专题三
导数及其应用
第七讲
导数的计算与导数的几何意义
2019年
1.（2019全国Ⅰ文13）曲线在点处的切线方程为___________．
2.（2019全国Ⅱ文10）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A．
B．
C．
D．
3.（2019全国三文7）已知曲线在点处的切线方程为y=2x+b，则
A．a=e，b=-1
B．a=e，b=1
C．a=e-1，b=1
D．a=e-1，4.（2019天津文11）曲线在点处的切线方程为__________.5.（2019江苏11）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是
.2010-2018年
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅰ)设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
A．
B．
C．
D．
2．（2017山东）若函数(e=2．71828，是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是
A．
B．
C．
D．
3．（2016年山东）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是
A．
B．
C．
D．
4．（2016年四川）设直线，分别是函数，图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，则△的面积的取值范围是
A．(0,1)
B．(0,2)
C．
(0,+∞)
D．(1,+
∞)
5．（2013浙江）已知函数的图像是下列四个图像之一，且其导函数的图像如右图所示，则该函数的图像是
6．（2014新课标）设曲线在点处的切线方程为，则=
A．0
B．1
C．2
D．3
7．(2011重庆)曲线在点（1，2）处的切线方程为
A．
B．
C．
D．
8．（2011江西）曲线在点处的切线斜率为（）
A．1
B．2
C．
D．
9．（2011山东）曲线在点处的切线与轴交点的纵坐标是
A．-9
B．-3
C．9
D．15
10．（2011湖南）曲线在点处的切线的斜率为（）
A．
B．
C．
D．
11．（2010新课标）曲线在点处的切线方程为
A．
B．
C．
D．
12．（2010辽宁）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是
A．[0,)
B．
C．
D．
二、填空题
13．(2018全国卷Ⅱ)曲线在点处的切线方程为__________．
14．(2018天津)已知函数，为的导函数，则的值为__．
15．（2017新课标Ⅰ）曲线在点处的切线方程为____________．
16．（2017天津）已知，设函数的图象在点处的切线为，则在y轴上的截距为
．
17．（2016年全国III卷）已知为偶函数，当时，则曲线在点(1,2)处的切线方程式_____________________________．
18．（2015新课标1）已知函数的图像在点的处的切线过点，则
．
19．（2015陕西）函数在其极值点处的切线方程为____________．
20．（2015天津）已知函数，其中为实数，为的导函数，若，则的值为
．
21．（2015新课标2）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则
．
22．（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线(a，b为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是
．
23．（2014江西）若曲线处的切线平行于直线的坐标是_______．
24．（2014安徽）若直线与曲线满足下列两个条件：
直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)
①直线在点处“切过”曲线：
②直线在点处“切过”曲线：
③直线在点处“切过”曲线：
④直线在点处“切过”曲线：
⑤直线在点处“切过”曲线：
25．（2013江西）若曲线（）在点处的切线经过坐标原点，则=
．
26．（2012新课标）曲线在点处的切线方程为________．
三、解答题
27．（2017山东）已知函数．
(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程；
(Ⅱ)设函数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
28．（2017北京）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
29．（2016年北京）设函数
（I）求曲线在点处的切线方程；
（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；
（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.30．（2015山东）设函数，已知曲线在点
处的切线与直线平行．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）是否存在自然数，使的方程在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数（表示中的较小值），求的最大值．
31．(2014新课标1)设函数，曲线在点处的切线斜率为0
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若存在，使得，求的取值范围．
32．（2013北京）已知函数
（1）若曲线在点处与直线相切，求与的值．
（2）若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围．
专题三
导数及其应用
第七讲
导数的计算与导数的几何意义
答案部分
2019年
1.解析
因为，所以，所以当时，所以在点处的切线斜率，又所以切线方程为，即．
2.解析
由y=2sinx+cosx，得，所以，所以曲线y=2sinx+cosx在点处的切线方程为，即．
故选C．
3.解析的导数为，又函数在点处的切线方程为，可得，解得，又切点为，可得，即.故选D．
4.解析
由题意，可知.因为，所以曲线在点处的切线方程，即．
5.解析
设，由，得，所以，则该曲线在点A处的切线方程为，因为切线经过点，所以，即，则．
2010-2018年
1．D【解析】通解
因为函数为奇年函数，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以曲线在点
