高中数学32均值不等式例题与探究素材新人教B版5.

第一篇：高中数学32均值不等式例题与探究素材新人教B版5.

3.2 均值不等式

典题精讲

例1 已知a、b、c是正实数，求证：

bcacab≥a+b+c.abc思路分析：由于要证的不等式两边都是三项,而我们掌握的均值不等式只有两项,所以可以考虑多次使用均值不等式.证明：∵a、b、c是正实数，∴

bcacbcacbcac=2c（当且仅当，即a=b时，取等号），2abababacabacabacab，即b=c时，取等号），22a（当且仅当bcbcbcbcababbcabbc，即a=c时，取等号）.2=2b（当且仅当accaca上面3个不等式相加,得

bcacab22≥2a+2b+2c（当且仅当a=b=c时，取等号）.abcbcacab∴≥a+b+c.abc2绿色通道：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，直接推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，其逻辑关系是AB1B2B3„Bn-1BnB.（条件）（结论）

其思路是“由因导果”，即从“已知”，推向已知的“性质”，从而逐步推向“未知”.变式训练 已知a,b,c都是正实数，且a+b+c=1.求证：3a23b23c233.思路分析：本题可看成求左边式子的最大值，把左边配成积的形式，同时对等号成立的条件进行估计.逐步探求不等式成立的必要条件(3a2)3，2(3b2)3同理,(3b2)3，2(3c2)3(3c2)3, 2证明:(3a2)3三个不等式相加，得

3(abc)69.21整理，得3a23b23c233（当且仅当a=b=c=时,等号成立）.3(3a2)3(3b2)3(3b2)3≤ 1 例2 x＜38时，求函数y=x+的最大值.22x38并不是定值,也不能保证是正值,2x3183所以,必须使用一些技巧进行变形.可以变为y=（2x-3）++,再求最值.22x3218332x83解：y=（2x-3）++=-（）+，22x32232x23∵当x＜时，3-2x＞0，2思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x·∴

32x8132x832x8=4，当且仅当，即x=-时,取等2232x2232x232x号.于是y≤-4+355=，故函数有最大值.222绿色通道：本题的关键是根据分母,对整式变形，从而凑出定值，同时要兼顾到正数的前提，当然本题也可作一个代换，如令3-2x=t，则t＞0，把y转化为关于t的函数，再求最值就显得简洁明了.变式训练1 已知x＞0，y＞0且5x+7y=20，求xy的最大值.思路分析：要注意均值不等式的正用和逆用，利用均值不等式求最值需三个条件：①正；②定；③相等.115x7y220()·5x·7y≤.35273510当且仅当5x=7y，即x=2，y=时取等号.720∴xy的最大值为.7解：xy=变式训练2 若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_____________.思路分析：本题的条件中同时存在和与积的形式,而所求的为积的范围，所以保留积的式子，把积放在不等式中去考察，方法是均值不等式放缩.或者利用函数法来解决.方法一：由ab=a+b+3≥2ab+3（等号成立条件为a=b），整理,得ab-2ab-3≥0，（ab-3）（ab+1）≥0.∴ab≥3，∴ab≥9.方法二：由ab=a+b+3，可得b=

a3a3（a＞0，b＞0），∴a＞1，又ab=a·=［（a-1）a1a1+1］a3a3a1444=（a+3）+=a-1+4+(a1)52(a1)59,a1a1a1a1a1等号成立条件为a-1=答案：［9，+∞)4，即a=3.a1 2 例3 求y=sinx2（0＜x＜π）的最小值.2sinx思路分析：在运用基本不等式求最值时，经常会出现不满足“正数、定值、等号”的情形，这就要求通过分类、换元、凑配等方法与技巧，使问题转化为符合基本不等式的模型，对于等号取不到的情形，常要讨论函数的单调性，再作出判断.本题的关键是等号取不到时，通过代换，转化为研究新的函数的单调性，再求得原来函数的最值.解：∵0＜x＜π，∴0＜sinx≤1.sinx1，t∈（0，］，则sinx=2t，22111∴y=t+（0＜t≤）.可证明函数y=t+, 2tt1当t∈（0，］时为减函数.21sinx1∴当t=，即=，sinx=1，x=时，2222155y有最小值2+=.∴ymin=.222设t=黑色陷阱：本题易忽略等号成立的条件,而得出错误的解法和答案:∵0＜x＜π，∴0＜sinx≤1.∴y=sinx2sinx2=2.∴ymin=2.22sinx2sinxx22xa变式训练 已知函数f（x）=，x∈［1，+∞).x（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值； 2（2）若对任意x∈［1，+∞)，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围.思路分析：把均值不等式与函数结合，是求函数最值的有效途径，（1）中当等号不成立时，通过研究函数的单调性求最小值.（2）中恒成立问题可转化为函数的最值问题，注意合理转化.（1）解：当a=112，时，f（x）=x22x7.2∵f（x）在区间［1，+∞）上为增函数，∴f（x）在区间［1，+∞）上的最小值为f（1）=

