第一篇：九年级数学上册 1.2 矩形的性质与判定(第1课时)教案 (新版)北师大版
矩形的性质与判定
教学目标
(1)掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。
(2)理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;(3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力． 教学重点
矩形性质定理的证明及应用 教学难点
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的推导及性质定理的运用 教学过程：
一、创设情境，引入新课
师：展示教具（平行四边形），演示平行四边形变为菱形的过程.当我们给平行四边形其他的特殊条件时，是否还会得出其他图形呢？比如，我们平行四边形的一个内角变为90度，你发现了什么特殊图形呢？ 生：长方形.师：原来是大家非常熟悉的图形，他还有个高大上的名字——矩形.板书课题
师：根据前面大家对菱形，平行四边形的学习过程，对于矩形，你想从哪些方面认识它呢？ 生：矩形的定义.生：矩形的性质.生：矩形边、角、对角线的特征.生：矩形的判定.生：……
二、目标展示 师：出示学习目标.生：默读学习目标.三、自主学习1.自主探究
师：根据下面的自学指导，自主学习课本11至12页议一议前的内容.1、定义：有 的 叫做矩形.1
2、矩形是平行四边形吗？
3、如图，四边形ABCD是矩形，试从它的边，角，对角线，对称性上写出性质.（小组讨论）
边：.角：.对角线：.对称性：.4、先写出特有的性质，然后独立思考证明过程，再与课本上的证明相比较.矩形特有的性质是：..处理方式：生自主学习和小组合作相结合，通过自学——猜想——推理三个步骤，掌握矩形的性质.以小组为单位，提出学习过程中的疑问，由其它同学讨论答疑.【设计意图】本环节知识较为简单，有前面菱形性质的研究经验，又有比较坚实的三角形全等的知识基础，此处自学应该没有障碍，因此，为培养学生的自主学习能力及增大课堂容量，将此处设计为自主学习.师归纳板书：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.性质：
1、矩形的四个角都是直角.2、矩形的对角线相等.2.自学检测
生完成导学案上的自学检测习题，然后借助投影仪展示结果，查缺补漏.3.例题解析
展示课本P13例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴ AC=BD(矩形的对角线相等)OA=OC=11AC，OB=OD=BD，22∴OA=OD ∵∠AOD=120°
∴∠ODA=∠OAD=1(180°-120°)= 30° 2又∵∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角)∴BD=2AB=2×2.5=5 处理方式：生独立完成，自主到黑板上板演，师规范解答过程.此题解法不唯一，教师巡视时注意搜集不同解法进行展示.【设计意图】 这个例题主要目的是应用矩形的边和对角线的性质来解决问题.在学过矩形的性质后，如何熟练、灵活的应用矩形的性质解决实际问题，就是关键.四、合作探究 1.小组合作探究
师：矩形的对角线都有哪些性质？ 生：相等，且互相平分.师：于是，连接矩形的对角线，我们会发现特殊的三角形：
个 三角形和 个 三角形，针对直角三角形，我提出下列问题，你能解决吗？试一试.（1）如图，BO是直角三角形ABC的什么特殊线段？（2）你发现BO与直角三角形ABC的斜边有怎样的关系？（3）你能证明你所发现的结论是正确的吗？（4）试用文字语言叙述这一结论.处理方式：生以小组为单位，讨论着四个问题，并试写出证明过程，派代表在黑板上展示.师：参与小组讨论，适时引导，提出疑问.生试讲解.师点拨构造矩形的方法，板书定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.∵Rt△ABC中，∠ABC=90° BO为AC边上的中线（AO=CO）∴BOAOCO2.学习检测
O 1AC 2生独立完成导学案上的检测题.【设计意图】先从矩形的对角线相关性质推出直角三角形的性质，达到“学数学，用数学”的目的。再通过习题，让学生掌握“在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质，达到学以致用的目的，培养了学生的应用意识。
五、课堂小结
谈一谈，本节课你有哪些收获? 生畅谈自己的收获.生：知识上的收获：（1）矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.（2）矩形的性质（3）直角三角形的性质
解题技巧上的收获：矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形。因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角或等腰三角形的问题来解决。
【设计意图】让学生对学习情况进行小结，主要包括：知识小结和学法小结.通过小结，让学生梳理学习内容，明确本节课重点知识以及该掌握的解题方法和技巧，使教师及时了解学生对本节课重点知识以及解题方法和技巧的掌握情况，以便答疑补漏。及时的课堂检测，及时反馈学生学习的效果便于进行课堂教学和优化.六、达标检测
生独立完成导学案的达标测试题.七、作业设置 课本P13第1,2,3题
助学P10——P12矩形的性质与判定第一课时
第二篇：九年级数学上册《1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定(第1课时)》学案
《1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（第1课时）》
学案
【学习目标】
1、A会证明平行四边形的性质定理及其相关结论
2、B.能运用平行四边形的性质定理进行计算与证明
