2021中考数学总复习重点突破专题练习
二次函数的综合应用
1.如图，抛物线y=ax2+4x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y=-x+5经过点B，C．点M是直线BC上方抛物线上一动点（点M不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，连接MC，MB．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接MO，交直线BC于点D，若△MCD≅△MBD，求m的值；
(3)过点M的直线y=kx+b与抛物线交于另一点N，点N的横坐标为nn≠m．当m+n=3时，请直接写出b的取值范围．
2.已知抛物线y=ax2+c经过点A0,2
和点B-1,0．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将(1)中的抛物线平移，使其顶点坐标为
2,18，平移后的抛物线的对称轴与x轴交于点H，与x轴的两个交点分别为点C，D（点C在点D的左边），与y轴的交点为点E．试问，在平移后的抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以点P，C，H为顶点的三角形与△EOD相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)将(1)中的抛物线上下平移，设平移后顶点的纵坐标为m，平移后的抛物线与x轴两个交点之间的距离为n．若1 3.抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(1, 0)，B(-3, 0)两点，顶点纵坐标为-4． (1)求抛物线的解析式； (2)直线l:y=kx-k(0≤k≤3)与抛物线交于M(xM, yM)，N(xN, yN)，xM ②点P(xP, yP)在抛物线上(xM 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0, 3)，与x轴交于A，B两点，点B坐标为(4, 0)，抛物线的对称轴方程为x=1． (1)求抛物线的解析式； (2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值； (3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 5.【概念认识】 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，用以下方式定义两点间距离：d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|.【数学理解】(1)①已知点A(-2, 1)，则d(O,A)=________； ②函数y=-2x+4(0≤x≤2)的图象如图①所示，B是图象上一点，d(O,B)=3，则点B的坐标是________； (2)函数y=4x(x>0)的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d(O,C)=3； (3)函数y=x2-5x+7(x≥0)的图象如图③所示，D是图象上一点，求d(O,D)的最小值及对应点D的坐标； 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=12x2+bx+c经过点A0,2和B1,32． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求点C的坐标； (3)在(2)的条件下，点D在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D之间的部分（含点A，D）为图象G，若图象G向下平移tt>0个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围． 7.如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，B，C，已知点A(-1, 0)，点C(0, 3)． (1)求抛物线的表达式； (2)P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标； (3)设E是抛物线上的一点，在x轴上是否存在点F，使得A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 8.