x22xa2（2）解法一：在区间［1，+∞）上，f（x）=＞0恒成立x+2x+a＞0恒成x立.2设y=x+2x+a，22则y=x+2x+a=（x+1）+a-1在x∈［1，+∞）上递增，∴当x=1时，ymin=3+a.于是只需3+a＞0时，函数f（x）恒成立，故a＞-3.3 解法二：f（x）=xa2，x∈［1，+∞），x当a≥0时，函数f（x）的值恒为正，当a＜0时，函数f（x）递增，故当x=1时，f（x）min=3+a，于是只需3+a＞0时，函数f（x）＞0恒成立，故a＞-3.x22xa2解法三：在区间［1，+∞)上,f（x）=＞0恒成立x+2x+a＞0恒成立a＞

x-x-2x恒成立.又∵x∈［1，+∞)，2∴a应大于u=-x-2x，x∈［1，+∞)的最大值, 2∴a＞-（x+1）+1，x=1时u取得最大值-3，∴a＞-3.32例4 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m，深为3 m，如果池底每1 m

2的造价为150元，池壁每1 m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元? 思路分析：利用均值不等式解决有关的应用题主要是建立数学模型,构造函数及定值,然后求最值,这里主要是建立造价的函数表达式.解：设水池底面一边的长度为x m，另一边的长度为d m，则d=又设水池总造价为y元.24800.3x48004800+120（2×3x+2×3×）33x16001600=240 000+720（x+）≥240 000+720×2x·=297 600，xx1600当且仅当x=，即x=40时，y取得最小值297 600.x根据题意，得y=150×答:水池底面一边长40 m时,总造价最低为297 600元.绿色通道：实际应用问题的求解方法：①建立目标函数；②求目标函数的最值.注意根据条件和要求的结论设变量.还要注意求最值时的三个条件.如果等号成立的条件不成立，则应该从函数的性质入手，考虑函数的单调性.2变式训练 设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm,画面的宽与高的比为λ(λ＜1),画面的上、下各留8 cm的空白，左、右各留5 cm的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［

23,］，那么λ为何值时，能使宣传34画所用纸张面积最小？

思路分析：建立数学模型，把问题转化为函数的最值问题来解决，主要是用均值不等式及函数的性质相结合求函数最小值.22解：设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx=4 840,设纸张面积为S cm,则S=(x+16)(λx+10)=λx+(16λ+10)x+160,将2

x=

2210代入上式,得S=5 000+4410(85),当85,即λ=

55(＜1)时,S取得最小值.此时高88 4 x=4840 =88 cm,宽λx=

5×88=55 cm.8如果λ∈［2323,］,可设≤λ1＜λ2≤,则由S的表达式,得 3434S(λ1)-S(λ2)=4410(81518252)4410(12)(8512).又12255,故8＞0.3812∴S(λ1)-S(λ2)＜0.23,］内单调递增.34232从而对于λ∈［,］,当λ=时，S(λ)取得最小值.343∴S(λ)在区间［答：画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小.如果要求λ∈［

232,］,当λ=343时，所用纸张面积最小.问题探究

问题 某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高.当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低.设住第n层楼时，环境不满意程度为第几层楼？

导思：解本题的关键是基本不等式的应用.探究：设不满意程度为y.由题意知，y=n+

8.则此人应选n8.n∵n+882n42.nn8,即n=22时取等号.n当且仅当n=但考虑到n∈N+，∴n≈2×1.414=2.828≈3.答：此人应选3楼，不满意度最低.5