3、C.在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力 【学习重、难点】
重点：平行四边形的性质证明表达格式的逻辑性 完整性 精炼性 难点：分析 综合 思考的方法 【情境创设】
从上面的几种特殊四边形的性质中，你能说说它们之间有什么联系与区别吗？ 如图AB//AB,BC//BC,CA//CA，图中有______个平行四边形。
【合作交流】
活动
1、上表中平行四边形的性质中，你能证明哪些性质？
''
''
''
活动
2、你认为平行四边形性质中，可以先证明哪一个？为什么?
活动
3、证明定理“平行四边形对角线互相平分”。
【典题选讲】
例1.A.已知，如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，求证：AO=CO，BO=DO
A D41 O
BC
由此证明过程，同时也证明了定理“平行四边形对边相等”、“平行四边形对角相等”，这样我们可得平行四边形的三条性质定理：
平行四边形对边相等。
平行四边形对角相等。
平行四边形对角线互相平分。
例
2、B.证明“夹在两条平行线之间的平行线段相等”
分析：根据命题先画出相应图形，再由命题与所画图形写出已知、求证，最后根据已知条件写出证明过程。
例
3、C.已知：如图，□ ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点。求证：
AE=CF
【课堂练习】
1、A.已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8cm，0BC＝10cm，∠C＝120，求BC边上的高AH的长；
求平行四边形ABCD的面积D
2.B.若平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于O，已知AB=8，BC=6，△AOB的周长为18，求△AOD的周长。
3.C.已知：如图，□ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F.求证：BE=DF.ADBE
体会】 引导学生自我归纳总结：
1、平行四边形对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。
2、是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。
3、平行线之间的距离处处相等。【学习
第三篇：【备课参考】2015秋北师大版九年级数学上册教案：1-3 正方形的性质与判定(2课时)
1.3 正方形的性质与判定 第1课时
【教学目标】
了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性 质定理.【教学重难点】
重点:探索正方形的性质定理.难点:掌握正方形的性质的应用方法，把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容.【教学过程】
一、探究导入 【显示投影片】
显示内容:展示生活中有关正方形的图片，幻灯片(多幅).【活动方略】
教师活动:操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题: 1.同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？四个角呢？ 正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？ 正方形具有哪些性质呢？
学生活动:观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片.进行联想.易知：1.正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过).实验活动：教师拿出矩 形按左图折叠.然后展开，让学生发现:只要矩形一组邻边相等，这样的矩形就是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生
发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊菱形也是 正方形.教师活动:组织学生联想正方形还具有哪些性质,板书画出一个正方形，如下图:
学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质；它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：
正方形定义:有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形性质：
（1)边的性质:对边平行，四条边都相等.（2)角的性质：四个角都是直角.（3)对角线的性质:两条对角线互相垂直平分且相 等，每条对角线平分一组对角.(4)对称性:是轴对称图形，有四条对称轴.【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点.二、探究新知
【课堂演练】(投影显示）
演练题1：如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于0，MN//AB，且分别与OA、OB相交于M、N.求证：（1)BM=CN；(2)BM⊥CN.分析：本题是证明BM=CN，根据正方形性质，可以证明BM、CN所在ΔBOM与ΔCON是否全等.（2）在（1)的基础上完成，欲证BM⊥CN.只需证∠5 + ∠CMG= 90°就可以了.【活动方略】
