第一篇：高考数学试卷（理科）（大纲版）（含解析版）,14级
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）设z=，则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i 2．（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（）A．（0，4] B．[0，4）C．[﹣1，0）D．（﹣1，0] 3．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b 4．（5分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（）A．2 B． C．1 D． 5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种 B．70种 C．75种 D．150种 6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1 7．（5分）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．1 8．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A． B．16π C．9π D． 9．（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A． B． C． D． 10．（5分）等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3 11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A． B． C． D． 12．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（）A．y=g（x）B．y=g（﹣x）C．y=﹣g（x）D．y=﹣g（﹣x）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）的展开式中x2y2的系数为 ．（用数字作答）14．（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为 ． 15．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于 ． 16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是 ． 三、解答题 17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B． 18．（12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=13，a2为整数，且Sn≤S4．（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn． 19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；
（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小． 20．（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望． 21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程． 22．（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明：＜an≤（n∈N*）． 2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）设z=，则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i 【考点】A1：虚数单位i、复数；
A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】5N：数系的扩充和复数． 【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求． 【解答】解：∵z==，∴． 故选：D． 【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2．（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（）A．（0，4] B．[0，4）C．[﹣1，0）D．（﹣1，0] 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解． 【解答】解：由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4． ∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}，又N={x|0≤x≤5}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0，4）． 故选：B． 【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题． 3．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b 【考点】HF：正切函数的单调性和周期性．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°=＞sin35°，综合可得． 【解答】解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，由正弦函数的单调性可知b＞a，而c=tan35°=＞sin35°=b，∴c＞b＞a 故选：C． 【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题． 4．（5分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（）A．2 B． C．1 D． 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+）•=0，（2+）•=0，由此求得||． 【解答】解：由题意可得，（+）•=+=1+=0，∴=﹣1；
（2+）•=2+=﹣2+=0，∴b2=2，则||=，故选：B． 【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题． 5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种 B．70种 C．75种 D．150种 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 【专题】5O：排列组合． 【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有15×5=75种；
故选：C． 【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同． 6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程． 【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1． 故选：A． 【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 7．（5分）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．1 【考点】62：导数及其几何意义．菁优网版权所有 【专题】52：导数的概念及应用． 【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率． 【解答】解：函数的导数为f′（x）=ex﹣1+xex﹣1=（1+x）ex﹣1，当x=1时，f′（1）=2，即曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，故选：C． 【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础． 8．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A． B．16π C．9π D． 【考点】LG：球的体积和表面积；
LR：球内接多面体．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