第二篇：高中数学 一元二次不等式及其解法教案 新人教A版必修5

湖南省怀化市溆浦县第三中学人教版数学必修五321 一元二次不等

式及其解法 教案

课时安排 1课时 教学分析

学生在初中已经学习了一元一次不等式（组）和二次函数，对不等式的性质有了初步了解。从心理特征来说，高中阶段的学生逻辑思维较初中学生来说更加严密，抽象思维能力也有进一步提升，所以要更加注重其抽象思维的训练，因对于这个阶段的学生来说，一元二次不等式的学习有一定的基础和必要。结合新课标对本节课的要求，我将本节课的重点确定为：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法；难点确定为：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；掌握象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力；培养讨论的思想方法；培养抽象概括能力和逻辑思维能力；经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元次不等式的解法。激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

课题 §3.1一元二次不等式及其解法 教学目标

（一）知识与技能 掌握图象法解一元二次不等式的方法

（二）过程与方法 培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，（三）情感态度与价值观 激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，教学重点 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法 教学难点 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系 教学方法 合作探究、自学指导法 教具准备 多媒体课件 教学过程

一、导入新课

学校要在长为8,宽为6 的一块长方形地面上进行绿化,计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观,现要求草坪的种植面积超过总面积的一半,此时花卉带的宽度的取值范围是什么?

二、讲授新课

自主学习

1、阅读教材P84-P87

2、一元二次不等式的定义 象次不等式

合作探究

探究1：求一元二次不等式的解集。这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系

容易知道：二次方程的有两个实数根：，二次函数有两个零点：，于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。（2）观察图象，获得解集

画出二次函数的图象，如图，观察函数图象，可知：

； ； 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即当0

探究2：一般的一元二次不等式的解法

任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式 的解集是，从而解决了本节开始时提出的问题。，一般地，怎样确定一元二次不等式>0与

学生展示：

1、从上面的例子出发，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：(1)抛物线=0的根的情况

(2)抛物线

2、（1）抛物线 由一元二次方程 的开口方向，也就是a的符号

（a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以

=0的判别式

三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）

与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程<0的解集呢？

来确定.因此，要分二种情况讨论（2）a<0可以转化为a>0 分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式与<0的解集

3、一元二次不等式(学生完成课本第86页的表格)的解集： >0 教师精讲

例1(课本第87页)求不等式的解集.解：因为.所以，原不等式的解集是例2(课本第88页)解不等式解：整理，得因为所以不等式从而，原不等式的解集是 巩固提高

..无实数解，的解集是..课本第89的练习1（1）、（3）、（5）、（7）

四、布置作业

课本第89页习题3.2[A]组第1题

五、板书设计

§3.1一元二次不等式及其解法

学生练习例题1 课堂小结 例题2 布置作业

第三篇：高中数学 对数函数的教学与反思 新人教A版

《对数函数》的教学与反思

关于教育理论，我自己在大学学过一些教育理论，我在这里想结合加涅的信息加工理论，对我自己的《对数函数》这一节教学实录进行分析。下面包含了这六个方面的内容：学情分析、教材分析、教学目标、教学重难点、教学过程和教学反思（自我反思和师傅对我的点评）。1学情分析

刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。大多数学生处于既喜欢学习数学，又害怕学习数学的矛盾心理状态之中。最根本的心理障碍是解数学题有困难，他们感到听教师讲例题有劲，自己做题目苦恼!所以只依赖老师讲，不肯自觉做；对于学习方法，明知要着重理解，但还是习惯于独立地记忆，所以不能举一反三，触类旁通。2教材分析

对数函数是高中引进的第二个初等函数，是本章的重点内容。学生在前面的函数性质、指数函数学习的基础上，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解。由于以对数为基础的对数函数概念十分抽象，它是高中

阶段学生最不易掌握的函数类型，同时初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受y=logax(a>0且a≠0）a取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，进而探究学习对数函数的性质。

教学目标：(1)理解对数函数的概念，能正确画出对数函数的图象，知道对数函数的常用性质。

(2)能运用对数函数的性质比较两个对数式值的大小。

(3)通过对数函数图象及性质的探究，渗透化归、分类讨论以及数形结合的思想。

4教学重点和难点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质是本课的重点。难点是底数a对图象的影响及对数函数性质的灵活运用。5教学过程

·复习回顾

我们已经学习了指数和对数这两种运算，请同学们回顾指数幂运算和对数运算的定义，并说出这两种运算的本质区别。(学生思考并交流)·问题情境

引用细胞分裂和放射性物质的例子，师生交流，共同归纳总结，老师板书对数函数的定义。

设计意图：从生活实例引入，有利于激发学生的探究热情，提高学生将实际问题数学化的能力。通过从实际问题抽象出对数函数的一般形式，让学生感受从特殊到一般的数学思维方法，发展学生的抽象思维能力。