二次函数y=-x2+bx+c与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y=-x+3，AD⊥x轴交直线BC于点D． (1)求二次函数的解析式； (2)Mm,0为线段AB上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与抛物线及直线BC分别交于点E，F．直线AE与直线BC交于点G，当EGAG=12时，求m值． 9.已知y关于x的二次函数y=x2-2bx+b2+2b-3的图象与x轴有两个公共点． (1)求b的取值范围； (2)若b取满足条件的最大整数值，当2≤x≤m-1时，函数y的取值范围是n≤y≤8，求m，n的值； (3)若在自变量x的值满足b-1≤x≤12b的情况下，对应函数y的最小值为-34，求此时二次函数的解析式． 10.已知，如图抛物线y=ax2+3ax+ca>0 与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为1,0，OC=3OB． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QBC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴负半轴交于点A-4,0，与x轴正半轴交于点B1,0，与y轴负半轴交于点C(0,-2)，且∠ACB=90∘． (1)求抛物线的函数关系式； (2)点D是OA上一点（不与点A，O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交AC于点F，当DF=13EF时，求点E的坐标； (3)设抛物线的对称轴l交x轴于点G，在(3)的条件下，点M是抛物线的对称轴上的一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M，N，使以A，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 12.在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A0,1和C3,0，点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连接BD，作DE⊥DB，交射线OC于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEP． (1)填空：点B的坐标为________.(2)是否存在这样的点D，使得△DBC是等腰三角形？若存在请求出AD的长度；若不存在，请说明理由； (3)①求证： DBDE=3； ②设AD=x，矩形BDEF的面积为 y，求y关于x的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最小值？ 13.如图，直线y=-43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A，C和点B-1,0.(1)求该二次函数的关系式； (2)设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积； (3)有两动点D，E同时从点O出发，其中点D以每秒32个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当D，E两点相遇时，它们都停止运动．设D，E同时从点O出发t秒时，△ODE的面积为S． ①请问D，E两点在运动过程中，是否存在△DEA∽△OCA，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S关于t的函数关系式，并求出S的最大值.14.如图，已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴交于A1,0，B4,0两点，与y轴交于点C，直线y=-12x+2经过B，C两点． (1)求二次函数的解析式； (2)平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标； (3)过(2)中的点Q作QE//y轴，交x轴于点E，如图2．若M是抛物线上一动点，N是x轴上一动点，是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 15.如图1，已知抛物线顶点C1,4，且与y轴交于点D0,3．与x轴交于点A，B． (1)求该抛物线的解析式； (2)求△ABC的面积； (3)如图2，点P是该抛物线上位于第一象限的点，线段AP交BD于点M、交y轴于点N，△BMP和△DMN的面积分别为S1，S2，求S1-S2的最大值． 