5F：空间位置关系与距离． 【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积． 【解答】解：设球的半径为R，则 ∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=． 故选：A． 【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题． 9．（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A． B． C． D． 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论． 【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，∴e=，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A|﹣|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，则由余弦定理得cos∠AF2F1===． 故选：A． 【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力． 10．（5分）等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3 【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出． 【解答】解：∵数列{an}是等比数列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10． ∴lga1+lga2+…+lga8 =lg（a1a2•…•a8）= 4lg10 =4． 故选：C． 【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题． 11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A． B． C． D． 【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 【专题】5G：空间角． 【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案． 【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF，∵AE⊥l ∴∠EAC=90° ∵CD∥AF 又∠ACD=135° ∴∠FAC=45° ∴∠EAF=45° 在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=a，在Rt△AEF中，则EF=a，AF=a，在Rt△BEF中，则BF=2a，∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF===． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题． 12．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（）A．y=g（x）B．y=g（﹣x）C．y=﹣g（x）D．y=﹣g（﹣x）【考点】4R：反函数．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，代入解析式变形可得． 【解答】解：设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，又∵函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，∴P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，∴必有﹣y=g（﹣x），即y=﹣g（﹣x）∴y=f（x）的反函数为：y=﹣g（﹣x）故选：D． 【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）的展开式中x2y2的系数为 70 ．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】5P：二项式定理． 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数． 【解答】解：的展开式的通项公式为 Tr+1=•（﹣1）r••=•（﹣1）r••，令 8﹣=﹣4=2，求得 r=4，故展开式中x2y2的系数为 =70，故答案为：70． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 14．（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为 5 ． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）． 化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得． 由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大． 此时zmax=1+4×1=5． 故答案为：5． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 15．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于． 【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ= 的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=，计算求得结果． 【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA==，圆的半径为r=，∴sinθ==，∴cosθ=，tanθ==，∴tan2θ===，故答案为：． 【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题． 16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（﹣∞，2] ． 【考点】HM：复合三角函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用；
57：三角函数的图像与性质． 【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围． 【解答】解：由f（x）=cos2x+asinx =﹣2sin2x+asinx+1，令t=sinx，则原函数化为y=﹣2t2+at+1． ∵x∈（，）时f（x）为减函数，则y=﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=． ∴，解得：a≤2． ∴a的取值范围是（﹣∞，2]． 故答案为：（﹣∞，2]． 【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题． 三、解答题 17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B． 【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；
HP：正弦定理．菁优网版权所有 【专题】58：解三角形． 【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）即可得出． 【解答】解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=． ∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B= 【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 18．（12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=13，a2为整数，且Sn≤S4．（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn． 【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有 【专题】55：点列、递归数列与数学归纳法． 【分析】（1）通过Sn≤S4得a4≥0，a5≤0，利用a1=13、a2为整数可得d=﹣4，进而可得结论；
（2）通过an=13﹣3n，分离分母可得bn=（﹣），并项相加即可． 【解答】解：（1）在等差数列{an}中，由Sn≤S4得：
a4≥0，a5≤0，又∵a1=13，∴，解得﹣≤d≤﹣，∵a2为整数，∴d=﹣4，∴{an}的通项为：an=17﹣4n；
