例

2、已知sin23,(0,),cos,(,),求sin()与sin()3242的值。（又若,是第二象限角时）

522 sin,0, cos1sin213332733 cos,, sin1cos214442222357635 sin()sincoscossin**343412

2357635 sin()sincoscossin**343412例

3、不查表求下列各式的值：

25112511coscossin126126（1）sin7ocos37osin37ocos7o（2）2sin解：sin(7o37o)sin30o解：sin(25112 )sin12642（3）sin(3)sin(3)

coscossinsincoscossin33333131 cossincossin

22223cossin

2cos10osin20o（4）

sin70o

2cos10o－sin（30o10o)sin70o2cos10osin30ocos10ocos30osin10osin70 0132cos10ocos10osin10o22 osin7033cos10osin10o22sin70o（331cos10osin10o)22osin70 sin70o

3sin10o60o3例

4、求证:cos3sin2sin(6)

)2(sincoscossin)66613证明：2(cossin)

22cos3sin2sin(11tan,sin(),则23tan=__________5_______ 例

五、已知sin()sintancossincos sintancossincos

（三）课堂练习：

35,cosB,则sin(AB)513的值为(A)在ABC中，cosA

56165616 A、65 B、65 C、65 D、65

四、小结：本节我们学习了两角和与差正弦公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.五、板书设计： 1.两角和正弦公式

sinsincoscossin 2.两角差正弦公式

sinsincoscossin

推导过程

例题

练习

第四篇：2012届高考数学一轮复习教案：4.4 两角和与差、二倍角的公式(三)

4.4 两角和与差、二倍角的公式

（三）●知识梳理 1.化简要求

（1）能求出值的应求出值.（2）使三角函数种数、项数尽量少；分母尽量不含三角函数；被开方式尽量不含三角函数.2.化简常用方法

（1）活用公式（包括正用、逆用、变形用）.（2）切割化弦、异名化同名、异角化同角等.3.常用技巧

（1）注意特殊角的三角函数与特殊值的互化.（2）注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质.（3）注意利用角与角之间的隐含关系.（4）注意利用“1”的恒等变形.●点击双基

3+sinαsinβ的一组α、β的值是 213π3πππA.α=，β=

B.α=，β=

124231.满足cosαcosβ=C.α=ππ，β=

D.α=

ππ，β= 36解析：由已知得cos（α+β）=答案：A 2.已知tanα和tan（A.b=a+c

C.c=b+a

3，代入检验得A.2π－α）是方程ax2+bx+c=0的两个根，则a、b、c的关系是

4B.2b=a+c D.c=ab

πbbtantan（），π4a解析：∴tan=a=1.cπc4tantan1（），a4a∴－bc=1－.∴－b=a－c.∴c=a+b.aasinxcosx的值域为

1sinxcosx答案：C 3.f（x）=A.（－3－1，－1）∪（－1，3－1）B.［C.（2121，－1）∪（－1，］ 223131，）22第1页（共7页）

D.［2121，］ 22π）∈［－2，－1）∪（－1，2］，4解析：令t=sinx+cosx=2sin（x+t212121t1则f（x）=2=∈［，－1）∪（－1，］.1t222答案：B 4.已知cosα－cosβ=

11，sinα－sinβ=，则cos（α－β）=_______.2311，（sinα－sinβ）2=.491359.∴cos（α－β）=.3672解析：（cosα－cosβ）2=两式相加，得2－2cos（α－β）=答案：59 72●典例剖析 【例1】 求证：sin（2）sin－2cos（α+β）=.sinsin剖析：先转换命题，只需证sin（2α+β）－2cos（α+β）·sinα=sinβ，再利用角的关系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）－α=β可证得结论.证明：sin（2α+β）－2cos（α+β）sinα =sin［（α+β）+α］－2cos（α+β）sinα

=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα－2cos（α+β）sinα =sin（α+β）cosα－cos（α+β）sinα=sin［（α+β）－α］=sinβ.两边同除以sinα得 sin（2）sin－2cos（α+β）=.sinsin评述：证明三角恒等式，可先从两边的角入手——变角，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略.【例2】 P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=2α，求证：椭圆的离心率为e=2cosα－1.剖析：依据椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|，2c=|F1F2|，∴e=在△PF1F2中解此三角即可得证.证明：在△PF1F2中，由正弦定理知

