第2章
特殊三角形
2.6
直角三角形
第2课时
直角三角形的判定
1.掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能运用定理解决与直角三角形有关的问题.2.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立.3.进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．
4.体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣.掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法.运用定理解决与直角三角形有关的问题.我们学过直角三角形的哪些性质和判定方法？与同伴交流.【教学说明】回顾旧知，也为后续探索提供了铺垫.探究1：直角三角形的性质和判定
直角三角形的两个锐角有什么关系？为什么？
如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是什么三角形？为什么？
【教学说明】让学生在解决问题的同时，总结直角三角形的一般性质.【归纳结论】①直角三角形的两个锐角互余；②有两个角互余的三角形是直角三角形.探究2：勾股定理及其逆定理.教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗?
【教学说明】教师引导学生思考，写出证明过程.【归纳结论】勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
探究3：互逆命题和互逆定理.观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗?
上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．
在前面的学习中还有类似的命题吗?
【教学说明】教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结.【归纳结论】在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.例1.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:
（1）四边形是多边形；
（2）两直线平行，同旁内角互补；
（3）如果ab＝0，那么a＝0，b＝0.分析：互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以“如果……那么……”形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，但对于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定困难．可先分析命题的条件和结论，然后写出逆命题．
解：（1）多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题．
（2）同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为真．
（3）如果a＝0，b＝0，那么ab＝0．原命题是假命题，而逆命题是真命题．
例2.如图，BA⊥DA于A，AD
=
12，DC
=
9，CA
=
15，求证：BA∥DC.证明：在△ADC中，AD
=
12，DC
=
9，CA
=
15.∵AD2+DC2=CA2，∴△ADC是直角三角形.（如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）
∴AD⊥CD，∵BA⊥DA，∴BA∥DC.例3.某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠ACB＝90°，AC＝80米，BC＝60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？
解：当CD⊥AB时，CD最短，造价最低.∵∠ACB＝90°，AC＝80，BC＝60，∴AB=100.设AD=x,则BD=100-x.∵在Rt△ADC与Rt△BDC中，∴CD2=AC2-AD2,CD2=BC2-BD2.∴AC2-AD2=BC2-BD2.∴802-x2=602-（100-x）2.解得：x=64.∴在Rt△ADC中，CD=48.∴最低造价是：48×10=480（元）.你还能用其他方法求出CD的长吗？
（提示：用面积法）
例4.已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求证：a2+b2＝c2．
证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED、AE（如图），则△ABC≌△BED．
∴∠BDE＝90°，ED＝a（全等三角形的对应角相等，对应边相等）．
∴四边形ACDE是直角梯形．∴S梯形ACDE＝(a+b)(a+b)＝（a+b）2．
∴∠ABE＝180°－（∠ABC＋∠EBD）＝180°－90°＝90°，AB＝BE．
∴S△ABE＝c2
∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，∴（a+b）2＝c2
+
ab
+
ab，即a2
+
ab
+
b2＝c2
+
ab，∴a2+b2＝c2
本节课应掌握：
这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步提高了演绎推理的能力
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