参考答案 1.【答案】 解：(1)∵ 直线y=-x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，∴ B5,0，C0,5． ∵ 抛物线y=ax2+4x+c经过点A，B，∴ 25a+20+c=0,c=5,解得a=-1,c=5,∴ 抛物线解析式为y=-x2+4x+5． (2)由(1)知：OB=OC=5，若△MCD≅△MBD，则BM=CM，∵ OM=OM，∴ △MCO≅△MBO，∴ ∠COM=∠BOM． ∵ 点M的坐标为m,-m2+4m+5，∴ m=-m2+4m+5，解得：m1=3+292或m2=3-292（舍去），∴ m=3+292． (3)-5 联立方程组y=-x2+4x+5,y=kx+b,得：x2+-4+kx+b-5=0，由m+n=3得k=1，当直线y=x+b过点B时，b=-5； 当直线y=x+b与抛物线有唯一交点时，b=294，则-5 2.【答案】 解：(1)∵ 抛物线y=ax2+c经过点A0,2 和点B-1,0，∴ c=2，a+c=0，解得： a=-2，c=2，∴ 此抛物线的解析式为y=-2x2+2.(2)∵ 此抛物线平移后顶点坐标为2,18，∴ 抛物线的解析式为y=-2x-22+18，令y=0，即-2x-22+18=0，解得 x1=5,x2=-1． ∵ 点C在点D的左边，∴ C-1,0,D5,0，易求E0,10,H2,0，∴ EO=10,DO=5,CH=3，∵ ∠PHC=∠EOD=90∘，故有两种情况： ①△OED∽△HCP，∴ OEOD=HCHP，∴ 105=3HP，∴ HP=32，∴ P2,32或P2,-32； ②△OED∽△HPC，∴ OEOD=HPHC，∴ 105=HP3，∴ HP=6，∴ P2,6或P2,-6． 综上所述：符合题意的点P的坐标为：P2,32或P2,-32或P2,6或P2,-6． (3)设平移后抛物线的解析式是y=-2x2+m，该抛物线与x轴的两交点横坐标为x1,x2,整理为： 2x2-m=0，此时x1+x2=0，x1⋅x2=-12m． 则|x2-x1|=x1+x22-4x1x2=2m=n，当m=1时，n=2.当m=5时，n=10.∴ n的取值范围是： 2 解：(1)设抛物线的表达式为y=a(x-x1)(x-x2) =a(x-1)(x+3)=a(x2+2x-3)，函数的对称轴为x=12(1-3)=-1，当x=-1时，y=a(x2+2x-3)=-4a=-4，解得a=1，故抛物线的表达式为y=x2+2x-3.(2)①y=kx-k=k(x-1)，当x=1时，y=kx-k=0，故该函数过点(1, 0)，即点N(1,0)，故点N，A重合，如图，联立y=x2+2x-3,y=kx-k,整理得：x2+(2-k)x+k-3=0，则xM+xN=k-2，而xN=1，故xM=k-3，当x=k-3时，y=kx-k=k(x-1)=k(k-3-1)=k2-4k=yM，∵ 0≤k≤3，故-4≤k2-4k≤0，即yM的范围为-4≤yM≤0； ②由题意知，PQ // y轴，设点P的坐标为(x, x2+2x-3)，则点Q(x,kx-k)，则PQ=kx-k-x2-2x+3=-x2+(k-2)x+(3-k)，∵ -1<0，故PQ有最大值，当x=-b2a=k-22时，PQ的最大值为=-(k-22)2+(k-2)⋅k-22+(3-k)，即dmax=14k2-2k+4． 4.【答案】 解：(1)∵ 点B坐标为(4, 0)，抛物线的对称轴方程为x=1． ∴ A(-2, 0).把点A(-2, 0)，B(4, 0)，C(0, 3)，分别代入y=ax2+bx+c(a≠0)，得4a-2b+c=0，16a+4b+c=0，c=3，解得 a=-38，b=34，c=3，所以该抛物线的解析式为：y=-38x2+34x+3； (2)设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t． ∴ MB=6-3t． 由题意得，点C的坐标为(0, 3)． 在Rt△BOC中，BC=32+42=5． 如图1，过点N作NH⊥AB于点H． ∴ NH // CO，∴ △BHN∼△BOC，∴ HNOC=BNBC，即HN3=t5，∴ HN=35t． ∴ S=12MB⋅HN=12(6-3t)⋅35t =-910t2+95t =-910(t-1)2+910，当△MBN存在时，0 当t=1时，S最大=910． (3)如图2，在Rt△OBC中，cos∠B=OBBC=45． 设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t． ∴ MB=6-3t． 