2c.2a|PF1||PF2||F1F2|==.sin2sinsin（π3）第2页（共7页）

由比例的性质得|F1F2||PF1||PF2|= sin3sin2sin|F1F2|sincos2cossin2sin3e===

|PF1||PF2|sin2sinsin2sincos2sin（2cos2）2sincos2=

sin（12cos）4cos21==2cosα－1.2cos评述：恰当地利用比例的性质有事半功倍之效.深化拓展

求cot10°－4cos10°的值.分析：给出非特殊角，怎样化为特殊角或非特殊角，互相抵消、约分求出值.提示：cot10°－4cos10° =cos10cos102sin20－4cos10°=

sin10sin1031cos20sin202sin20cos（3020）2sin202==2

sin10sin1033cos20sin203sin（3020）2=2==3.sin10sin10答案：3.●闯关训练

夯实基础

1.（2003年高考新课程卷）已知x∈（－A.7 24π4，0），cosx=，则tan2x等于 2B.－

4C.24 7

D.－

7解析：∵cosx=4π33，x∈（－，0），∴sinx=－.∴tanx=－.525432tanx2=－3×16=－24.∴tan2x==

2771tan2x1916答案：D 2.（2004年春季北京）已知sin（θ+π）＜0，cos（θ－π）＞0，则下列不等关系中必定成立的是

A.tanC.sin2＜cot＜cos2

B.tanD.sin

2＞cot＞cos

2 2222第3页（共7页）

解析：由已知得sinθ＞0，cosθ＜0，则tan

2－cot

2sin2－2cos=cos2=－2cos＞0.sinsin2∴tan2＞cot2.答案：B 3.下列四个命题中的假命题是

A.存在这样的α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ B.不存在无穷多个α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ C.对于任意的α、β，cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ

D.不存在这样的α、β，使得cos（α+β）≠cosαcosβ－sinαsinβ

解析：由cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcosβ－sinαsinβ，得 sinαsinβ=0.∴α=kπ或β=kπ（k∈Z）.答案：B 4.函数y=5sinx+cos2x的最大值是_______.解析：y=5sinx+cos2x=5sinx+1－2sin2x=－2（sinx－

5233）+.48∴sinx=1时，ymax=4.答案：4 5.求周长为定值L（L＞0）的直角三角形的面积的最大值.L解法一：a+b+a2b2=L≥2ab+2ab.∴ab≤.22∴S=

L（22）L23222111ab≤（）2=·［］=L.2422222解法二：设a=csinθ，b=ccosθ.∵a+b+c=L，∴c（1+sinθ+cosθ）=L.∴c=

L1sincos.sincosL212∴S=csinθcosθ=.22（21sincos）设sinθ+cosθ=t∈（1，2］，t212L2L2L23222t1L222则S=·=·=（1－）≤（1－）=L.22（4444t1t11t）216.（2004年湖南，17）已知sin（2sin2α+tanα－cotα－1的值.ππ1ππ+2α）·sin（－2α）=，α∈（，），求44442第4页（共7页）

解：由sin（α）=ππππ1π+2α）·sin（－2α）=sin（+2α）·cos（+2α）=sin（+4444422111cos4α=，得cos4α=.242ππ5π，），所以α=.4212又α∈（sin2cos22cos2于是2sinα+tanα－cotα－1=－cos2α+=－cos2α+

sincossin25π5π=－（cos2α+2cot2α）=－（cos+2cot）

662=－（－35－23）=22培养能力

3.7.求证：1sin2sin21tan2.2=1tan22（sincos）cossin1sin2222，证明：左边===

coscos2sin2cossin2222sin1cos22=coscos2sinsin2，右边=sin1cos2222∵左边=右边，∴原式成立.8.（2005年春季北京，15）在△ABC中，sinA+cosA=

2，AC=2，AB=3，求tanA的值2和△ABC的面积.分析：本题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力.21，∴cos（A－45°）=.22又0°＜A＜180°，∴A－45°=60°，A=105°.解法一：∵sinA+cosA=2cos（A－45°）=∴tanA=tan（45°+60°）=

1313=－2－3.∴sinA=sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=∴S△ABC=1AC·ABsinA 2第5页（共7页）

26.4

=2631·2·3·=（2+6）.4242，2解法二：∵sinA+cosA=∴（sinA+cosA）2=

①

11.∴2sinAcosA=－.223，2∵0°＜A＜180°，∴sinA＞0，cosA＜0.∴90°＜A＜180°.∵（sinA－cosA）2=1－2sinAcosA=∴sinA－cosA=①+②得sinA=①－②得cosA=6.②

26.426.4∴tanA=

426sinA=·=－2－3.4cosA26（以下同解法一）

探究创新

9.锐角x、y满足sinycscx=cos（x+y）且x+y≠

π，求tany的最大值.2解：∵sinycscx=cos（x+y），∴sinycscx=cosxcosy－sinxsiny，siny（sinx+cscx）=cosxcosy.∴tany=

sinxcosxtanxtanx2cosxsinxcosx===≤=，4sinxcscx1sinx2sin2xcos2x12tan2x22tanx2时取等号.22.4当且仅当tanx=∴tany的最大值为●思悟小结