处的切线方程为．故选D．
优解一
因为函数为奇函数，所以，所以，解得，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．故选D．
优解二
易知，因为为奇函数，所以函数为偶函数，所以，解得，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．故选D．
2．A【解析】对于选项A，则，∵，∴)在R上单调递增，∴具有M性质．对于选项B，，令，得或；令，得，∴函数在和上单调递增，在上单调递减，∴不具有M性质．对于选项C，则，∵，∴在R上单调递减，∴不具有M性质．对于选项D，，则在R上不恒成立，故在R上不是单调递增的，所以不具有M性质．
3．A【解析】设两个切点分别为，选项A中，，当时满足，故A正确；函数的导数值均非负，不符合题意，故选A.4．A【解析】设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得
切线的方程分别为，切线的方程为，即．
分别令得又与的交点为
．∵，∴，∴，故选A．
5．B【解析】由导函数图像可知函数的函数值在[1,1]上大于零，所以原函数递增，且导函数值在[1,0]递增，即原函数在[1,1]上切线的斜率递增，导函数的函数值在[0,1]递减，即原函数在[0,1]上切线的斜率递减，所以选B．
6．D【解析】，由题意得，即．
7．A【解析】∵∴切线斜率为3，则过（1,2）的切线方程为，即，故选A.8．A【解析】，．
9．C【解析】∵，切点为，所以切线的斜率为3，故切线方程为，令得．
10．B【解析】，所以。
11．A【解析】点处的切线斜率为，由点斜式可得切线方程为A．
12．D【解析】因为，即tan
≥－1，所以．
13．【解析】由题意知，所以曲线在点处的切线斜率，故所求切线方程为，即．
14．【解析】
由题意得，则．
15．【解析】∵，又，所以切线方程为，即．
16．1【解析】∵，切点为，则切线的斜率为，切线方程为：，令得出，在轴的截距为
17．【解析】当时，则．又为偶函数，所以，所以当时，则曲线在点(1，2)处的切线的斜率为，所以切线方程为，即．
18．1【解析】∵，∴，即切线斜率，又∵，∴切点为（1，），∵切线过（2,7），∴，解得1．
19．【解析】∵，极值点为，∴切线的斜率，因此切线的方程为．
20．3【解析】因为，所以．
21．8【解析】∵，∴，∴在点处的切线方程为，∴，又切线与曲线相切，当时，与平行，故．∵，∴令得，代入，得，∴点在的图象上，故，∴．
22．－3【解析】由题意可得
①又，过点的切线的斜率
②，由①②解得，所以．
23．【解析】由题意得，直线的斜率为，设，则，解得，所以，所以点．
24．【解析】①③④
对于①，所以是曲线在点
处的切线，画图可知曲线在点附近位于直线的两侧，①正确；对于②，因为，所以不是曲线：在点处的切线，②错误；对于③，在点处的切线为，画图可知曲线：在点附近位于直线的两侧，③正确；对于④，，在点处的切线为，画图可知曲线：在点附近位于直线的两侧，④正确；对于⑤，在点处的切线为，令，可得，所以，故，可知曲线：在点附近位于直线的下侧，⑤错误．
25．2【解析】，则，故切线方程过点解得．
26．【解析】∵，∴切线斜率为4，则切线方程为：.27．【解析】（Ⅰ）由题意，所以，当时，，所以，因此，曲线在点处的切线方程是，即．
（Ⅱ）因为
所以，令，则，所以在上单调递增，因此，所以，当时，；当时．
（1）
当时，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以，当时，取到极大值，极大值是，当时，取到极小值，极小值是．
（2）
当时，当时，单调递增；
所以，在上单调递增，无极大值也无极小值．
（3）
当时，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以，当时，取到极大值，极大值是；
当时，取到极小值，极小值是．
综上所述：
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是．
当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是．
28．【解析】（Ⅰ）因为，所以．
又因为，所以曲线在点处的切线方程为．
（Ⅱ）设，则
．
当时，所以在区间上单调递减．
所以对任意有，即．
所以函数在区间上单调递减．
所以当时，有最小值，当时，有最大值．
29．【解析】（I）由，得．
因为，所以曲线在点处的切线方程为．
（II）当时，所以．
令，得，解得或．
与在区间上的情况如下：
所以，当且时，存在，，使得．
由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．
（III）当时，，此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．
当时，只有一个零点，记作．
当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增．
所以不可能有三个不同零点．
综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．
故是有三个不同零点的必要条件．
当，时，只有两个不同零点，所以不是有三个不同零点的充分条件．
因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．
30．【解析】
（Ⅰ）由题意知，曲线在点处的切线斜率为，所以，又所以．
（Ⅱ）时，方程在内存在唯一的根．
设
当时，又
所以存在，使．
因为所以当时，当时，所以当时，单调递增．
所以时，方程在内存在唯一的根．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，方程在内存在唯一的根，且时，时，所以．
当时，若，．
若，由可知故．
当时，由可得时，单调递增；时，单调递减．
可知且．
综上可得函数的最大值为．
31．【解析】：（Ⅰ），由题设知，解得．
（Ⅱ）的定义域为，由（Ⅰ）知，（ⅰ）若，则，故当时，在单调递增，所以，存在，使得的充要条件为，即，解得.（ii）若，则，故当时，；
当时，在单调递减，在单调递增.所以，存在，使得的充要条件为，而，所以不合题意．
（iii）若，则．
综上，的取值范围是．
32．【解析】：（1）
因为曲线在点处的切线为
所以，即，解得
（2）令，得
所以当时，单调递增
当时，单调递减．
所以当时，取得最小值，当时，曲线与直线最多只有一个交点；
当时，，所以存在，使得
由于函数在区间和上单调，所以当时曲线与直线有且仅有两个不同交点．
综上可知，如果曲线与直线有两个不同交点，那么的取值范围是．
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