（2）∵an=17﹣4n，∴bn===﹣（﹣），于是Tn=b1+b2+……+bn =﹣[（﹣）+（﹣）+……+（﹣）] =﹣（﹣）=． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题． 19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；
（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小． 【考点】LW：直线与平面垂直；
MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；
（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得． 【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC ∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B；
（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF ∴A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD==1可知D为AC中点，∴DF==，∴tan∠A1FD==，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan 【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题． 20．（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望． 【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；
CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】记Ai表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PXi，再利用数学期望公式计算即可． 【解答】解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为 0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4 P（X=0）=（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）=0.06 P（X=1）=0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）=0.25 P（X=4）=P（A2•B•C）=0.52×0.6×0.4=0.06，P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25，P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38． 故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2 【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题． 21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程． 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得 p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为 x=my+1（m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程． 【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px（p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=． 又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）． 故C的方程为 y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为 x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4． ∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）． 又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为 x=﹣y+2m2+3． 过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得 y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）． 故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得 m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0． 【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题． 22．（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明：＜an≤（n∈N*）． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；
RG：数学归纳法．菁优网版权所有 【专题】53：导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；
（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=，①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函数，若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数． ②当a=2时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，若x∈（0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜，下面用数学归纳法进行证明＜an≤成立，①当n=1时，由已知，故结论成立． ②假设当n=k时结论成立，即，则当n=k+1时，an+1=ln（an+1）＞ln（），ak+1=ln（ak+1）＜ln（），即当n=k+1时，成立，综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立． 【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大．
第二篇：2008年四川省高考数学试卷(理科)答案与解析
2008年四川省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2008•四川）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合∁U（A∩B）=（）
A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5} D．{1，2，4，5} 【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据交集的含义求A∩B、再根据补集的含义求解． 【解答】解：A={1，3}，B={3，4，5}⇒A∩B={3}；
所以CU（A∩B）={1，2，4，5}，故选D 【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．
2．（5分）（2008•四川）复数2i（1+i）=（）A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i 【考点】复数代数形式的混合运算．
2【分析】先算（1+i），再算乘2i，化简即可．
22【解答】解：∵2i（1+i）=2i（1+2i﹣1）=2i×2i=4i=﹣4 故选A；
2【点评】此题考查复数的运算，乘法公式，以及注意i=﹣1；是基础题．
23．（5分）（2008•四川）（tanx+cotx）cosx=（）A．tanx B．sinx C．cosx D．cotx 【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】此题重点考查各三角函数的关系，切化弦，约分整理，凑出同一角的正弦和余弦的平方和，再约分化简． 【解答】解：
2∵
=故选D；
【点评】将不同的角化为同角；将不同名的函数化为同名函数，以减少函数的种类；当式中有正切、余切、正割、余割时，通常把式子化成含有正弦与余弦的式子，即所谓“切割化弦”．