·合作探究

根据指数函数y=a与对数函数y=xlogax(a>0且a≠0)的定义域、值域之间的关系写 1

出对数函数的定义域及值域。

设计意图：通过旧知引入新知，有助于学生 同化新知识。

·新知运用

例1根据对数函数定义填空: 1)函数y = log05(4-x)的定义域是()2)函数ylog5-x定义域是()(其中a>0且a≠0)a 设计意图：本例主要考查对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理解，所以把教材中的解答题改为填空题（对教材例题的加工），使教学过程更紧凑。

·实验探究

1xy和ylog1x让学生画 教师给出两组函数:（1）y2和ylog（2）x；222x出它们的图象，观察、探究这两组图象之间的关系。学生可相互讨论、交流自己的结论。

教师利用PPT演示上述两组图象的形成过程，揭示它们之间的关系，再引导学生得出对数函数的定义域、值域、定点、单调性等基本性质(逐渐形成下表，明确底数a是确定对数函数的要素)。

┌─┬───────────┬──────────┐ │ │y=logax(a>1)│Y=logax(0

设计意图：注重引导学生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的形成过程，进一步体会函数作图的一般方法。同时，启发学生通过对数与指数的关系将对数函数的图象转化为指数函数的图象，体会数学知识间的相互联系以及转化的思想方法。拓宽学生探究的思路和方法，提高探究的效率和质量。教师还可通过信息技术增强学生的直观感受，发挥多元表征的作用。

·新知运用

例2比较下列各组数中两个值的大小:(1)log23，log2 3（2)log051 log052(3)log5，loga5.9

设计意图：通过运用对数函数的图象与性质解决一些简单的问题，促进学生对对数函数性质的掌握和理解，体会具体问题具体分析以及分类讨论的数学思想方法。

·回顾小结

通过本节课你还有什么问题或疑惑?生说师评。

·布置作业

书面作业:(1)(必做题)课本第70页习题第2,3题;(2)(思考题)已知函数f(x)= 2log（，若定义域为R，求实数a的取值范围;若值域为R，求实数a的取值范x-2ax3）2围。

探究作业:对数函数y = log2x二与y = log1X之间存在什么关系?进而研究函数y=f(x)

2与函数y=-f(x)图象之间的关系。

设计意图:设置思考与探究作业的目的是加强新旧知识间的联系，有利于将新知顺利地嵌入到已有的知识网络中。

6教学反思

函数是高中数学的主线，对数函数是高中数学的难点之一，为了调动学生学习的积极性，本课从实例出发，启发引导学生得到对数函数的定义。在概念理解上，通过步步设问、课堂讨论来加深理解。先让学生亲自动手画两个图象，教师再借助电脑，通过描点作图，演示作图过程及图象变化的动画过程；再引导学生说出图象特征及变化规律，从而得出对数函数的性质，提高学生的形数结合的能力。本课充分体现了“教师为主导，学生为主体”的教学原则。

听课点评(杨萌整理): 师傅任老师首先肯定我的语言表达相当清晰。但板书中，对数中的底数的位置应该下移一些，避免学生的误解。（板书的注意）任老师认为教科书中细胞分裂的例子对于对数而言是可以的，但是对于对数函数是不合适的。虽然学生不一定会认识到有问题存在，但作为教师应该要斟酌。

任老师还指出，如果在上课时强调了对数函数的单调性与底数a有关，问题就可以减少很多。而且还应该讲出为什么要学习对数函数，渗透变换的思想；师傅还说应该告诉学生研究函数图象及性质的目的，是为了不用每次比较大小都要画图象。应该告诉学生单调性不能靠眼睛看出来，它是有严格的定义的，在以后的学习中会解决，这样才能使学生形成正确的数学观。