教师活动:操作投影仪.组织学生演练，巡视，关注 “学困生”；等待大部分学生练习做完之后，再请两位学 生上台演示，交流.学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题.证明：（1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠COB=∠BOM= 90°，OC=OB.∵MN//AB，∴∠1=∠2, ∠ABO= ∠3，又∵∠1= ∠ABO= 45°，∴∠ 2=∠3，∴OM =ON，∴ΔCON≌ΔBOM，∴BM=CN.(2)由（1)知ΔBOM ≌ΔCON, ∴∠4= ∠5，∵∠4+∠BMO=90°，∴∠5+∠BMC=90° , ∴∠CGM=90°, ∴BM⊥CN.演练题2:如图，正方形ABCD中，点E在AD边上，且AE= AD，F为AB的中点，求证: 1ΔCEF是直角三角形.4
分析：本题要证∠EFC= 90°，从已知条件分析可以得到只要利用勾股定理逆定理，就可以解决问题.这 里应用到正方形性质.【活动方略】
教师活动:用投影仪显示演练题2,组织学生应用正方形和勾股定理逆定理分析，并请同学上讲台分析思路，板演.学生活动:先独立分析，找到证明思路是利用勾股定理的逆定理解决问题.证明：设AB = 4a，在正方形ABCD中，DC=BC=4a，AF=FB = 2a，AE=a，DE=3a.∵∠B=∠A=∠D=90°，由勾股定理得：
EF2 +CF2=(AE2 +AF2)+(CB2 +BF2)=(a2 + 4a2)+(16a2+4a2)=25a2，CE2=CD2+DE2=(4a)2 +(3a)2=25a2，∴EF2 +CF2=CE2.由勾股定理的逆定理可知ΔCEF是直角三角形.【设计意图】补充两道关于正方形性质应用的演练 题，提高学生的应用能力.三、范例点击
例：已知：如图，四边形ABCD是正方形，矩形
PECF的顶点P在正方形ABCD的对角线BD上,E在BC上，F 在 CD 上，连接 AC、AP、PC、EF，若EC= 4，CF=3,求 PA的长.分析：本题运用矩形对角线相等的性质可得EF=PC，运用正方形的性质可得AP=PC，进而可得AP=EF.因此，只要求出EF的值即可.解：∵四边形PECF是矩形，∴PC=EF.在 RtΔEFC中，EC=4，CF=3, ∴EF='∵点P在BD 上，∴PA=PC=5.∴PC=5.∵四边形ABCD是正方形，∴ BD⊥AC且BD平分AC，即BD是AC的垂直平分线.【方法归纳】与矩形对角线有关的计算问题，主要运用矩形的对角线相等和正方形的对角线的性质，借助第三条线段作“媒介”求线段的长.四、五、巩固练习课堂小结 教材P21随堂练习本节课应掌握： 正方形的概念：
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形的性质
正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等且互相垂直平分.正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形.六、布置作业
教材P22习题1.7第1、2、3题第2课时
【教学目标】
1.知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算.2.经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法.3.理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.【教学重难点】
重点:掌握正方形的判定条件.难点:合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.【教学过程】
―、创设情境，引入新课
我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中.通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形.1.怎样判断一个四边形是平行四边形？ 2.怎样判断一个四边形是矩形？ 3.怎样判断一个四边形是菱形？
4.怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？ 议一议:你有什么方法判定一个四边形是正方形？
二、探究新知
1.探索正方形的判定条件：
学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判 定一个四边形是正方形的基本方法.（1）直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是 菱形，那么这个四边形是正方形；（3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩 形，那么这个四边形是正方形.后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理.矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础.这三个方法还可写成:有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形.上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩
形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断.2.正方形判定条件的应用
例1:判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由.（1）四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形； ⑵四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（4)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.师生共析：