4．（5分）（2008•四川）直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（）A． B．
C．y=3x﹣3 D．
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
【分析】先利用两直线垂直写出第一次方程，再由平移写出第二次方程． 【解答】解：∵直线y=3x绕原点逆时针旋转90° ∴两直线互相垂直 则该直线为那么将，向右平移1个单位得，即
故选A．
【点评】本题主要考查互相垂直的直线关系，同时考查直线平移问题．
5．（5分）（2008•四川）若0≤α≤2π，sinα＞A．（，）B．（，π）
C．（cosα，则α的取值范围是（），）D．（，）
【考点】正切函数的单调性；三角函数线． 【专题】计算题．
【分析】通过对sinα＞cosα等价变形，利用辅助角公式化为正弦，利用正弦函数的性质即可得到答案．
【解答】解：∵0≤α≤2π，sinα＞cosα，∴sinα﹣cosα=2sin（α﹣）＞0，∵0≤α≤2π，∴﹣≤α﹣≤，∵2sin（α﹣∴0＜α﹣∴＜α＜）＞0，＜π，．
故选C．
【点评】本题考查辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，将sinα＞cosα等价变形是难点，也是易错点，属于中档题．
6．（5分）（2008•四川）从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（）A．70种 B．112种 C．140种 D．168种 【考点】组合及组合数公式． 【专题】计算题．
【分析】根据题意，分析可得，甲、乙中至少有1人参加的情况数目等于从10个同学中挑选4名参加公益活动挑选方法数减去从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加公益活动的挑选方法数，分别求出其情况数目，计算可得答案．
4【解答】解：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有C10种不同挑选方法；
4从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有C8种不同挑选方法；
44∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有C10﹣C8=210﹣70=140种不同挑选方法，故选C．
【点评】此题重点考查组合的意义和组合数公式，本题中，要注意找准切入点，从反面下手，方法较简单．
7．（5分）（2008•四川）已知等比数列{an}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）【考点】等比数列的前n项和．
【分析】首先由等比数列的通项入手表示出S3（即q的代数式），然后根据q的正负性进行分类，最后利用均值不等式求出S3的范围． 【解答】解：∵等比数列{an}中，a2=1 ∴∴当公比q＞0时，当公比q＜0时，；
．
∴S3∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）． 故选D．
【点评】本题考查等比数列前n项和的意义、等比数列的通项公式及均值不等式的应用．
8．（5分）（2008•四川）设M，N是球心O的半径OP上的两点，且NP=MN=OM，分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：（）A．3，5，6 B．3，6，8 C．5，7，9 D．5，8，9 【考点】球面距离及相关计算． 【专题】计算题．
【分析】先求截面圆的半径，然后求出三个圆的面积的比．
【解答】解：设分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆的半径为r1，r2，r3，球半径为R，则：
∴r1：r2：r3=5：8：9∴这三个圆的面积之比为：5，8，9 故选D 【点评】此题重点考查球中截面圆半径，球半径之间的关系；考查空间想象能力，利用勾股定理的计算能力．
9．（5分）（2008•四川）设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有（）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，即可得到结果．
0【解答】解：如图，和α成30角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC=∠ACB=30°，直线AC，AB都满足条件 故选B． 222 3
【点评】此题重点考查线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性； 数形结合，重视空间想象能力和图形的对称性；
10．（5分）（2008•四川）设f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，则f（x）是偶函数的充要条件是（）
A．f（0）=1 B．f（0）=0 C．f′（0）=1 D．f′（0）=0 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】计算题．
【分析】当f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数时，f（0）一定是函数的最值，从而得到x=0必是f（x）的极值点，即f′（0）=0，因而得到答案． 【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数
∴由函数f（x）=sin（ωx+φ）图象特征可知x=0必是f（x）的极值点，∴f′（0）=0 故选D 【点评】此题重点考查正弦型函数的图象特征，函数的奇偶性，函数的极值点与函数导数的关系．
11．（5分）（2008•四川）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=（）
A．13 B．2 C．
D．
【考点】函数的值． 【专题】压轴题．
【分析】根据f（1）=2，f（x）•f（x+2）=13先求出f（3）=，再由f（3）求出f（5），依次求出f（7）、f（9）观察规律可求出f（x）的解析式，最终得到答案．
【解答】解：∵f（x）•f（x+2）=13且f（1）=2 ∴，，∴，∴
故选C． 【点评】此题重点考查递推关系下的函数求值；此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解．
12．（5分）（2008•四川）已知抛物线C：y=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且，则△AFK的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．32 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】计算题；压轴题．
2【分析】根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得K的坐标，设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣2，y0），根据及AF=AB=x0﹣（﹣2）=x0+2，进而可求得A点坐标，进而求得△AFK的面积．
2【解答】解：∵抛物线C：y=8x的焦点为F（2，0），准线为x=﹣2 ∴K（﹣2，0）
设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣2，y0）∵，又AF=AB=x0﹣（﹣2）=x0+2 222222∴由BK=AK﹣AB得y0=（x0+2），即8x0=（x0+2），解得A（2，±4）∴△AFK的面积为故选B．
【点评】本题抛物线的性质，由题意准确画出图象，利用离心率转化位置，在△ABK中集中条件求出x0是关键；
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
34213．（4分）（2008•四川）（1+2x）（1﹣x）展开式中x的系数为 ﹣6 ． 【考点】二项式定理． 【专题】计算题．
【分析】利用乘法原理找展开式中的含x项的系数，注意两个展开式的结合分析，即分别
2为第一个展开式的常数项和第二个展开式的x的乘积、第一个展开式的含x项和第二个展
2开式的x项的乘积、第一个展开式的x的项和第二个展开式的常数项的乘积之和从而求出答案．
342【解答】解：∵（1+2x）（1﹣x）展开式中x项为 ***040C31（2x）•C41（﹣x）+C31（2x）•C41（﹣x）+C31（2x）•C41（﹣x）
02112204∴所求系数为C3•C4+C3•2•C4（﹣1）+C3•2•C41=6﹣24+12=﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】此题重点考查二项展开式中指定项的系数，以及组合思想，重在找寻这些项的来源．