在教学临场处理上，师傅肯定了我老师不急于否定学生的做法，用例子分析求函数定义域时不能将函数变形，因为变形不一定等价。

在计算机课件的制作上，师傅特别强调，课件要自然，要能根据学生的回答现场操作，不建议使用PPT制作数学课件。

第四篇：高中数学《条件语句》文字素材4 新人教B版必修3

必修3“条件语句”的教学实践与反思

一、教材分析

1、教学内容的地位和作用

算法是设计高中数学课程的一条主线，程序是由若干算法语句组成的有序集合。“算法语句”是继“程序框图”之后学习的内容，是解决某一个（或某一类）问题的算法的程序实现。在此之前，学生已学习了算法的概念、程序框图与算法的基本逻辑结构、输入语句、输出语句和赋值语句,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。对于顺序结构的算法或程序框图，我们可以利用输入语句、输出语句和赋值语句，写出其计算机程序，对于条件结构的算法或程序框图，要转化为计算机能够理解的算法语句，我们必须进一步学习条件语句。条件语句与程序框图中的条件结构相对应，它是五种基本算法语句中的一种,通过本节课的学习，学生将更加了解算法语句，并能用更全面的眼光看待前面学过的语句，并为以后的学习作好必要的准备。本节课对学生算法语言能力、有条理的思考与清晰地表达的能力，逻辑思维能力的综合提升具有重要作用。

学习算法的目的，不是学习程序设计语言，而是体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，算法学习能够帮助学生清晰思考问题，提高逻辑思维能力；有助于学生全面的理解运算；有助于提高学生的信息素养。《新课标》要求学生“经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句----输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。

2、教学重点和难点

重点：条件语句的基本格式、种类以及应用，与条件结构的关系 难点：条件语句的应用，会编写程序中的条件语句.二、目标分析

1、知识与技能

知识目标：理解基本算法语句---条件语句，以及与条件结构的关系，初步体验如何由程序框图转化为程序语句。

条件语句的两种形式如下：

IF 条件

THEN

IF 条件

THEN

语句体1

ELSE

语句体

语句体2

END IF

END IF

能力目标：通过条件语句的学习，了解条件语句在解决问题中的应用，进一步体会算法的基本思想。

2、过程与方法

采用“案例教学“，从具体的学生熟悉的实例出发，在具体的情境中，教师启发引导、讲练结合，螺旋上升的方式，实现教学目标。

3、情感、态度与价值观

通过生活中的一些具体问题的解决，培养学生对设计算法的浓厚兴趣，激发学生的求知欲，锻炼学生解决问题的能力，进而增强学生的成就感。

三、教学过程

1、创设情境，提出问题

问题1：黄岩火车站快要开始营业了

规定：火车托运p(kg)行李时每千米的费用（单位：元）标准为

用心

爱心

专心 0.3pp30kg y0.3300.5(p30)p30kg请设计算法，并画出行李托运费的程序框图

[设计意图]问题是数学的心脏，数学教学应当从问题开始，以实际应用问题作为情境，激发学生的学习热情，引发学生的学习动机，通过问题展开教学活动，引导学生主动进入新知识。

2、解决问题

(1)探讨条件结构的特点

以学生所画的程序框图为例，概括条件结构的特点，并与顺序结构进行比较，得出如下结论：条件结构的特点是有一个判断过程，如果满足条件就执行某种操作，否则执行其他操作，执行到哪一步，需要根据条件作出选择。(2)引入新知识，学习条件语句

算法中的条件结构可以用条件语句来实现，其一般格式与对应的程序框图（书p10）如下： IF 条件

THEN

IF 条件

THEN

语句体1

ELSE

语句体

语句体2 END IF

END IF

[学生活动]：书翻到第10页，把条件结构对应的两种程序框图写出条件语句（运用新知）(3)解决问题1 [学生活动]：根据问题1所画的程序框图以及原先学过的输入、输出、赋值语句，编写程序，同时教师随机让两名学生板演：

INPUT

p

IF p<=30 THEN

y=0.3p

ELSE

y=0.3300.5(p30)

END IF

PRINT y

END [教师小结]在应用条件语句编程时要注意以下几点：

① 条件的判断与执行语句的顺序（首先对IF后的条件进行判断，如果（IF）条件符合，那么（IHEN）执行语句体1，否则（ELSE）执行语句体2。② IF与END IF要配对使用，不能只用其一。

③ 区分END IF与END的区别，前者是结束条件语句，后者是结束整个程序。

④ 编写程序时注意不要漏掉一些条件的结束语句，特别是条件语句比较多的时候，因此书写的时候可由里向外将每个条件结构错开位置。

3、简单应用（随堂练习）

练习1：将p11图1.110中的程序框图转化为程序

问题2：阅读下面的程序，你能得出什么结论？

① IF x>0 THEN ② TNPUT x

用心

爱心

专心 y=1 IF x<0 THEN ELSE x=-x y=0 END IF END IF PRINT x END [设计意图]：使学生进一步认识条件语句，熟悉条件结构与条件语句的互化，进一步体会赋值语句、条件语句，而且还能锻炼学生阅读程序的能力。

