北师大版八年级下册数学第一章 三角形的证明第3节《线段的垂直平分线》教学设计（5篇材料）

第一篇：北师大版八年级下册数学第一章 三角形的证明第3节《线段的垂直平分线》教学设计

3．线段的垂直平分线(一)

一、学生知识状况分析

学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。

二、教学任务分析

在七年级学生已经对线段的垂直平分线有了初步的认识，本节课将进一步深入探索线段垂直平分线的性质和判定。同时，渗透证明一个图形上的每个点都具有某种性质的方法：只需在图形上任取一点作为代表。本节课目标位： 1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．

2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。

3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果 教学重点、难点

重点是运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。难点是垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：性质探索与证明；第三环节：逆向思维，探索判定；第四环节：巩固应用

；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结第七环节：课后作业。第一环节：创设情境，引入新课

教师用多媒体演示：

如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．

线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程

/ 4

中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．

进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?” 第二环节：性质探索与证明

教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。

通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容。

已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点． 求证：PA=PB．

分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等． 证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC，PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS)．

； ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)． 教师用多媒体完整演示证明过程．

第三环节：逆向思维，探索判定

你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论。

原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．

此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”

写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．

引导学生分析证明过程，有如下四种证法：

证法一：

/ 4

MPACNB

已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上．

证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)． ∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上．

证法二：取AB的中点C，过PC作直线． ∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．

∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)． 又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB ∴P点在AB的垂直平分线上． 证法三：过P点作∠APB的角平分线． ∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，△APC≌△BPC(SAS)．

∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)． 又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90° ∴P点在线段AB的垂直平分线上． 证法四：过P作线段AB的垂直平分线PC． ∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴P在AB的垂直平分线上．

从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理． 第四环节：巩固应用

在做完性质定理和判定定理的证明以后，引导学生进行总结：（1）线段的垂直平分线可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。

（2）到一条线段两个端点的距离相等个点在这条线段的垂直平分线上．因

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PACBP12ACBP12ACB

此只需做出这样的两个点即可做出线段的垂直平分线。

例题：

已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.求证：直线 AO 垂直平分线段BC。． 证明：∵ AB = AC，∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程。第五环节：随堂练习

课本P23；习题1.7：第1、2题 第六环节：课堂小结

通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？ 第七环节：课后作业

习题l.7 第3、4题

四、教学反思

在这一节中，我们作为老师要善于引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，先得出猜想，然后再进行证明，要求学生掌握证明的基本要求和方法，注意数学压想方法的强化和渗透．

/ 4

第二篇：2020-2021学年北师大版八年级下册数学：1.3.1线段的垂直平分线学案

年级

八

班级

学生姓名

科目

数学

使用时间

课题1.3线段的垂直平分线第1

课时编制

审核

审批签（章）

【学习目标】

1.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力；

2.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论.【知识链接】

复习回顾线段的垂直平分线的尺规作图和性质.【导学过程】

（1）自主学习、预习导学指导

自学指导

自学检测及课堂展示

阅读课本22--23页的内容完成右边的问题：

定理

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.1、已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于E，BE=5，求AE、AC的长以及∠AEC的度数.2、如图（2），在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在__________

上.（2)合作展示、探究提升

如右图，P是∠AOB的平分线OM上任意一点，PE⊥CA于E，PF⊥OB于F，连结EF.求证：OP垂直平分EF.【达标检测】

1、如下图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5

cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（）

A.6

cm

B.7

cm

C.8

cm

D.9

cm2、如图，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，则∠C=_____.3、已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC.4、如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长。

5、如图在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E

求证：（1）∠EAD=∠EDA

;（2）DF∥AC（3）∠EAC=∠B6、如图，在公路的同侧有两个工厂，为了便

于两厂的工人看病，市政府计划在公路边修建一

高

速

公

路

A

B

L

所医院，使得两个工厂的工人都没有意见，问医

院的院址应选在何处？作图说明。

【总结反馈】

自评：

师评：

第三篇：2020-2021学年八年级数学北师大版下册1.3线段的垂直平分线课堂练习学案

线段的垂直平分线

例1：如图，直线L⊥AB，垂足是C，AC=CB，点P在L上，求证：PA=PB

练习：如图，直线MN垂直平分AB，交点为O，点P1，P2，P3

在直线MN上，则有：P1A=，P2B=

P3C=，OA=

▲：线段垂直平分线上的（任意）点到这条线段的两个

端点的相等。

几何语言：

∵

∴

课堂练习：

1、如图，已知直线CD是线段AB的垂直平分线，且直线CD与线段AB相交于点O，有以下四个结论：①AB⊥CD，②AB=CD，③AB平分CD，④CD平分AB，其中正确的结论有（）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