当∠MNB=90∘时，cos∠B=BNMB=45，即t6-3t=45，化简，得17t=24，解得t=2417； 当∠BMN=90∘时，cos∠B=BMBN=6-3tt=45，化简，得19t=30，解得t=3019.综上所述：t=2417或t=3019时，△MBN为直角三角形． 5.【答案】 (1)解：①由题意得： d(O, A)=|0+2|+|0-1|=2+1=3.②设B(x, y)，由定义两点间的距离可得：|0-x|+|0-y|=3，∵ 0≤x≤2，∴ x+y=3，∴ x+y=3,y=-2x+4,解得：x=1,y=2,∴ B(1, 2).故答案为：3；(1, 2).(2)证明：假设函数y=4x(x>0)的图象上存在点C(x, y)使d(O,C)=3，根据题意，得|x-0|+|4x-0|=3，∵ x>0，∴ 4x>0，|x-0|+|4x-0|=x+4x，∴ x+4x=3，∴ x2+4=3x，∴ x2-3x+4=0，∴ Δ=b2-4ac=-7<0，∴ 方程x2-3x+4=0没有实数根，∴ 该函数的图象上不存在点C，使d(O,C)=3． (3)解：设D(x, y)，根据题意得，d(O, D)=|x-0|+|x2-5x+7-0| =|x|+|x2-5x+7|，∵ x2-5x+7=(x-52)2+34>0，又x≥0，∴ d(O, D)=|x|+|x2-5x+7| =x+x2-5x+7 =x2-4x+7 =(x-2)2+3，∴ 当x=2时，d(O,D)有最小值3，此时点D的坐标是(2,1)． 6.【答案】 解：(1)把A(0,2)和B(1,32)代入y=12x2+bx+c，得c=2，12+b+c=32，解得b=-1，c=2，∴ 抛物线的解析式为y=12x2-x+2.(2)∵ y=12x2-x+2=12(x-1)2+32，∴ 抛物线的对称轴为直线x=1，∵ 点C与点A关于抛物线的对称轴对称，点A(0,2)，∴ 点C的坐标为(2,2).(3)当x=4时，y=12x2-x+2=8-4+2=6，∴ D点坐标为(4,6)． 如图，设直线BC的解析式为y=mx+n，把B(1,32)，C(2,2)代入直线BC的解析式，得m+n=32,2m+n=2,解得m=12,n=1,∴ 直线BC的解析式为y=12x+1，当x=0时，y=12x+1=1，∴ 图象G向下平移1个单位时，点A在直线BC上，图象G向下平移3个单位时，点D在直线BC上，∴ 当1 7.【答案】 解：(1)∵ 点A(-1, 0)，点C(0, 3)在抛物线y=-x2+bx+c上，∴ -1-b+c=0，c=3，解得b=2，c=3． 即抛物线的表达式是y=-x2+2x+3； (2)令-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，∵ 点A(-1, 0)，∴ 点B的坐标为(3, 0)． 设过点B，C的直线的解析式为：y=kx+b，3k+b=0，b=3，解得k=-1，b=3，∴ 过点B，C的直线的解析式为：y=-x+3． 设点P的坐标为(a,-a+3)，则点D的坐标为(a,-a2+2a+3)，∴ PD=(-a2+2a+3)-(-a+3)=-a2+3a． ∴ S△BDC=S△PDC+S△PDB =12PD⋅a+12PD⋅(3-a) =12(-a2+3a)⋅a+12(-a2+3a)⋅(3-a) =-32(a-32)2+278． ∴ 当a=32时，△BDC的面积最大，∴ 点P的坐标为(32,32)． (3)存在． ①当AC是平行四边形的边时，则点E的纵坐标为3或-3，∵ E是抛物线上的一点，∴ 将y=3代入y=-x2+2x+3，得x1=0（舍去），x2=2; 将y=-3代入y=-x2+2x+3，得x3=1+7，x4=1-7． ∴ E1(2, 3)，E2(1+7,-3)，E3(1-7,-3)，则点F1(1, 0)，F2(2+7, 0)，F3(2-7, 0)，②当AC为平行四边形的对角线时，则点E的纵坐标为3，∵ E是抛物线上的一点，∴ 将y=3代入y=-x2+2x+3，得x1=0（舍去），x2=2； 即点E4(2, 3)，则F4(-3, 0)． 由上可得，点F的坐标是：F1(1, 0)，F2(2+7, 0)，F3(2-7, 0)，F4(-3, 0)． 8.