问题3：编写一个程序，求实数x的绝对值

[设计意图]：不仅是为了应用条件语句，而且再次提供了完整经历算法设计全过程的机会。

3、深入探究，条件语句的深层应用

问题4：将p12图1.111求解一元二次方程axbxc0的算法的程序框图转化为程序 算法分析：观察程序框图可以发现，此题并不简单，原因是框图中包含了两个条件结构，而且内层的条件结构是外层的条件结构的一个分支，属于多层结构的嵌套问题。[设计意图]：本例所设计的算法本质是“公式法”。是给出框图之后，进而用条件语句来编写程序。先给学生留有足够的空间，放手让他们去探索，若有困难，老师加以分析、提醒，如算术平方根的符号为SQR等等，再补充几个比较常见的函数及功能，如ABS是x的绝对值，LOG是x取自然对数，它们都是QBASIC中的标准函数，可以直接应用，另外再补充QBASIC中常用的算术运算符，如,/,，MOD，分别表示乘，除，不等，余数，整除。[教师小结]：对于两个条件结构嵌套的一般格式如下： TF 条件1 THEN 语句体1 IF 条件2 THEN 语句体2 ELSE 语句体3 END IF ELSE 语句体4 END IF 问题5：编写一个程序，输入两个实数，并由大到小输出这两个数。

[设计意图]：进一步认识算法的程序，并学习一些编程的小技巧，进而完成三个数的问题。算法分析：这是一道典型的可用条件结构的算法问题，设计的思路和问题3相似，完整地经历了先用自然语言写出算法步骤，接着画出程序框图，最后把程序框图转化为程序的全过程。本例的程序中使用的“小技巧”是借助一个中间变量“t”来交换两个变量的值

INPUT “a，b=”；a，b IF b>a THEN

t=a

a=b

b=t END IF

PRINT a，b END

用心

爱心

专心

2变式：编写程序，使任意输入的3个整数按从大到小的顺序输出。

[教师小结]：这个算法编程时主要是重复用到变量的交换，这是程序的关键之处。基本思想是先将a与b比较，把小者赋给b，大者赋给a；再将a与c比较，把小者赋给c，大者赋给a,此时a已是三者中最大；最后将b与c比较，大者赋给b小者赋给c，a、b、c就按大到小的顺序排列了。

推广：编写程序，使任意输入的n(n是正整数)个整数按从大到小的顺序输出。（生讲思路）[设计意图]：让学生学会思考，理解知识间的联系，学会举一反三。练习2：

（1）读程序,说明程序的运行过程: INPUT “Please input an integer:”;x IF 9

(3)闰年是指能被4整除但不能被100整除,或者能被400整除的年份,编写一个程序,判断输入的年份是否为闰年? [设计意图]：体现学习是再创造。学习不再看成是一种被动地吸收知识，通过反复练习强化储存知识的过程，而是用学生原有的知识处理新的任务，并构建他们自己的意义。

4、归纳小结，启发创新

问题6：通过本节课的学习，你学到了什么知识？

课后作业：设置一个含嵌套结构的问题，画出程序框图，编制相应的程序，准备交流。[设计意图]：让学生进一步体验条件结构及条件语句的特征。同时，引导学生把学习的知识与实际问题相结合，体现学以致用的道理。

四、几点反思

1、本节课主要学习了条件语句的结构、特点、作用以及用法，并能解决一些简单的问题。条件语句一般用在对条件进行判断的算法设计中，如判断一个数的正负，确定两个数的大小，解一元二次方程等问题，还有求分段函数的函数值等，往往要用条件语句，有时甚至要用到条件语句的嵌套。

2、本节课算法教学采用“问题教学”，从具体的学生熟悉的实例出发（问题1），创设情境，结合原有的知识，让学生体会条件结构的特征；紧接着通过练习

1、问题

2、问题3，环环相扣，激发学生的兴趣，发挥学生学习的主动性，使学生进一步认识、理解条件语句，熟悉条件结构与条件语句的互化，进一步体会赋值语句、条件语句，而且还能锻炼学生阅读程序的能力；然后通过问题4引出多重结构嵌套，深化对条件结构的认识；最后通过问题5以及变式与推广，进一步认识算法的程序，并学习一些编程的小技巧，让学生学会思考，理解知识间的联系，学会举一反三。