是真命题，因为四条边相等的四边形是菱形，又四个角相等，根据四边形内角和定理知每个角为90°，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题.⑵真命题,由四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判定这个矩形是菱形，所以根据是既是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真.(3)假命题，对角线平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的四边形是菱形，所以它不一定是正方形.如下图①，满足AO=CO，BO=DO且AC⊥BD但四边形ABCD不是正方形.（4）假命题，它可能是任意四边形.如上图②，AC⊥BD 且AC=BD，但四边形ABCD不是正方形.（5）真命题.方法一:对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线垂直 的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形.可判定其为真.方法三：由对角线互相垂直平分可知是菱形，由对角线平分且相等可知是矩形，而既是菱形又是矩形的四边形就是正方形.总结:通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发，寻找命题成立的判定依据，以便灵活应用.例2:如图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD 上，且∠AFE= 45°，试说明EF=BE+DF.师生共析:要证EF=BE+DF,如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上，然后就能证明两线段长度相等。此时可依靠全等三角形来解决.像这种在EB上补上DF或在FD上补上BE的方法叫做补短法.解:将ΔADF旋转到ΔABC，则ΔADF≌ ΔABG ∴AF=AG，∠ADF=∠ABG,DF=BG，∵∠EAF= 45°且四边形是正方形，∴∠ADF + ∠BAE=45°, ∴∠GAB + ∠BAE=45°, 即∠GAE=45°，∴ ΔAEF≌ΔAEG(SAS)，∴EF=EG=EB+BG=EB+DF.讨论:你能从一张彩色纸中剪出一个正方形吗? 说出你的做法.你怎么检验它是一个正方形呢？小组讨论一下.三、范例点击
例3:如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且ΔACE是等边三角形.求证：四边形ABCD是菱形；
若∠AED = 2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形.分析:⑴由已知可得BE垂直平分AC,进而可得AB=BC，再用菱形定义可判定.（2)由菱形性质可得∠DAC =∠BAC，由已知得∠AED=30°，∠EAO=60°，∠DAE= 15°，∠DAO=45°，从而得出∠BAD=90°，问题得解.证明：（1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC.又∵ΔACE是等边三角形，∴EO⊥AC，即 BD⊥AC，∴AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形.∵ΔACE为等边三角形，∴∠AEO= ∠OEC= 30〇 , ∠EAC= 60〇.∵∠AED=2∠EAD，∴∠EAD =15°，∴∠DAO= 45°.又∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAO=∠BAO=45°，∴∠DAB = 90°，∴菱形 ABCD为正方形.四、巩固练习
教材P24随堂练习
通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用.五、课堂小结
本节课应掌握：
正方形常用的判定方法归纳为（学生讨论归纳后，由教师板书）对角线相等的菱形是正方形.对角线垂直的矩形是正方形.有一个角是直角的菱形是正方形.有一组邻边相等的矩形是正方形.六、布置作业 教材P25习题1.8第1、3题.九上数学教案(BS)12
第四篇：九年级数学上册 21.3 实际问题与一元二次方程(第1课时)教案 (新版)新人教版
21.3实际问题与一元二次方程（1）
【教学目标】
知识与技能：1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
过程与方法：经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述
情感态度价值观：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
【教学重难点】
教学重点：列一元二次方程解有关传播问题的应用题 教学难点：发现传播问题中的等量关系 【教学过程】
一、复习引入
1、解一元二次方程都是有哪些方法？
2、列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？
①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答
说明：为继续学习建立一元二次方程的数学模型解实际问题作好铺垫．
二、探索新知 【探究1】
有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
思考：（1）本题中有哪些数量关系？
（2）如何理解“两轮传染”？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了 人；第一轮传染后，共有 人患了流感；
在第二轮传染中，传染源是 人，这些人中每一个人又传染了 人，那么第二轮传染了 人，第二轮传染后，共有 人患流感.（4）根据等量关系列方程并求解
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有x+1人患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感.于是可列方程：
