三角形中的垂直平分线
课
型：
新授课
教学目标：1.经历探索、猜测、证明三角形垂直平分线的性质的过程，发展推理证明的意识
和能力。
2.会用尺规作图作出“已知底边和底边上高”的等腰三角形。
教学重点：证明三角形垂直平分线的性质。
教学难点：用尺规作图作出“已知底边和底边上高”的等腰三角形。
教学方法：以探索、发现、猜想、证明、应用为主线，从已知条件的推理以及求证的问题中
寻找突破口，展开对本节课的学习。
课前准备：教师准备：课件，教材，助学，三角板，圆规。
学生准备：教材、助学、三角形纸片、练习本、直尺、圆规。
教学过程：
一．复习导入
师：上节课我们学习了线段的垂直平分线，请同学们回想一下：线段垂直
平分线的性质定理和判定定理的内容分别是什么?
生：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
生：线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
师：如图，用数学语言表达为：
生：∵点A在线段BC的垂直平分线上，∴AB=AC(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．
生：∵AB=AC，∴A点在BC的垂直平分线上．(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分
线上)．
师：在七年级我们学习了三角形的三条角平分线和三条中线，我们知道在三角形中他们都相
交于一点。那么三角形的三条边的垂直平分线又有什么性质呢？本节课我们就一起来研
究一下。
二．
合作探究，分组展示
师：请每位同学用自己准备好的锐角三角形纸片、直角三角形纸片和钝角三角形
纸片，分别折出这三个三角形纸片中每个三角形三条边的垂直平分线，折叠
后把你发现的规律展示给大家。
生：（活动后）小组内进行分享活动结果。
师：哪个小组的同学能给大家分享一下你们得到的结论？
生：我们发现锐角三角形纸片三边的垂直平分线相交于三角形内部一点、直角三角形纸片三
边的垂直平分线相交于斜边的中点上，钝角三角形纸片没找到交点。
师：大家同意他们组的观点吗？
生：同意。
师：大家都没找到钝角三角形纸片三边的垂直平分线的交点，能不能想一下其他的办法，再
来探究一下这个问题？
生：我们可以在练习本上作一个钝角三角形，然后用圆规和直尺作出它三边的垂直平分线，再来观察一下。
师：大家同意他的方法吗？
生：同意。
师：那就赶快动手做吧。做完后小组内讨论一下结果应该是什么。
生：（探究后）我们发现钝角三角形三条边的垂直平分线也相交于一点，并且这一点在钝角
三角形的外部。
师：很好。请同学们再来探究一个问题，三角形三边的垂直平分线除了相交于一点，这一点
还有什么共同特点？大家不妨刻度尺来测量一下。
生：（测量后）这一点到三角形三个顶点的距离相等。
师：这就是我们这节课的一个新知：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到
三角形三个顶点的距离相等。
三．
证明
师：如何来证明三角形的垂直平分线这一结论呢？请同学们看课本所给出的证明。看完后回
答下列问题：它的证明思想是什么？都用了那些知识点?
求证：P点在AC的垂直平分线上．
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．
同理PB=PC．
∴PA=PC．
∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这
条线段的垂直平分线上)．
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P．
生：三角形的两边垂直平分线必交于一点，那么要想证明“三线共点”只要证第三条边的垂直平分线也过这个交点就可以了。所用的知识点是线段垂直平分线的性质定理和判定
定理。
四．拓展应用，巩固提高
师：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
(2)
已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?
生：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个，如下
图：
已知：三角形的一条边a和这边上的高h
求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h
从上图我们会发现，先作已知线段BC=a；然后再作BC边上的高h，但垂足不确定,我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D，过此点作BC边的垂线，最
后以D为端点在垂线上截取AD(或A1D)，使AD=A1D=h，连接AB，AC(或△A1B，AlC)，所得△ABC(或△A1BC)都满足条件，所以这样的三角形有无数多个．观察还可
以发现这些三角形不都全等．（见几何画板课件）
生：(2)如果已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数
多个．根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因为只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点，和
底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．
另外有学生补充：“不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件，如底边的中点在底
边上，不能构成三角形，应将这一点从底边的垂直平分线上挖去．”
生：（3）如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．
师：同学们完成都很好。我们一起来完成下面的题目。
[师生共析]
已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．
已知：线段a、h
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h
作法：1．作BC=a；
2．作线段Bc的垂直平分线MN交BC于D点；
3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
4．连接AB、AC
∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示)．
师：完成作图后，可能有学生会后这样的疑问：“满足条件的△ABC应有两个，为什么不作
出另一个呢?
说明：作图分“定位作图”和“活位作图”，前者则对所求作的图形必须作在指定的位置，而后者则对所求作图形的位置没有硬性限制．如“作已知线段的垂直平分线”属定位作
图，而“以已知正方形的一边为边作等边三角形”“已知两边及其夹角作三角形”都属于活
位作图．
对于定位作图，能作出多少个满足条件的图形，就说这个作图题有多少个“解”．对于活
位作图，如果所作出的图形彼此全等，那么不论能作出多少个图形，都说这个作图题
有一个“解”；如果所作出的图形不都全等，那么不全等的才算不同的“解”．
“已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．”属活位作图，虽然满足条件的三角形可作
出两个，但因它们全等，故只有一解．从这个意义上说，满足这一条件的等腰三角形
是唯一确定的．
当然，若没有学生提问，教师不一定要进行作图分类的阐述。
五．作业布置
习题1．7第1、2题
六．
板书设计
1．三角形垂直平分线的性质定理
2．两个作图的问题
3．已知底边及底边上的高，求作等腰三角形
七．
教学反思
本节利用我们已学过的定理和公理证明了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并能利用尺规作出已知线段的垂直平分线．已知等腰三角形的底边和高作出符合条件的等腰三角形，从折纸，尺规作图，逻辑推理多层次地理解并证明了三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等.尤其本节能够充分利用几何画板的动态演示功能，更能增强学生的理解力，我认为这样处理起来是比较好的。
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