1.证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归

一、变更命题等方法，使等式两端的“异”化为“同”.2.条件等式的证明，通过认真观察，发现已知条件和待证等式之间的关系，选择适当的途径把条件用上去.常用方法有代入法、消去法、综合法（即从已知条件出发，以待证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出待证式）、分析法等.3.三角函数的应用主要是借用三角函数的值域求最值，这首先应将原函数通过降幂、辅助角公式等化成y=Asin（ωx+）（A≠0，ω＞0）的形式，或者通过换元转化成二次函数，然后再求之.●教师下载中心 教学点睛

1.三角恒等式的证明实际上就是三角函数式的化简过程.2.有条件的三角函数求值有两个关键：①三角函数各关系式及常用公式的熟练应用.②条

第6页（共7页）

件的合理应用：注意条件的整体功能，注意将条件适当简化、整理或重新改造组合，使其与所计算的式子更加吻合.3.注意方程思想的应用.拓展题例

【例1】 试证：tan（1sin）sintansin=.tan（1sin）sintansinsin（1sin）sin证明：左边=cos

sin（1sin）sincos1sincos=sincos2sin2sin2coscos22cos22sin22=

cos=

2222=cot，2sin2sinsin1coscos右边==

sinsinsincos2cos22=2sin2cos2=cot2，∴原等式成立.【例2】 已知α、β∈（0，β的值.解：∵4tan

π），3sinβ=sin（2α+β），4tan=1－tan2.求α+4221.22=1－tan2

2，∴2·tanα=1，tanα=∵3sinβ=sin（2α+β），∴3sinβ=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα.∴3sin（α+β）cosα－3cos（α+β）sinα =sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα.∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα.∴tan（α+β）=2tanα=1.∴α+β=

π.4评述：角的变换是常用技巧.如2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）－α等.第7页（共7页）

第五篇：两角和差正余弦公式的证明

两角和差正余弦公式的证明

北京四中数学组 皇甫力超

论文摘要：

本文对两角和差的正余弦公式的推导进行了探讨。在单位圆的框架下 , 我们得到了和角余弦公式(方法 1)与差角余弦公式(方法 2)。在三角形的框架下 , 我们得到了和角正弦公式(方法 3 ~11)与差角正弦公式(方法 12,13)。

关键词：

两角和差的正余弦公式 正文：

两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。

由角 , 的三角函数值表示 的正弦或余弦值 , 这正是两角和差的正余弦公式的功能。换言之 , 要推导两角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一个等式或方程 , 将 或

与 , 的三角函数联系起来。的三角函数。因此 , 由和角公式容根据诱导公式 , 由角 的三角函数可以得到

易得到对应的差角公式 , 也可以由差角公式得到对应的和角公式。又因为 , 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 据此 , 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。因此 , 只要解决这组公式中的一个 , 其余的公式将很容易得到。

(一)在单位圆的框架下推导和差角余弦公式 注意到单位圆比较容易表示 ，和 , 而且角的终边与单位圆的交点坐标可

与 , 的三以用三角函数值表示 , 因此 , 我们可以用单位圆来构造联系 角函数值的等式。

1.和角余弦公式

(方法 1)如图所示, 在直角坐标系 角 的始边为 于点 C；角 , 交 始边为 ,由两点间距离公式得

；

于点 A, 终边交 , 终边交

中作单位圆 , 并作角 , 和 , 使

于点 B；角 始边为 , 终边交 ，于点。从而点 A, B, C和 D的坐标分别为,。

注意到 , 因此。

注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架 , 利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。注意, 公式中的 和 为任意角。

2.差角余弦公式

仍然在单位圆的框架下 , 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是

(方法2)如图所示, 在坐标系 的始边均为 , 交

于点 C, 角 ,中作单位圆 终边交

。, 并作角 和 , 使角 和

于点 A,角 终边交 于点。从而点 A, B的坐标为由两点间距离公式得。

由余弦定理得。

从而有。

注记：方法 2 中用到了余弦定理 , 它依赖于 要补充讨论角 和 的终边共线, 以及 情形中依然成立。

在上边的证明中 , 用余弦定理计算

是三角形的内角。因此, 还需

大于 的情形。容易验证 , 公式在以上的过程也可以用勾股定理来进行。

(二)在三角形的框架下推导和差角正弦公式

除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式 , 还可以在三角形中构造和角或差角来证明和差角的正弦公式。

1.和角正弦公式(一)

(方法3)如图所示, , ，为 的

边上的高 ，为

边上的高。设 , 则。从而有 , , 。

因此 。

注意到 从而有 , , 整理可得。

注记：在方法 3 中 , 用 边上高

和与底角 , 相关的三角函数, 从两个角度来表示 , 从而得到所希望的等式关系。这一证明所用的图形是基于钝角三角形的 , 对基于直角或锐角三角形的情形 , 证明过程类似。