【答案】 解：(1)∵ 直线BC的解析式为y=-x+3，∴ 点B3,0，点C0,3． ∵ B3,0和C0,3在抛物线y=-x2+bx+c上，∴ -9+3b+c=0,c=3,解得：b=2,c=3,∴ 二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3． (2)∵ 二次函数y=-x2+2x+3与x轴交于点A，B，∴ 点A-1,0． ∵ AD⊥x轴交直线BC于点D，∴ 点D-1,4，∴ AD=4． ∵ EM⊥x轴，AD⊥x轴，∴ △EFG∽△ADG，∴ EFAD=EGAG=12． ∵ EM⊥x轴交直线BC于点F，点Mm,0，∴ 点E的坐标为(m,-m2+2m+3)，点F的坐标为m,-m+3． ①若点M在原点右侧，则EF=-m2+2m+3--m+3=-m2+3m，即-m2+3m4=12，解得：m1=1，m2=2． ②若点M在原点左侧，则EF=(-m+3)-(-m2+2m+3)=m2-3m，即m2-3m4=12，解得：m3=3-172，m4=3+172（舍去）； 综上所述，m的值为1，2，3-172． 9.【答案】 解：(1)由题意知，Δ>0，即-2b2-4b2+2b-3>0，∴ -8b+12>0，解得：b<32． (2)由题意，b=1，代入y=x2-2bx+b2+2b-3，得：y=x2-2x，∴ 对称轴为直线x=--22×1=1.又∵ a=1>0，函数图象开口向上，∴ 当2≤x≤m-1时，y随x的增大而增大，∴ 当x=2时，y=n=22-2×2=0； 当x=m-1时，y=m-12-2m-1=8，化简，得：m2-4m-5=0，解得：m1=5，m3=-1（不合题意，舍去），∴ m=5，n=0． (3)∵ y=x2-2bx+b2+2b-3=x-b2+2b-3，∴ 对称轴为直线x=b，开口向上，①当b-1≤12b≤b，即0≤b<32时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，即函数y在x=12b时取得最小值，有12b-b2+2b-3=-34，解得b1=-9（不合题意，舍去），b2=1，∴ 此时二次函数的解析式为y=x2-2x.②当b-1 2b-3=-34，解得：b=98（不合题意，舍去），综上所述，符合题意的二次函数的解析式为y=x2-2x． 10.【答案】 解：(1)∵ B的坐标为(1,0)，∴ OB=1． ∵ OC=3OB=3，点C在x轴下方，∴ C(0,-3)． ∵ 将B1,0，C(0,-3)代入抛物线的解析式，得4a+c=0,c=-3,解得：a=34，c=-3，∴ 抛物线的解析式为y=34x2+94x-3． (2)如图所示：连结AC与抛物线的对称轴交于点Q，此时△QBC的周长最小． ∵ x=-b2a=-942×34=-32，B(1,0)，∴ A-4,0． 设直线AC的解析式为：y=mx+n，∵A(-4,0)，C(0,-3)，∴ -4m+n=0,n=-3,解得：m=-34,n=-3,∴ 直线AC的解析式为：y=-34x-3，∴ 当x=-32，y=-34×-32-3=-158，∴ 点Q的坐标是-32,-158.(3)如图所示：过点D作DE//y轴，交AC于点E． ∵ A-4,0，B1,0，∴ AB=5，∴S△ABC=12AB⋅OC=12×5×3=152． 由(2)知直线AC的解析式为y=-34x-3． 设Da,34a2+94a-3，则Ea,-34a-3． ∵ DE=-34a-3-34a2+94a-3=-34a+22+3，∴ 当a=-2时，DE有最大值，最大值为3，∴ △ADC的最大面积=12DE⋅AO=12×3×4=6，∴ 四边形ABCD的面积的最大值为272． (4)存在． ①如图，过点C作CP1//x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1//AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形． ∵C(0,-3)，令34x2+94x-3=-3，∴ x1=0，x2=-3，∴ P1-3,-3.②平移直线AC交x轴于点E2，E3，交x轴上方的抛物线于点P2，P3，当AC=P2E2时，四边形ACE2P2为平行四边形，当AC=P3E3时，四边形ACE3P3为平行四边形． ∵C0,-3，∴ P2，P3的纵坐标均为3． 令y=3得：34x2+94x-3=3，解得x1=-3-412，x2=-3+412，∴ P2-3-412,3，P3-3+412,3． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：P1-3,-3，P2-3-412,3，P3-3+412,3． 11.【答案】 解：(1)分别把A-4,0，B1,0，C 0,-2代入y=ax2+bx+c，得 16a-4b+c=0，a+b+c=0，c=-2，解得a=12，b=32，c=-2，∴ y=12x2+32x-2，∴抛物线的函数关系式为y=12x2+32x-2． (2)设直线AC的函数关系式为y=kx+b，将点A-4,0，C0,-2代入y=kx+b，得 -4k+b=0，b=-2，解得k=-12，b=-2，∴ y=-12x-2． 