1+x+x(1+x)=121 解方程得
x1=10，x2=-12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．
(5)为什么要舍去一解？
（6）如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？
说明：使学生通过多种方法解传播问题，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关
系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验．
【探究2】
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
思考：（1）怎样理解下降额和下降率的关系？
（2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了 元，此时成本为
元；两年后，甲种药品下降了 元，此时成本为 元。（3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元． 依题意，得5000（1-x）=3000 解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）
（4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大。设乙种药品成本的平均下降率为y． 则：6000（1-y）=3600 整理，得：（1-y）=0.6 解得：y≈0.225 答：两种药品成本的年平均下降率一样大
（5）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
三、巩固练习
说明：通过练习加深学生列一元二次方程解应用题的基本思路
四、小结作业
小结：1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义。
2.用“传播问题”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．
3.对于变化率问题，若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b,则有：a(1x)b（常见n=2）
作业：n
第五篇：示范教案(1.2 指数函数及其性质 第2课时)
第2课时
指数函数及其性质(2)导入新课
思路1.复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质,下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质.如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题,这就是本堂课要讲的主要内容.教师板书课题.思路2.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的方法得出,在理论上,我们能否严格的证明特别是指数函数的单调性,以便于我们在解题时应用这些性质,本堂课我们要解决这个问题.教师板书课题:指数函数及其性质(2).应用示例
思路1 例1已知指数函数f(x)=a（a＞0且a≠1）的图象过点（3,π）,求f(0),f(1),f(-3)的值.活动：学生审题,把握题意,教师适时提问,点拨,求值的关键是确定a,一般用待定系数法,构建一个方程来处理,函数图象过已知点,说明点在图象上,意味着已知点的坐标满足曲线的方程,转化为将已知点的坐标代入指数函数f(x)=ax（a＞0且a≠1）求a的值,进而求出f(0),f(1),f(-3)的值,请学生上黑板板书,及时评价.解：因为图象过点（3,π）, 11x所以f(3)=a3=π,即a=π3,f(x)=(π3)x.再把0,1,3分别代入,得 f(0)=π=1, f(1)=π=π, f(-3)=π-1=.点评：根据待定系数的多少来确定构建方程的个数是解题的关键,这是方程思想的运用.例2用函数单调性的定义证明指数函数的单调性.活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤,单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.证法一：设x1,x2∈R,且x1＜x2,则
xxxxy2－y1=a2－a1=a1（a2-x1－1）.因为a＞1,x2－x1＞0，所以ax2-x1＞1,即ax2-x1－1＞0.又因为a1＞0, 所以y2－y1＞0, 即y1 y2y1x101= aax2x1=a x2x1.因为a＞1,x2－x1＞0,所以a即y2y1x2x1＞1, >1,y1 若指数函数y=（2a－1）x是减函数,则a的范围是多少？ 答案：12x＜a＜1.例3截止到1999年底,我国人口约13亿,如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少（精确到亿）？ 活动：师生共同讨论,将实际问题转化为数学表达式,建立目标函数,常采用特殊到一般的方式,教师引导学生注意题目中自变量的取值范围,可以先考虑一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题： 1999年底 人口约为13亿;经过1年 人口约为13（1+1%）亿;经过2年 人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)亿;经过3年 人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿;经过x年 人口约为13(1+1%)x亿;经过20年 人口约为13(1+1%)20亿.解：设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后,我国人口数为y亿,则 y=13(1+1%)x, 当x=20时,y=13(1+1%)20≈16(亿).