14．（4分）（2008•四川）已知直线l：x﹣y+4=0与圆C：（x﹣1）+（y﹣1）=2，则C上各点到l的距离的最小值为 ．
【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式． 【专题】数形结合．
222 5 【分析】如图过点C作出CD与直线l垂直，垂足为D，与圆C交于点A，则AD为所求；求AD的方法是：由圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，利用d减去圆的半径r即为圆上的点到直线l的距离的最小值． 【解答】解：如图可知：过圆心作直线l：x﹣y+4=0的垂线，则AD长即为所求；
22∵圆C：（x﹣1）+（y﹣1）=2的圆心为C（1，1），半径为，点C到直线l：x﹣y+4=0的距离为∴AD=CD﹣AC=2﹣=，故C上各点到l的距离的最小值为故答案为：，．
【点评】此题重点考查圆的标准方程和点到直线的距离．本题的突破点是数形结合，使用点C到直线l的距离距离公式．
15．（4分）（2008•四川）已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于 2 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】计算题；作图题；压轴题．
【分析】由题意画出图形，求出高，底面边长，然后求出该正四棱柱的体积． 【解答】解：：如图可知：∵
∴∴正四棱柱的体积等于
=2 故答案为：2 【点评】此题重点考查线面角，解直角三角形，以及求正四面题的体积；考查数形结合，重视在立体几何中解直角三角形，熟记有关公式．
16．（4分）（2008•四川）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为 4 ．
【考点】等差数列的前n项和；等差数列． 【专题】压轴题．
【分析】利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4≥10，S5≤15，∴，即
∴
∴，5+3d≤6+2d，d≤1 ∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4，故答案为：4．
【点评】此题重点考查等差数列的通项公式，前n项和公式，以及不等式的变形求范围；
三、解答题（共6小题，满分74分）
2417．（12分）（2008•四川）求函数y=7﹣4sinxcosx+4cosx﹣4cosx的最大值与最小值． 【考点】三角函数的最值． 【专题】计算题． 【分析】利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简y的解析式后，再利用配方法把y变为完全平方式即y=（1﹣sin2x）+6，可设z═（u﹣1）+6，u=sin2x，因为sin2x的范围为[﹣1，1]，根据u属于[﹣1，1]时，二次函数为递减函数，利用二次函数求最值的方法求出z的最值即可得到y的最大和最小值．
2422【解答】解：y=7﹣4sinxcosx+4cosx﹣4cosx=7﹣2sin2x+4cosx（1﹣cosx）=7﹣22222sin2x+4cosxsinx=7﹣2sin2x+sin2x=（1﹣sin2x）+6 22由于函数z=（u﹣1）+6在[﹣1，1]中的最大值为zmax=（﹣1﹣1）+6=10 2最小值为zmin=（1﹣1）+6=6 故当sin2x=﹣1时y取得最大值10，当sin2x=1时y取得最小值6 【点评】此题重点考查三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；本题的突破点是利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．
18．（12分）（2008•四川）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望． 7 【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
【专题】计算题． 【分析】（1）进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，包括两种情况：即进入商场的1位顾客购买甲种商品不购买乙种商品，进入商场的1位顾客购买乙种商品不购买甲种商品，分析后代入相互独立事件的概率乘法公式即可得到结论．
（2）进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的对立事件为，该顾客即不习甲商品也不购买乙商品，我们可以利用对立事件概率减法公式求解．（3）由（1）、（2）的结论，我们列出ξ的分布列，计算后代入期望公式即可得到数学期望． 【解答】解：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，记D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，（Ⅰ）
===0.5×0.4+0.5×0.6=0.5（Ⅱ）==0.5×0.4 =0.2
∴（Ⅲ）ξ～B（3，0.8），3故ξ的分布列P（ξ=0）=0.2=0.008 12P（ξ=1）=C3×0.8×0.2=0.096 22P（ξ=2）=C3×0.8×0.2=0.384 3P（ξ=3）=0.8=0.512 所以Eξ=3×0.8=2.4 【点评】此题重点考查相互独立事件的概率计算，以及求随机变量的概率分布列和数学期望；突破口：分清相互独立事件的概率求法，对于“至少”常从反面入手常可起到简化的作用； 19．（12分）（2008•四川）如，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE
（Ⅰ）证明：C，D，F，E四点共面；
（Ⅱ）设AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大小．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；棱锥的结构特征． 【专题】计算题；证明题． 【分析】（Ⅰ）延长DC交AB的延长线于点G，延长FE交AB的延长线于G′，根据比例关系可证得G与G′重合，准确推理，得到直线CD、EF相交于点G，即C，D，F，E四点共面．
（Ⅱ）取AE中点M，作MN⊥DE，垂足为N，连接BN，由三垂线定理知BN⊥ED，根据二面角平面角的定义可知∠BMN为二面角A﹣ED﹣B的平面角，在三角形BMN中求出此角即可．
【解答】解：（Ⅰ）延长DC交AB的延长线于点G，由BC延长FE交AB的延长线于G′ 同理可得
得
故，即G与G′重合
因此直线CD、EF相交于点G，即C，D，F，E四点共面．（Ⅱ）设AB=1，则BC=BE=1，AD=2 取AE中点M，则BM⊥AE，又由已知得，AD⊥平面ABEF 故AD⊥BM，BM与平面ADE内两相交直线AD、AE都垂直． 所以BM⊥平面ADE，作MN⊥DE，垂足为N，连接BN 由三垂线定理知BN⊥ED，∠BMN为二面角A﹣ED﹣B的平面角．故
所以二面角A﹣ED﹣B的大小 9
【点评】此题重点考查立体几何中四点共面问题和求二面角的问题，考查空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；突破：熟悉几何公理化体系，准确推理，注意书写格式是顺利进行求解的关键．
20．（12分）（2008•四川）设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban﹣2=（b﹣1）Sn
n﹣1（Ⅰ）证明：当b=2时，{an﹣n•2}是等比数列；（Ⅱ）求{an}的通项公式． 【考点】数列的应用． 【专题】计算题；证明题．
n【分析】（Ⅰ）当b=2时，由题设条件知an+1=2an+2an+1﹣（n+1）•2=2an+2﹣（n+1）nn﹣1n﹣1•2=2（an﹣n•2），所以{an﹣n•2}是首项为1，公比为2的等比数列．
n﹣1（Ⅱ）当b=2时，由题设条件知an=（n+1）2；当b≠2时，由题意得
=的通项公式．
【解答】解：（Ⅰ）当b=2时，由题意知2a1﹣2=a1，解得a1=2，n且ban﹣2=（b﹣1）Sn
n+1ban+1﹣2=（b﹣1）Sn+1
n两式相减得b（an+1﹣an）﹣2=（b﹣1）an+1
n即an+1=ban+2①
n当b=2时，由①知an+1=2an+2
nnnn﹣1于是an+1﹣（n+1）•2=2an+2﹣（n+1）•2=2（an﹣n•2）
0n﹣1又a1﹣1•2=1≠0，所以{an﹣n•2}是首项为1，公比为2的等比数列．
n﹣1n﹣1（Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知an﹣n•2=2，n﹣1即an=（n+1）2 当b≠2时，由①得=因此即所以
． =
=，由此能够导出{an}
n．由此可知nn 10 【点评】此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的通项公式，同时考查分类讨论思想；推移脚标两式相减是解决含有Sn的递推公式的重要手段，使其转化为不含Sn的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式是重视首项是否可以吸收是易错点，同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键．