设Dm,0，∴ yE=12m2+32m-2，yF=-12m-2，∴ DF=12m+2，EF=yF-yE=-12m2-2m，由题意，得12m+2=13-12m2-2m，解得m=-3或-4（舍去），将m=-3，代入yE=12m2+32m-2，得yE=-2，∴ E-3,-2． (3)存在，理由如下： 当以A，E，M，N为顶点的四边形是菱形时，△AEM是等腰三角形． 由题意，AD=1，DE=2，抛物线的对称轴为：x=-b2a=-32，在Rt△ADE中，由勾股定理得AE=5.①AM=AE=5时，∵点A到直线l的距离是-32--4=52>5，∴ 此时点M不存在． ②EM=AE=5时，如图，过点E作EH⊥l于点H，∴ yH=yE=-2，EH=-32--3=32，在Rt△EHM中，由勾股定理得 MN= 52-322=112，∴ yM=-2+112或-2-112，∴M1-32,-2+112，M2-32,-2-112； ③当MA=ME时，MA2=ME2，即MG2+AG2=MH2+EH2，设M-32,n，n2+522=m+22+322，解得n=0，∴ M3=-32,0，综上，M1-32,-2+112，M2-32,-2-112，M3-32,0,此时N1-52,112，N2-52,-112，N3-112,-2． 12.【答案】 解：(1)∵ 四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A0,1和C3,0，∴ 点B的坐标为3,1.故答案为：3,1.(2)存在．理由如下：∵ OA=1,OC=3，∴ tan∠ACO=AOOC=33，∴ ∠ACO=30∘，∠ACB=60∘，有以下两种情况： ①如图(1)中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，∠DEC>∠DEF=90∘，∴ 只有ED=EC，∴ ∠DCE=∠EDC=30∘，∴ ∠DBC=∠BCD=60∘，∴ △DBC是等边三角形，∴ DC=BC=1.在Rt△AOC中，∵ ∠ACO=30∘ ,OA=1，∴ AC=2AO=2，∴ AD=AC-CD=2-1=1，∴ 当AD=1时，△DEC是等腰三角形． ②如图(2)中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，∠DCE=150∘，∴ 只有CD=CE,∴ ∠DBC=∠DEC=∠CDE=15∘，∴ ∠ABD=∠ADB=75∘，∴ AB=AD=3，综上所述，满足条件的AD的值为1或3.(3)①如图(1)，过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，∵ A0,1和C3,0，∴ 直线AC的解析式为y=-33x+1，设Da,-33a+1，∴ DN=-33a+1,BM=3-a，∵ ∠BDE=90∘，∴ ∠BDM+∠NDE=90∘，∠BDM+∠DBM=90∘，∴ ∠DBM=∠EDN，∵ ∠BMD=∠DNE=90∘，∴ △BMD∼△DNE，∴ DBDE=BMDN=3-a1-33a=3． ②如图(2)中，作DH⊥AB于H． 在Rt△ADH中，∵ AD=x,∠DAH=∠ACO=30∘，∴ DH=12AD=12x,AH=AD2-DH2=32x，∴ BH=3-32x，在Rt△BDH中，BD=BH2+DH2=12x2+3-32x2，∴ DE=33BD=33⋅12x2+3-32x2，∴ 矩形BDEF的面积为 y=33[(12x)2+(3-32x)2]2=33(x2-3x+3),∴ y=33x-322+34，∵ 33>0，∴ x=32时，y有最小值34． 13.【答案】 解：(1)令y=0，则x=3，A(3,0)，C(0,4).因为二次函数的图象过点C(0,4)，所以可设二次函数的关系式为y=ax2+bx+4，又因为该函数图象过点A(3,0)，B(-1,0)，所以0=9a+3b+4，0=a-b+4，解得a=-43，b=83，所以所求二次函数的关系式为y=-43x2+83x+4.(2)∵ y=-43x2+83x+4 =-43(x-1)2+163，∴ 顶点M的坐标为(1, 163).过点M作MF⊥x轴于F，∴ S四边形AOCM=S△AFM+S梯形FOCM =12×3-1×163+12×4+163×1=10，∴ 四边形AOCM的面积为10.(3)①∵ ∠COA=90∘，△DEA∽△OCA，∴ ∠EDA=90∘，在Rt△COA中，AC=OA2+OC2=5，由ADAO=EDCO=AEAC，可得，3-32t3=5-(4t-4)5，解得t=83.当两点相遇时，t=(3+4+5)÷(4+32)=2411<83，∴ 不存在△DEA∽△OCA.