利用方法 3 中的图形 , 我们用类似于恒等变形的方式 , 可以得到下面的

(方法 4)如图所示, , , 则

为 的。

边上的高 ，为

边上的高。设

注意到 , 则有,即。从而有。

利用正弦定理和射影定理 , 将得到下面这个非常简洁的证法。注意证明利用的图形框架与方法 3,4 所用的图形框架是相同的。

(方法 5)如图所示 , 则有

为 的

边上的高。设 , , ,。由正弦定理可得 , 其中 d为 的外接圆直径。

由 得 , 从而有。

2.和角正弦公式(二)方法 3,4 和 5 利用的图形框架是将角 , 放在三角形的两个底角上。如果将这两个角的和作为三角形的一个内角 , 将会有下面的几种证法(方法 6~11)。

(方法 6)如图所示 , 作 , , 则

于D, 交 , ,外接圆于 E, 连。

和

。设设 的外接,圆直径,为 d, 则有。

所以有。

注意到 , 从而。

(方法 7)如图所示 , , , 则

为 的

边上的高 , , 则

为

边上的高。设

。设 , , ,。, 又

从而。整理可得。

(方法 8)如图所示 , 作 设 。

于D, 过 D作 , 则 ,于 F, ,设

于G。, 从而 ,所以。

注意到 , 则有。

注记：我们用两种不同的方法计算 法来计算 , 得到了和角的正弦公式。如果我们用两种方, 则可以得到和角的余弦公式。由上图可得 , , 从而有而可得。

。注意到 , 从方法 6,7 和 8 都是用角 , 的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段 , 从而构造出我们所希望的等式关系。

(方法 9)如图所示 , 设 ,，为 的

边上的高。设 , , 从而有

方法 9 利用面积关系构造三角恒等式。下面这两个证法的思路则有所不同。

(方法 10)如图所示 , 设 , 则

为 , 从而 的外接圆直径d, 长度为d。设 ，注记：这一证明用到了托勒密定理：若 和。

是圆内接四边形的对角线 , 则有

(方法 11)如图所示 , 则。设

为 , 则 的

边上的高。设 , ，方法 10 和 11 将某一线段作为基本量 , 利用与角 ，相关的三角函数表示其它线段 , 再通过联系这些线段的几何定理(托勒密定理或正弦定理), 构造出我们希望的等式关系。

3.差角正弦公式

仍然还是在三角形中 , 我们可以在三角形的内角里构造出差角来。方法 12 和 13 便是用这种想法来证明的。

(方法 12)如图所示 ,于 E, 则 。设 , , 从而有 , 记 , 作

(方法 13)如图所示 , , 则 ，为 的外接圆直径 , 长度为 d。设。从而 ，方法 12 和 13 的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段 , 借此来构造等式关系。

很显然 , 在这十二种证法中 , 方法 1 和 2 更具普遍性。换言之 , 这两种方法中出现的角 , 是任意角。而其余方法中 , 角 和 则有一定的限制 , 它们都是三角形的内角(甚至都是锐角)。因此 , 对于方法 3~13, 我们需要将我们的结果推广到角 和

是任意角的情形。具体而言 , 我们要证明：如果公式对任意 任意角也成立。

容易验证 , 角 和

成立 , 则对

中至少有一个是轴上角(即终边在坐标轴上的角), 我们的公式是成立的。下面证明 , 角 和 都是象限角(即终边在坐标系的某一象限中的角)时 , 我们的公式也成立。不妨设 为第二象限角 , 为第三象限角 , 从而有

从而

同理可证, 公式对于象限角 3~13 推导的公式推广到角

和 的其它组合方式都成立。因此 , 我们可以将方法 , 是任意角的情形。

两角和差的正余弦公式是三角学中很基本的一组公式。其推导证明对指导学生进行探究性学习很有帮助。从上文中可以看到 , 这一探究过程可分为四个步骤：

(1)明确推导证明的目标：构造联系 和 等式或方程 ；

(2)简化课题：四个公式只要解决一个 , 其余的都可由它推出 ；(3)解决问题：利用单位圆或三角形作为联系

和

三角函数与

或

三角函数与

或 的的工具 , 寻找我们希望的等式关系 ；

(4)完善解决问题的方法：考察方法是否有普遍性。如果普遍性有欠缺 , 可考虑将其化归为已解决的情形 , 必要时还要进行分类讨论。

参考文献：

1.谷丹：全面数学教育观与知识形成过程的教学——三个教学个案及分析 , 《开放的视野 , 务实的努力》, 中央民族大学出版社 ,2006 年 3 月第 27 ~32 页。

2.人民教育出版社中学数学室：全日制普通高级中学教科书 << 数学(第一册下)>>(必修), 人民教育出版社 ,2003 年 12 月第 34 ~ 35 页。