21．（12分）（2008•四川）设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F1，F2，离心率（Ⅰ）若，右准线为l，M，N是l上的两个动点，求a，b的值；
与
共线．
（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，【考点】椭圆的应用． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】（Ⅰ）设，根据题意由得，由，得，由此可以求出a，b的值．
（Ⅱ）|MN|=（y1﹣y2）=y1+y2﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2=﹣4y1y2=6a．当且仅当或共线．
【解答】解：由a﹣b=c与l的方程为设则
222
222
时，|MN|取最小值，由能够推导出与，得a=2b，22，11 由（Ⅰ）由得，得
①
②由①、②、③三式，消去y1，y2，并求得a=4 故2
③
2（Ⅱ）证明：|MN|=（y1﹣y2）=y1+y2﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2=﹣4y1y2=6a 当且仅当此时，故与共线．
或
时，|MN|取最小值
【点评】此题重点考查椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考查向量的综合应用；熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用．
22．（14分）（2008•四川）已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x﹣10x的一个极值点．（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围． 【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性． 【专题】计算题；压轴题；数形结合法．
2【分析】（Ⅰ）先求导﹣10x的一个极值点即
2，再由x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x求解．
2（Ⅱ）由（Ⅰ）确定f（x）=16ln（1+x）+x﹣10x，x∈（﹣1，+∞）再由f′（x）＞0和f′（x）＜0求得单调区间．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x=1或x=3时，f′（x）=0，可得f（x）的极大值为f（1），极小值为f（3）一，再由直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点则须有f（3）＜b＜f（1）求解，因此，b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）． 【解答】解：（Ⅰ）因为所以因此a=16
12（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16ln（1+x）+x﹣10x，x∈（﹣1，+∞）当x∈（﹣1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0 当x∈（1，3）时，f′（x）＜0 所以f（x）的单调增区间是（﹣1，1），（3，+∞）f（x）的单调减区间是（1，3）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x=1或x=3时，f′（x）=0 所以f（x）的极大值为f（1）=16ln2﹣9，极小值为f（3）=32ln2﹣21
因此f（16）＞16﹣10×16＞16ln2﹣9=f（1）f（e﹣1）＜﹣32+11=﹣21＜f（3）所以在f（x）的三个单调区间（﹣1，1），（1，3），（3，+∞）直线y=b有y=f（x）的图象各有一个交点，当且仅当f（3）＜b＜f（1）因此，b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．
【点评】此题重点考查利用求导研究函数的单调性，最值问题，函数根的问题；，熟悉函数的求导公式，理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键，数形结合理解函数的取值范围． 2﹣2 13
第三篇：2008年 四川省高考数学试卷(理科)
2008年四川省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2008•四川）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合∁U（A∩B）=（）
A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5}
2D．{1，2，4，5} 2．（5分）（2008•四川）复数2i（1+i）=（）A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i
3．（5分）（2008•四川）（tanx+cotx）cosx=（）A．tanx B．sinx C．cosx D．cotx
4．（5分）（2008•四川）直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（）A． B．
C．y=3x﹣3 D．
25．（5分）（2008•四川）若0≤α≤2π，sinα＞A．（，）B．（，π）
C．（cosα，则α的取值范围是（），）D．（，）
6．（5分）（2008•四川）从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（）A．70种 B．112种 C．140种 D．168种
7．（5分）（2008•四川）已知等比数列{an}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）
8．（5分）（2008•四川）设M，N是球心O的半径OP上的两点，且NP=MN=OM，分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：（）A．3，5，6 B．3，6，8 C．5，7，9 D．5，8，9
9．（5分）（2008•四川）设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有（）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
10．（5分）（2008•四川）设f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，则f（x）是偶函数的充要条件是（）
A．f（0）=1 B．f（0）=0 C．f′（0）=1 D．f′（0）=0
11．（5分）（2008•四川）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=（）A．13
12．（5分）（2008•四川）已知抛物线C：y=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且，则△AFK的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．32
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）（2008•四川）（1+2x）（1﹣x）展开式中x的系数为
．
14．（4分）（2008•四川）已知直线l：x﹣y+4=0与圆C：（x﹣1）+（y﹣1）=2，则C上各点到l的距离的最小值为
．
15．（4分）（2008•四川）已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为
16．（4分）（2008•四川）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为
．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）（2008•四川）求函数y=7﹣4sinxcosx+4cosx﹣4cosx的最大值与最小值．
18．（12分）（2008•四川）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．
19．（12分）（2008•四川）如，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE
2B．2 C． D．，则该正四棱柱的体积等于
．
（Ⅰ）证明：C，D，F，E四点共面；
（Ⅱ）设AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大小．
