必修2-3.3.1两条直线的交点
教学目标：
（一）知识与技能
1．会求两条直线的交点坐标；
2．理解两直线的位置关系与方程组的解之间的关系；
3．理解过两条直线交点的直线系方程，理解直线系方程并能初步应用。
（二）过程与方法
1.通过求两条直线的交点，体会坐标法思想的应用；
2.通过过两条直线交点的直线系方程的探究，让学生领会“数形结合”的数学思想与方法和从特殊到一般的认知规律；
（三）情感态度与价值观
1.体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题；
2．让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养；
教学重点：求两条直线的交点坐标。
教学难点：理解过两条直线交点的直线系方程。
教学方法：复习回顾法、合作探究法、合作交流法、讲练结合法。
教学过程
（一）复习回顾、推陈出新
问题1、初中平面几何中介绍过两条直线的位置关系，它们是什么？高中解析几何也研究两条直线的位置关系？研究方法有何不同？
【师生活动】教师通过设置合理的问题，学生回顾旧知，联系新知。
【设计意图】
从初中平面几何中两条直线的位置关系这个熟悉的问题入手，让学生边回答边回忆，逐步唤起学生对旧知的回顾，通过比较设问，让学生关注解析几何研究问题的方法和侧重点的不同之处。
问题2、解析几何将几何问题代数化，首先要做的是将几何元素及关系进行代数表示，那么点和直线我们是如何表示的？请完成下表：
几何元素及关系（形）
代数表示（数）
点A
A（a,b）
直线l
l：Ax+By+C=0
【师生活动】教师通过引导，让学生填空及回答问题。
【设计意图】
让学生填空及回答问题，体会坐标法思想，激发学习兴趣。
问题三、一般地，若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，如何求其交点坐标？
几何元素及关系（形）
代数表示（数）
点A
A（a,b）
直线l
l：Ax+By+C=0
点A在直线l上
直线l1与l2的交点是A
【师生活动】教师通过引导，让学生继续填空及回答问题。
【设计意图】
让学生填空及回答问题，进一步体会坐标法思想，激发学习兴趣。
（二）温故知新，归纳小结
环节一：【例1】求下列两条直线的交点坐标：
【师生活动】教师呈现题目，学生独立解答。
【设计意图】学生通过解二元一次方程组的解求两条直线的交点坐标，体会坐标法思想，做到及时巩固。
环节二：变式训练、将第一条直线的方程改为，这两条直线的交点坐标是什么？
【师生活动】教师呈现题目，学生独立解答。
【设计意图】
通过联立方程，可以发现，此组方程组无解，也就没有交点坐标，对应两条直线的位置关系是平行。通过变式，引导学生更深入的思考：联立方程并不一定能求出两条直线的交点坐标；方程组的解与两条直线的位置关系一一对应。
环节三：师：对于两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若方程组有唯一解，有无数组解，无解，则两直线的位置关系如何？
生：若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；
若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；
若方程组有无数个解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合。
【师生活动】教师提问，学生思考总结。
【设计意图】通过学生的归纳总结，将知识从感性上升到理性，通过方程组解的个数，判断两条直线的位置关系，体会“数形结合”的思想方法。
（三）合作探究、探索发现
问题1、当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形？
图形有何特点？
环节一：师：回答第一个问题
生：当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示一条直线，可以将方程整理成，它是一个二元一次方程组，表示一条直线。
【师生活动】教师提问，学生思考总结并回答，并追问要表示一条直线还需要什么条件？
【设计意图】引导学生发现二元一次方程组表示一条直线，同时注意细节二元一次方程的系数A,B不同时为零，培养学生思维的严密性。
环节二：
师：现在请大家每4人一组讨论第二个问题，并记录自己是如何得到自己的答案的。
生：分组讨论，合作探究