这样的教学路线，使得学生在环环相扣的问题探究过程中，既有行动上的参与，更让学生养成独立思考，积极探索的好习惯。也正因为这样，高中数学课程设立“数学探究”“数

用心

爱心

专心 学建模”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利条件，以激发学生的数学学习兴趣。

3、条件语句是算法中的一个知识点，而算法本来属于信息技术的内容，信息技术和数学课程内容的整合成为课程标准制定的一个基本理念。高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算训练的前提下，尽可能使用科学型计算器，各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。而我们这边的学生使用的都是一般的计算器，只有计算功能，没有绘制功能，所有算法相应的程序语句是否可行、可靠？根本无法验证，仍然是“纸上谈兵”。对程序框图的可行性缺乏验证，会缺乏真实感的信任，会在一定程度上降低学生的兴趣、参与的激情，课堂上如有机会，我们老师尽量通过计算机来验证，不过效果不是很好，这是教学中令人非常遗憾的地方，希望在不久的将来能够得到改善。

用心

爱心

专心 5

第五篇：二次函数与一元二次方程、不等式教案 新人教A版必修第一册

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式

【素养目标】

1．理解一元二次方程与二次函数的关系．(数学抽象)

2．掌握图象法解一元二次不等式．(直观想象)

3．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(数学抽象)

4．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．(数学运算)

5．会用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式．(逻辑推理)

6．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(数学运算)

【学法解读】

在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的学习中，可以先以讨论具体的一元二次函数变化情况为情境，使学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系，引出一元二次不等式的概念；然后进一步探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，归纳总结出用一元二次函数解一元二次不等式的程序．

2.3.1  二次函数与一元二次方程、不等式

一、必备知识·探新知

基础知识

知识点1：一元二次不等式的概念

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________________.一元二次不等式的一般形式是：

_________________________或_________________________.知识点2：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

思考2：如何用图解法解一元二次不等式？

提示：图解法解一元二次不等式的一般步骤：

(1)将原不等式化为标准形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a>0)；

(2)求Δ＝b2－4ac；

(3)若Δ<0，根据二次函数的图象直接写出解集；

(4)若Δ≥0，求出对应方程的根，画出对应二次函数的图象，写出解集．

基础自测

1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)

(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．()

(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.()

(3)设二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2，且x10的解集不可能为{x|x1

(4)不等式ax2＋bx＋c≤0(a≠0)或ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集为空集，则方程ax2＋bx＋c＝0无实根．()

[解析]

(1)当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．

(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根．则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅.(3)当二次项系数小于0时，不等式f(x)>0的解集为{x|x1

(4)当Δ<0时，一元二次不等式的解集为空集，此时方程无实根．

2．不等式2x≤x2＋1的解集为()

A．∅　　　　　　　  B．R

C．{x|x≠1}  D．{x|x>1或x<－1}

[解析]　将不等式2x≤x2＋1化为x2－2x＋1≥0，∴(x－1)2≥0，∴解集为R，故选B．

3．不等式(2x－5)(x＋3)<0的解集为_____________________.二、关键能力·攻重难

题型探究

题型一　解一元二次不等式

例题1：解下列不等式．

(1)2x2－3x－2>0；

(2)x2－4x＋4>0；

(3)－x2＋2x－3<0；

(4)－3x2＋5x－2>0.[分析]　根据三个二次之间的关系求解即可．

[归纳提升]　解一元二次不等式的步骤

(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式．

(2)计算相应的判别式．

(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．

(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．

【对点练习】❶ 不等式6x2＋x－2≤0的解集为______________________.题型二　三个“二次”的关系

例题2：已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1

[分析]　给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和方程ax2－bx＋2＝0的两根，由根与系数的关系可求a，b的值．

【对点练习】❷ 若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．

题型三　解含有参数的一元二次不等式

例题3：解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0.[分析]　二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．

②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．

③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}．

④当－4

(1)关于不等式类型的讨论：二次项的系数a>0，a＝0，a<0；

(2)关于不等式对应方程的根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)；

(3)关于不等式对应方程的根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x10.WORD模版

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