20．（12分）（2008•四川）设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban﹣2=（b﹣1）Sn
n﹣1（Ⅰ）证明：当b=2时，{an﹣n•2}是等比数列；（Ⅱ）求{an}的通项公式．
21．（12分）（2008•四川）设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F1，F2，离
n心率（Ⅰ）若，右准线为l，M，N是l上的两个动点，求a，b的值；
与
共线．
（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，22．（14分）（2008•四川）已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x﹣10x的一个极值点．（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．3
第四篇：四川省绵阳市2018届高三上学期一诊数学试卷(理科) 含解析
2017-2018学年四川省绵阳市高三（上）一诊数学试卷
（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.设集合A={x∈Z|（x﹣4）（x+1）＜0}，B={2，3，4}，则A∩B=（）A.（2，4）B.{2，4} C.{3} D.{2，3} 【答案】D 【解析】由题意，得；故选D.2.若x＞y，且x+y=2，则下列不等式成立的是（）A.x＜y B.【答案】C 【解析】因为，且，所以，即，则
；故选C.2
2，则 C.x＞1 D.y＜1
223.已知向量 =（x﹣1，2），=（x，1），且∥，则A.B.2 C.2 D.3 【答案】D 【解析】因为故选D.，所以，解得，则
=（），；点睛：利用平面向量的坐标形式判定向量共线或垂直是常见题型： 已知4.若，则，则tan2α=（）
D.，.A.﹣3 B.3 C.【答案】D 【解析】因为，所以，则 ；故选D.5.某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米． A.13 B.14 C.15 D.16 【答案】C 【解析】设该职工的月实际用水为x立方米，所缴水费为y元，由题意得
，即。
根据题意得该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以解得。选C。
x06.已知命题p：∃x0∈R，使得e≤0：命题q：a，b∈R，若|a﹣1|=|b﹣2|，则a﹣b=﹣1，下列命题为真命题的是（）A.p B.¬q C.p∨q D.p∧q 【答案】B 【解析】因为函数的值域为，所以命题为假命题，为真命题；故选B.7.在△ABC中，“C=”是“sinA=cosB”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，时，“，所以成立，此时，成立；当，所以不成立；综上知“
时，如取”是”的”的充分不必要条件，选A.cosϖx（ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是
，若将8.已知函数f（x）=sinϖx+y=f（x）的图象向右平移 个单位得到y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一条对称轴方程是（）A.x=0 B.【答案】C 【解析】因为
图象的最高点
与相邻最低点的距离 C.D.为，所以，即，解得，则将的，即图象向右平移个单位，得到是函数 的对称轴方程，经验证，得
到的图象，令
是其中一条对称轴方程；故选C.的变换是易错点，要注意，而不是
.点睛：在处理三角函数的图象变换时，由平移的单位仅对于自变量（）而言，若本题中的图象向右平移个单位，应是9.已知0＜a＜b＜1，给出以下结论： ① ；② ③
④
则其中正确的结论个数是（）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】易知，正确，错误；故选B.210.已知x1是函数f（x）=x+1﹣ln（x+2）的零点，x2是函数g（x）=x﹣2ax+4a+4的零点，且满足|x1﹣x2|≤1，则实数a的最小值是（）A.2﹣2 B.1﹣2 C.﹣2 D.﹣1 【答案】D 【解析】因为单调递增，即为，显然在，所以当，即函数有零点，（1）若，即，②若
时，单调递减，当，因为，即
或，此时，若
时，所以的零点在[﹣
存在唯一零点，即符合题意；（2）若2，0]上只有一个零点，则，解得
在[﹣2，0]上有两个零点，则
；故选D.，即的最小值为点睛：本题考查两个函数的零点问题，难点是根据二次函数的零点分布情况求参数；利用二次函数的零点分布求参数，往往是看二次函数的开口方向、判别式的符号、对称轴与所给区间的关系、区间端点函数值的符号进行判定.11.已知a，b，c∈R，且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f（x）=ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+A.[﹣2，2] B.C.的取值范围是（）D.【答案】B 【解析】∵函数∴则则存在则故；故选B．，其中，的图象都相切，得，，若存在两条互相垂直的直线与函数，使，由，其中点睛：求有关三角函数的最值或值域问题，主要有以下题型： ①化为形成②形如“行求解.12.若存在实数x，使得关于x的不等式成立，则实数a的取值集合为（）
A.{} B.[，+∞）C.{} D.[，+∞）【答案】C 【解析】不等式表示点
，即为距离的平方不超过，即最大值为．由相切的直线的切点为，在直线
上，解得，+x2﹣2ax+a2≤（其中e为自然对数的底数）
型：一般是利用二倍角公式、两角和差公式、配角公式进行恒等变，再利用三角函数的单调性进行求解；
”，一般是利用换元思想（令），再利用二次函数的性质进设与直线平行且与切点为，可得切线的斜率为，由切点到直线的距离为直线上的点与曲线，解得，则的取值集合为的距离的最小值，可得
；故选C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知变量x，y满足约束条件【答案】3 【解析】将直线化为，作出可行域和目标函数基准直线
（如图所示）．当
，则z=2x+y的最小值是_____．
向左上方平移时，直线在轴上的截距增大，由图象可知当直线经过点时，z取得最小值，最小值为．
14.已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（2）=1，若f（2x+1）＜1，则x的取值范围是_____． 【答案】
【解析】∵函数f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，∴f（x）为偶函数，且在(-∞,0）上单调递减。
由题意得不等式f（2x+1）＜1等价于f（2x+1）＜f（2），∴解得或。
。答案：
。，所以原不等式的解集为15.在△ABC中，AB=2，AC=4，cosA=，过点A作AM⊥BC，垂足为M，若点N满足则 =_____．
【答案】
【解析】以为原点，以直角坐标系，在由余弦定理可得∴，∴，中，所在的直线为轴，以
所在的直线为轴，建立如图所示的平面
，由正弦定理可得，得，∵∴，在中，∵点满足∴∴∴∴，，.16.如果{an}的首项a1=2017，其前n项和Sn满足Sn+Sn﹣1=﹣n2（n∈N*，n≥2），则a101=_____． 【答案】1917 【解析】∵∴即∴故∴数列则
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.在△ABC中，D是边BC上一点，且，BD=2．，的所有奇数项构成以
.为首项，以
为公差的等差数列，，，∴，（1）求∠ADC的大小；（2）若，求△ABC的面积．
【答案】（1）（2）【解析】试题分析：
（1）利用正弦定理，根据角的范围写出角，利用内角和即可求出；（2）利用余弦定理求出边长CD，再根据面积公式即可求出.试题解析：
（Ⅰ）△ABD中，由正弦定理得∴ ．，∴，(Ⅱ)由（Ⅰ）知，∠BAD=∠BDA=，故AB=BD=2． 在△ACD中，由余弦定理：即，整理得CD2+6CD-40=0，解得CD=-10（舍去），CD=4，∴ S△ABC=
．
点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.18.设公差大于0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=15，且a1，a4，a13成等比数列，记数列（Ⅰ）求Tn；
（Ⅱ）若对于任意的n∈N*，tTn＜an+11恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1）（2）
的前n项和为Tn．
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用等差数列前项和公式、通项公式结合等比数列性质列出方程组，求出首项和公差，再利用裂项求和法进行求和；（Ⅱ）分离未知数，利用基本不等式进行求解.试题解析：（Ⅰ）设{an}的公差为d（d＞0），由S3=15有3a1+=15，化简得a1+d=5，①…