第1题

第2题

第3题

2、如图，直线CD垂直平分线段AB，且垂足为M，则图中相等的线段有（）

A、1对

B、2对

C、3对

D、4对

3、如图，已知线段AB的两个端点A、B正好关于直线CD对称，且线段AB与直线CD相较于点O，若AO=4cm，AC=6cm，则△ABC的周长为。

4、如图，AB=AC，MB=MC。直线AM是线段BC的垂直平分线吗？

5、如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，问：

（1）AB、AC，CE的长度有什么关系？

（2）AB＋BD与DE有什么关系？

3、已知，D是直角斜边AC的中点，于D交BC于E，求：的度数。

4、如右图所示，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，BE＝6，求△BCE的周长。

5、如图，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝

10cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点，求：△BCD的周长。

E

D

C

B

A6、△ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为E,交AB于点D，AE=5cm，△CBD的周长为24cm，求△ABC的周长。

课后作业：

1、如图，AD是△ABC的对称轴，若BC=5，那么DC=，∠ADC=∠

=

°

第1题

第2题

第3题

2、如图，BC的垂直平分线交AB于点D，若AB=6cm，AC=5cm

（1）DE所在的直线是△的对称轴

（2）△ADC的周长是

cm。

3、如图，在△ABC中，AB的中垂线交BC于点E，若BE=2，则A、E两点的距离是（）

A、4

B、2

C、3

D、0.54、如图，AB垂直平分CD，若AC=1.6，BC=2.3，则四边形ACBD的周长是（）

A、3.9

B、7.8

C、4

D、4.6

第4题

第5题

第6题

5、如图，若CA=CB，DA=DB，则直线CD一定是线段AB的，6、如图所示，△ABC与△DEF关于直线L成轴对称，则直线L不是以下哪条线段的垂直平分线？（）

（A）、AD

（B）、CE

（C）、BF

（D）、GH7、如图，线段AB与A＇B＇关于直线L对称，⑴、连接AA＇交直线l于点O，再连接OB、OB＇。

⑵、把纸沿直线L对折，重合的线段有：。

⑶、因为△OAB和△OA＇B＇关于直线L,所以△OAB

△OA＇B＇，∠ABO=∠，∠AA＇B=∠

A

C

B

D

E

8．如图所示,Rt△ABC中，∠C=90°,AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E．当∠B=30°时，图中不一定相等的线段有（）

A．AC=AE=BE

B．AD=BD

C．CD=DE

D．AC=BD10、在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E，若

∠CAE=∠B+30°，求∠AEB的度数．

11、如图，AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长。

12、如图，△ABC中，AB=BC，∠B=36°，BC的垂直平分线DE交AB于D，垂足为E，请你猜想：AC，BD，CD有何关系？AD＋AC与BC有什么关系？并加以说明。

第四篇：1.3 线段的垂直平分线教案(八年级下册)

1.3线段的垂直平分线（教案）

教学目标

(一)教学知识点

1．经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．

2．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．(二)思维训练要求

1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． 2．体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神． 3．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．(三)情感与价值观要求

1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点

1．能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论． 2．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．

教学难点 写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题并证明它． 教具准备 多媒体演示、直尺、圆规

教学过程

Ⅰ．创设现实情境，引入新课 教师用多媒体演示：

如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应

建在什么位置？

[生]码头应建在线段AB的垂直平分线与在A，B一侧的河岸边的交点上．

[师]同学们认同他的看法吗？ [生]是的

[师]认为对的说说你的理由是什么呢？

[生]（回忆定理）我们以前曾学过线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．

[师]（边说边用折纸的方法再现定理）这位同学分析得很好，我们在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们曾经像这样利用折纸的方法得到“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”这一简单事实，但是用这种观察的方式是很难说服别人的，你能用公理或学过的定理来证明这一结论吗？

教师演示线段垂直平分线的性质：

定理

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． Ⅱ．讲述新课

[第一部分] 线段垂直平分线的性质定理

[师]我们从折纸的过程中得到了线段垂直平分线的性质定理，大家知道这是

１

不够的，还必须利用公理及已学过的定理推理、证明它．那么如何证明呢？

[师]（引导）

问题一：①要证“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗？

（强调）我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质．（开始让学生有这样的数学思想）

②你能根据定理画图并写出已知和求证吗？ ③谁能帮老师分析一下证明思路？ [生]（思考回答）

[师生共析] 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的点．

求证：PA＝PB．

分析：要想证明PA＝PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等． 证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°． ∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)．

∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．

[第二部分] 线段垂直平分线的判定定理

教师用多媒体完整演示证明过程．同时，用多媒体呈现： 想一想

你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ [师]（引导、并提问两学生）

问题二：①这个命题是否属于“如果„„那么„„”的形式？

②你能分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果„„那么„„”的形式吗？

③最后再把它的逆命题写出来 [生A]（思考分析）原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．

[师]有了这位同学的精彩分析，逆命题就很容易写出来．

[生B]如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．

[师]很好，能否把它描述得更简捷呢？

[生B]到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． [师]good!当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们类比原命题自己独立写出已知、求证．

（给学生思考空间）

已知：线段AB，点P是平面内一点且PA＝PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上．（分组讨论，鼓励学生多想证明方法，并派代表上黑板写写本组的证明过程）

２

[师]看学生的具体情况，做适当的引导

证法一：

证明：过点P作已知线段AB的垂线PC． ∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)． ∴AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上．

证法二：

证明：取AB的中点C，过PC作直线． ∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．

∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB． ∴P点在AB的垂直平分线上．

证法三：

证明：过P点作∠APB的角平分线． ∵AP＝BP，∠1＝∠2，PC＝PC，∴△APC≌△BPC(SAS)．

∴AC＝DC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．

又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．

∴P点在线段AB的垂直平分线上

．

[师]先肯定学生的思考，再对证明过程严谨的小组加以表扬，不足的加以点评和纠正。

[师]从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．到现在我们已经学习了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，下面小试牛刀 教师多媒体演示：

P26随堂练习（抢答）：

如图：已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED=_____cm，如果∠ECD＝60°,那么∠EDC＝___°

３

（让学生说出理由）

[第三部分] 用尺规作线段垂直平分线

答对了上面的题，咱们来轻松一下，一起来欣赏一组美丽的数学图。

教师多媒体演示： 做一做

用尺规作线段的垂直平分线．

[师]（边演示图边讲讲作图有关的数学史）大家知道这些图是用什么工具作出来的吗？

（资料：古希腊以来，平面几何中的作图工具习惯上限用直尺和圆规两种.其中，直尺假定直而且长，但上面无任何刻度，圆规则假定其两腿足够长并能开闭自如.作图工具的这种限制，最先大概是恩诺皮德斯(Oenopides，约公元前465年)提出的，以后又经过柏拉图(Plato，公元前427—347)大力提倡.柏拉图非常重视数学，强调学习几何对训练逻辑思维能力的特殊作用，主张对作图工具要有限制，反对使用其他机械工具作图.之后，欧几里得(Euclid，约公元前330—275)又把它总结在《几何原本》一书中。于是，限用尺规进行作图就成为古希腊几何学的金科玉律。）

[师]其实同学们也能用圆规、直尺画出优美的图形，下面咱们就一起来学用尺规作线段的垂直平分线。

（分析：要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个到线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．）

类似于证明题要写出已知、求证和证明，作图题也要根据条件写出已知、求作和作法，下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．

[教师示范，请学生同时练习] 已知：线段AB(如图)．

求作：线段AB的垂直平分线．

1作法：1．分别以点A和B为圆心，以大于AB

2的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．

2．作直线CD．

直线CD就是线段AB的垂直平分线．

[师]根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线吗？请与同伴进行交流．

[生]从作法的第一步可知

４

AC＝BC，AD＝BD．

∴C、D都在AB的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理)． ∴CD就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线)．

[师]我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．

Ⅲ．随堂练习

解决引例（假如要把码头的具体位置准确的画出来，你会画了吗？）看时间是否允许，可让学生完成P27试一试，同桌之间相互检查批改，加深理解。

Ⅳ．课时小结

本节课我们先推理证明了线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，并学会用尺规作线段的垂直平分线．

Ⅴ．课后作业 第1、3题 Ⅵ．板书设计

1.3 线段的垂直平分线

一、线段垂直平分线的性质定理．

二、线段垂直平分线的判定定理．

三、用尺规作线段的垂直平分线．

５

第五篇：线段垂直平分线几何语言(数学八年级上册)

1.线段垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点与这条线段两端点的距离相等

几何语言∵PO是线段AB的垂直平分线，点P在PO上（已知）

∴ PA=PB（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等）2.线段垂直平分线的逆定理：与一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 AO

几何语言∵ PA=PB（已知）

∴点P在AB的垂直平分线上（和一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）

B