答：经过20年后,我国人口数最多为16亿.点评：类似此题,设原值为N,平均增长率为P,则对于经过时间x后总量y=N(1+p)x,像y=N(1+p)等形如y=ka(k∈R,a＞0且a≠1）的函数称为指数型函数.思路2 例1求下列函数的定义域、值域： 12xx(1)y=0.4x1;(2)y=35x1;(3)y=2+1;(4)y= x 2221xx.解：（1）由x-1≠0得x≠1,所以所求函数定义域为{x|x≠1}.由x≠得y≠1, 即函数值域为{y|y>0且y≠1}.（2）由5x-1≥0得x≥15,所以所求函数定义域为{x|x≥ 15}.由5x-1≥0得y≥1，所以函数值域为{y|y≥1}.（3）所求函数定义域为R，由2x>0可得2x+1>1.所以函数值域为{y|y>1}.(4)由已知得：函数的定义域是R,且(2x+1)y=2x-2,即(y-1)2x=-y-2.因为y≠1,所以2x=y2y1.又x∈R,所以2x>0,y2y1>0.解之,得-2 x3≠（12)0=1.又因为y>0,所以值域为(0,1)∪(1,+∞).例2 （1）求函数y=(122)x2x的单调区间,并证明.221x（2）设a是实数,f(x)=a(x∈R),试证明对于任意a,f(x)为增函数.12活动：（1）这个函数的单调区间由两个函数决定,指数函数y=（）x与y=x2-2x的复合函数,（2）函数单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.1x222x2()22y11解法一：设x1 22x2122x11= 2(2(2x1x12xx2)1)(221).由于指数函数y=2在R上是增函数,且x1 1.函数y=a（a＞1）的图象是（）|x|xxxx 图2-1-2-8 分析：当x≥0时,y=a|x|=ax的图象过（0,1）点,在第一象限,图象下凸,是增函数.答案：B 2.下列函数中,值域为（0,+∞）的函数是（）A.y=(13x)2-x B.y=1-C.y=0.5- 1D.y=2x+1 2x分析：因为（2－x）∈R,所以y=（［0,+∞);y=2答案：A x213x）2－x∈（0,+∞）;y=1-4∈［0,1］;y=0.5-1∈ x+1∈［2,+∞).3.已知函数f（x）的定义域是（0,1）,那么f（2x）的定义域是（）A.（0,1） B.（x 12,1） C.（－∞,0） D.（0,+∞） x 0分析：由题意得0＜2＜1,即0＜2＜2,所以x＜0,即x∈（－∞,0）.答案：C 4.若集合A={y|y=2x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则（） A.AB B.AB C.A=B D.A∩B= 分析：A={y|y＞0},B={y|y≥0},所以AB.答案：A 5.对于函数f(x)定义域中的任意的x1、x2(x1≠x2),有如下的结论: ①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2);③f(x1)f(x2)x1x2>0;④f(x1x22)< f(x1)f(x2)x1x2.当f(x)=10x时,上述结论中正确的是.分析:因为f(x)=10,且x1≠x2,所以f(x1+x2)=10x x1x2=10x110x2=f(x1)·f(x2),所以①正确;因为f(x1·x2)=10xx≠10x10x=f(x1)+f(x2),②不正确;1212因为f(x)=10是增函数,所以f(x1)-f(x2)与x1-x2同号,所以xx f(x1)f(x2)x1x2>0,所以③正确.因为函数f(x)=10图象如图2-1-2-9所示是上凹下凸的,可解得④正确.图2-1-2-9 答案：①③④ 另解：④ 10∵10x1>0,10x2>0,x1≠x2,∴x1x2x1x2x1102x2>10x110x210∴ x1102x2>10x1x2, 即10102>102∴f(x1)f(x2)x1x2>f(x1x22).拓展提升 在同一坐标系中作出下列函数的图象,讨论它们之间的联系.(1)①y=3x,②y=3x+1,③y=3x-1;(2)①y=(12x),②y=(12),③y=(x- 112) x+1 .活动：学生动手画函数图象,教师点拨,学生没有思路教师可以提示.学生回忆函数作图的方法与步骤,按规定作出图象,特别是关键点.答案：如图2-1-2-10及图2-1-2-11.图2-1-2-10图2-1-2-11 观察图2-1-2-10可以看出,y=3x,y=3x+1,y=3x-1的图象间有如下关系: y=3的图象由y=3的图象左移1个单位得到;y=3x-1的图象由y=3x的图象右移1个单位得到;y=3x-1x+1x的图象由y=3x+1的图象向右移动2个单位得到.12观察图2-1-2-11可以看出,y=(y=(12),y=（x 12),y=（x-1 12) x+1的图象间有如下关系:)x+1的图象由y=(12)的图象左移1个单位得到; xy=(y=(1212)x-1的图象由y=(1212)的图象右移1个单位得到;)x+1的图象向右移动2个单位得到.x)x-1的图象由y=(你能推广到一般的情形吗?同学们留作思考.课堂小结 思考 我们本堂课主要学习了哪些知识,你有什么收获?把你的收获写在笔记本上.活动：教师用多媒体显示以下内容,学生互相交流学习心得,看是否与多媒体显示的内容一致.本节课,在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想,加深了对问题的分析能力,形成了一定的能力与方法.作业 课本P59习题2.1 B组1、3、4.设计感想 本堂课主要是复习巩固指数函数及其性质,涉及的内容较多,要首先组织学生回顾指数函数的性质,为此,必须利用函数图象,数形结合,通过数与形的相互转化,借助形的直观性解决问题,本节课要训练学生能够恰当地构造函数,根据函数的单调性比较大小,有时要分a>1,0
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