又∵a1，a4，a13成等比数列，∴a4=a1a13，即（a1+3d）=a1（a1+12d），化简得3d=2a1，②… 联立①②解得a1=3，d=2，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1． ∴∴（Ⅱ）∵tTn＜an+11，即∴又∴∴t＜162．
点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其主要适用于以下题型； ①③；②
.的部分图象如图所示．
； ≥6，当且仅当n=3时，等号成立，≥162，…，…，． 2219.若函数f（x）=Asin（ϖx+φ）（A＞0，（I）设x∈（0，）且f（α）=，求sin 2a的值；（II）若x∈[ ]且g（x）=2λf（x）+cos（4x﹣）的最大值为，求实数λ的值．
【答案】（1）（2），进而求出值，可得函数【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数的图象求出最值和周期，可得的解析式，再利用和差公式进行求解；；（Ⅱ）分类讨论满足条件的实数的值，综合讨论结果，可得答案.试题解析：（Ⅰ）由图得，A=2． …，解得T=π，于是由T=∵∴∴由已知因为∴∴==
． …，…，于是0≤≤1．…
=0时，g（x）取得最大值1，与已知不符． ≤，=，即． …，即，所以
．，，得ω=2．…，即，k∈Z，又，故，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，===∵x∈∴0≤①当λ＜0时，当且仅当②当0≤λ≤1时，当且仅当由已知得2λ+1=，解得λ=． ③当λ＞1时，当且仅当
2=λ时，g（x）取得最大值2λ+1，2=1时，g（x）取得最大值4λ﹣1，由已知得4λ﹣1=，解得λ=，矛盾． 综上所述，λ=．…
点睛：由三角函数的图象求函数低点的纵坐标列出关于的方程组求得值的解析式的一般思路：先利用最高点和最，利用相邻零点间的距离、相邻对称轴间的距离、零点和对称轴间的距离求出值，再代入最高点或最低点的坐标求出值.20.已知函数f（x）=kex﹣x3+2（k∈R）恰有三个极值点xl，x2，x3，且xl＜x2＜x3．（I）求k的取值范围：（II）求f（x2）的取值范围． 【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，整理得进行求解；（Ⅱ）求出函数的导数，求出可.试题解析：（Ⅰ）f'（x）=kex﹣3x2． 由题知方程ke﹣3x=0恰有三个实数根，整理得．… x2，令，根据函数的单调性的范围即的解析式，根据函数的单调性求出令，则，由g'（x）＞0解得0＜x＜2，由g'（x）＜0解得x＞2或x＜0，∴g（x）在（0，2）上单调递增，在（﹣∞，0），（2，+∞）上单调递减．… 于是当x=0时，g（x）取得极小值g（0）=0，当x=2时，g（x）取得极大值
． …
且当x→﹣∞时，g（x）→+∞；当x→+∞时，g（x）→0，∴．…
x
2（Ⅱ）由题意，f'（x）=ke﹣3x=0的三个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，∴0＜x2＜2，且，…
∴令μ（x）=﹣x+3x+2（0＜x＜2），则μ'（x）=﹣3x+6x=﹣3x（x﹣2），当0＜x＜2时，μ'（x）＞0，即μ（x）在（0，2）单调递增，… ∴f（x2）∈（2，6）． …
21.已知函数f（x）=axlnx﹣x+l（a∈R），且f（x）≥0．（I）求a；
（II）求证：当，n∈N*时，【答案】（1）1（2）见解析
232，…
试题解析：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）． 若a＜0，f（2）=2aln2﹣1＜0，与已知矛盾．…
若a=0，则f（x）=﹣x+1，显然不满足在（0，+∞）上f（x）≥0恒成立．… 若a＞0，对f（x）求导可得f'（x）=alnx+a﹣1． 由f'（x）＞0解得∴f（x）在（0，∴f（x）min=，由f'（x）＜0解得0＜）上单调递减，在（=1﹣a
． …
≥0成立，即
≤恒成立．，+∞）上单调递增，∴要使f（x）≥0恒成立，则须使1﹣a两边取对数得，≤ln，整理得lna+﹣1≤0，即须此式成立． 令g（a）=lna+﹣1，则，显然当0＜a＜1时，g'（a）＜0，当a＞1时，g'（a）＞0，于是函数g（a）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴g（a）min=g（1）=0，即当且仅当a=1时，f（x）min=f（1）=0，f（x）≥0恒成立，∴a=1满足条件． 综上，a=1．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x＞1时，xlnx﹣x+1＞0，即lnx＞
恒成立．
令（n∈N*），即＞，即同理，…，…，，…
将上式左右相加得：
==ln4．=2ln2…
22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设
（α为参数），以坐标原点O，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB的面积．
【答案】（1）ρ=6cosθ+8sinθ．（2）........................试题解析：（1）∵曲线C的参数方程是
（α为参数），2∴将C的参数方程化为普通方程为（x﹣3）+（y﹣4）=25，即x+y﹣6x﹣8y=0． …
∴C的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ． …（2）把∴把∴∴S△AOB=代入ρ=6cosθ+8sinθ，得． …
代入ρ=6cosθ+8sinθ，得． …
=
=
． …，2223.已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|．（1）解不等式f（x）≥6；
（2）记f（x）的最小值是m，正实数a，b满足2ab+a+2b=m，求a+2b的最小值． 【答案】（1）（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．（2）的【解析】试题分析：（Ⅰ）利用零点分段讨论法进行求解；（Ⅱ）利用三角不等式求出函数最值，再利用基本不等式进行求解.试题解析：（1）当x≤
时，f（x）=﹣2﹣4x，由f（x）≥6解得x≤﹣2，综合得x≤﹣2，… 当时，f（x）=4，显然f（x）≥6不成立，…
当x≥时，f（x）=4x+2，由f（x）≥6，解得x≥1，综合得x≥1，…
所以f（x）≥6的解集是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．…（2）f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|≥|（2x﹣1）﹣（2x+3）|=4，即f（x）的最小值m=4． … ∵a•2b≤，…，由2ab+a+2b=4可得4﹣（a+2b）≤解得a+2b≥∴a+2b的最小值为
，．…
第五篇：2016内蒙古高考理科数学试卷及答案
2016内蒙古高考理科数学试卷及答案
内蒙古高考语文试题内蒙古高考数学试题内蒙古高考英语试题内蒙古高考理综试题内蒙古高考文综试题 内蒙古高考语文答案内蒙古高考数学答案内蒙古高考英语答案内蒙古高考理综答案内蒙古高考文综答案 即将来临的高考，对苦熬过的你们，是最后战役，更是一次特别的成人礼。请内蒙古的诸位带着梦想，一道题一道题攻克，一步一个脚印打好这一战。命运是你们挣来的，请加油……出国留学网高考频道第一时间为您提供2016内蒙古高考理科数学试卷及答案，让全国各位考生更全面及时地了解高考最新相关信息资讯，懂的分析成败。以下出国留学网内蒙古高考真题及答案频道为大家提供的2016年内蒙古高考真题及答案： 2016年内蒙古高考真题及答案地区真题答案内蒙古语文 数学 英语 理综 文综语文 数学 英语 理综 文综2016高考频道精心推荐：
2016内蒙古高考一本分数线 2016内蒙古高考二本分数线 2016内蒙古高考三本分数线 2016内蒙古高考专科本分数线 2016高考真题及答案专题 2016高考状元名单专题 2016年高考录取分数线 2016全国高考满分作文 2016高考零分作文大全
出国留学网高考频道提醒考生考后关注内蒙古高考分数线、内蒙古高考成绩查询、内蒙古高考志愿填报、内蒙古高考录取查询信息： 2016年内蒙古高考分数线查询一本二本三本专科艺术美术体育2016年内蒙古高考成绩查询信息高考成绩查询时间高考成绩查询入口2016年内蒙古高考志愿填报信息志愿填报时间志愿填报系统志愿填报指南2016年内蒙古高考录取查询信息录取查询时间及系统录取通知书查询2016高考频道精心推荐：
2016高考考场六大应急办法 2016高考真题及答案专题 2016高考状元名单专题 2016年高考录取分数线 2016全国高考满分作文 2016高考零分作文大全
点击咨询 