【师生活动】教师布置问题，要求学生分组讨论。在此过程中关注学生的表现，对于一些尝试给予积极的肯定，对于无从下手的学生给予必要的指导。
【设计意图】培养学生主动探索的精神，培养在小组中探讨、发表自我观点的勇气。
环节三：师：请大家交流合作探索的结果
生1：为了发现当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示的直线具有的特征，可让方程中λ的系数为零，即2x+y+2=0，那么3x+4y-2=0也成立。因此3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示经过直线l1与l2交点的直线。
生2：可尝试让λ取不同的数，可以得到不同的直线，然后在平面直角坐标系中画出这些直线，发现它们都经过l1与l2交点，因此可以得到与生1同样的结论。
师：为了有更好的直观性，应用几何画板直观演示结果，加深学生印象。
【师生活动】在教师的组织下，有序的讨论合作探究结果。
【设计意图】培养学生主动探索的精神，培养在小组中探讨、发表自我观点的勇气，体会成功的喜悦。
一般地，经过两相交直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程可怎样表示？我们前面有没有学习过类似的直线系方程的知识？
生：A1x＋B1y＋C1+λ（A2x＋B2y＋C2）表示经过两条直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系。
师：很好，我们以前也学习过类似的直线系方程知识，如
1、与平行的直线系方程
2、与垂直的直线系方程
3、过定点的直线系方程
4、经过两条直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程
这些直线系方程中都有一个参数，当它变化时，直线仍有不变量，正所“谓动中有静”。
【师生活动】在教师的组织下，一方面将讨论结果指向一般情况，完成从具体向抽象的升华；联系以前知识，加深直线系方程的理解。
【设计意图】在教师的帮助下，深刻理解直线系方程的本质，培养学生看待数学问题的深刻性，培养理性精神。
（四）巩固提高
环节一：【例2】判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出其交点的坐标.。
(1)
l1：x－y＝0；
l2：3x＋3y－10＝0；
(2)
l1：3x－y＋4＝0；
l2：6x－2y－1＝0；
(3)
l1：3x＋4y－5＝0；
l2：6x＋8y－10＝0；
【师生活动】先给出前三个题目，由三名学生到黑板上板演，其它学生独立完成，教师讲评。
【设计意图】通过方程组解的个数，判断两条直线的位置关系，体会“数形结合”的思想方法。
环节二：
(4)；
.【师生活动】给出（4），学生独立完成，教师巡视教师，检查学生答题情况。
【设计意图】层层递进，思维升级。当方程中出现参数时，解方程时需要通过分类讨论，进一步理解通过方程组解的个数，与两条直线的位置关系一一对应，体会“分类讨论”这一重要的思想方法。
环节三：
问题、为什么此题取不同的值时，会得到两条直线不同的位置关系？
【师生活动】教师引导学生从“形”的角度去理解，学生思考并回答
【设计意图】通过分析，发现第二条直线是过定点的直线系方程，回到图形便可解释。在此需指出重要的一点：解析几何的研究方法是用代数方法研究几何问题，但对由代数方法得到结果，又要回到图形给出相应的几何解释，真正做到“数形结合”。
（五）课堂小结、总结归纳
这节课的内容就是这些，最后我们来回顾一下这节课的内容。
同学们总结一下，这节课学习了什么？（师生一起总结）
一、知识小结
1、（二元一次）方程组的解即两条直线的交点坐标；
2、（二元一次）方程组的解的个数与两条直线的位置关系一一对应；
3、直线系方程
二、思想方法聚焦
“数形结合”、“从特殊到一般的思想方法”、“分类讨论”等。
【师生活动】教师引导学生总结所学知识。
【设计意图】帮助学生把所学知识纳入知识体系，形成良好的认知结构，有益于学生对知识的巩固、理解和掌握。
（六）课后作业、（七）板书设计
§3.3.1
两条直线的交点坐标.3.2
liangdianjia=XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
（讲授新课）
两条直线的交点坐标
（讲授新课）
直线系方程
例题讲解
巩固练习
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