②(i)当0 (ii)当1 |y2|4=5-4t-45，∴ |y2|=36-16t5，S=12×32t×36-16t5=-125t2+275t； (iii)当2 |y4|4=32t-35，∴ |y4|=6t-125，∴ S=S△AOE-S△AOD =12×3×36-16t5-12×3×6t-125 =-335t+725； ③当0 当1 当2 ∴ Smax=24380.14.【答案】 解：(1)∵ 直线y=-12x+2经过B，C两点，∴ C0,2． ∵ 二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象经过A1,0,B4,0,C0,2，∴ a+b+c=0，16a+4b+c=0，c=2，解得 a=12，b=-52，c=2，∴ 二次函数的解析式为y=12x2-52x+2． (2)∵ 直线BC的解析式为y=-12x+2，∴ 设平移后的解析式为y=-12x+2+m ∵ 平移后直线BC与抛物线有唯一公共点Q，∴ 12x2-52x+2=-12x+2+m，即x2-4x-2m=0，∴ Δ=-42-4×-2m=0，∴ m=-2，∴ 平移后直线BC的解析式为y=-12x． 联立方程组，得 y=-12x,y=12x2-52x+2，解得x=2，y=-1，∴ Q2,-1.(3)满足条件的点M共有8个，其坐标分别为(3+3, 3+12）或(3-3, 1-32）或(2+2,-22）或2-2,22或9+332,5+33或9-332,5-33或1+172,3-17或1-172,3+17.设点M的坐标为(m, 12m2-52m+2)． ∵ 以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似，∴ 分以下两种情况讨论： ①当△MEN∽△OBC时，得∠MEN=∠OBC过点M作MH⊥x轴于点H，∴ ∠EHM=90∘=∠BOC，∴ △EHM∽△BOC，∴ EHMH=OBOC． MH=|12m2-52m+2|，EH=|m-2|，OB=4，OC=2． ∴ |m-2||12m2-52m+2|=2，∴ m=3±3或m=2±2，当m=3+3时，12m2-52m+2=3+12，∴ M(3+3, 3+12)； 当m=3-3时，12m2-52m+2=1-32，∴ M3-3,1-32； 当m=2+2时，12m2-52m+2=-22，∴ M2+2,-22； 当m=2-2时，12m2-52m+2=22，∴ M2-2,22； ②当△MNE∽△OBC时，同①的方法，得|m-2||12m2-52m+2|=12，∴ m=9±332或m=1±172． 当m=9+332时，12m2-52m+2=5+33，∴ M9+332,5+33； 当m=9-332时，12m2-52m+2=5-33，∴ M9-332,5-33； 当m=1+172时，12m2-52m+2=3-17，∴ M1+172,3-17； 当m=1-172时，12m2-52m+2=3+17，∴ M1-172,3+17； 即满足条件的点M共有8个，其坐标分别为(3+3, 3+12）或(3-3, 1-32）或(2+2,-22）或2-2,22或9+332,5+33或9-332,5-33或1+172,3-17或1-172,3+17.15.【答案】 解：(1)由抛物线顶点C1,4，设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4，∵ 抛物线与y轴交于点D0,3，∴ a+4=3，解得a=-1，∴ 抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.(2)由(1)知，y=-x2+2x+3，令y=0，则-x2+2x+3=0，即(x+1)(x-3)=0，解得x1=-1，x2=3，∴ A(-1,0)，B(3,0)，∴ S△ABC=12×4×AB=12×4×4=8.(3)设点P的坐标为m,-m2+2m+3，直线AP的方程为y=kx+b，得k=3-a，b=3-a，所以直线方程为y=(3-m)x+3-m，∴ ON=3-m，∵ AB=4，∴ S△ABP=-2m2+4m+6.∵ ON=3-m，AO=1，∴ S△AON=3-m2，∴ S四边形OBMN=-2m2+4m+6-3-m2，∴ S△BOD=3×32=92，∴ S1-S2=[S△ABP-S△AON-S四边形OBMN] -[S△BOD-S四边形OBMN]=S△ABP-S△BOD-S△AON，即S1-S2=-2m2+4m+6-92-3-m2 =-2m2+92m.∵ -2<0，∴ S1-S2有最大值，当m=98时，其最大值为8132，∴ S1-S2的最大值为8132.
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