对一道国外数学竞赛试题的简洁证明与命题的推广

第一篇：对一道国外数学竞赛试题的简洁证明与命题的推广

对一道国外数学竞赛试题的简洁证明与命题的推广

深圳市蛇口中学王远征（518067）

试题：已知任意实数x,y满足0

求证：

11x

x1,0y1，

11y



21xy

（第19届莫斯科数学奥林匹克试题）

证明：因为0x1,0y1，所以0x21,0y21，把

11x

2,11y

分别看作是首项为1，公比分别是x2,y2的两个等比数列的和。

于是逆用无穷递缩等比数列的求和公式与基本不等式定理（若

a,bR,则ab

2ab）得：

2n

11x



11y

1xxxx



1yyyy

2n



y

2462n





2xy

x

y

x

y

x

n

n

2n



22xy2xy2xy2xy

21xy

对该命题进行推广可得到一批和谐优美的不等式。由二元推广到多元，由二次推广到高次得如下命题： 命题1。如果0ai1，i1,2,3,,n,n,mN，那么：

n

1a

i1

mi

1

n

n

mni

a

i1

n

证明：因为0ai1，所以0a

n

mi

1，0

a

i1

i

1

1a

i1

mi

1a1a1



m2m

a1

3m

1a2a2

m



m2m

a2

3m

1anan



m2m

an

3m





na1a2an

n

m

n



mm

a

2mn

2m1

a2

2m

an

2m

a

3m1

a2

3m

an

3m



nn(ai)nn(ai)

i1

i1



1

n

n

mni

a

i1

特别地，当mn时，有：

命题2。如果0ai1，i1,2,3,,n,n,mN，那么：

n

1a

i1

ni

1

n

n

i

a

i1

对偶地，发现还有如下几个正确的命题。

命题3。如果任意实数x,y满足0x1,0y1，11x

那么：

11y



21xy

（1）

证明：事实上不等式（1）等价于

21xy



2xy

1xyxy

21xyxy



2222

1xyx

y20



xy1xy0此不等式显然成立。故不等式（1）成立。

根据如下定理：

如果正值函数fx在1n

n



R+上有意义，且对任意的xiR，那么：



i1



fxif

n



i1

xi 

可得命题1的对偶命题：

n

命题4。如果0ai1，i1,2,3,,n,n,mN，那么：

i1

11a

mi

1

n

n

mni

a

i1

Sunday, April 27, 2003

第二篇：初中数学命题与证明

命题与证明

一、选择题

1、（2012年上海黄浦二模）下列命题中，假命题是（）

A．一组邻边相等的平行四边形是菱形；

B．一组邻边相等的矩形是正方形；

C．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形；

D．一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形.答案：C2、(2012温州市泰顺九校模拟)下列命题，正确的是()

A.如果｜a｜=｜b｜，那么a=b

B.等腰梯形的对角线互相垂直

C.顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形

D.相等的圆周角所对的弧相等

答案：C

3（2012年中考数学新编及改编题试卷）下列语句中，属于命题的是（）．．

(A)作线段的垂直平分线(B)等角的补角相等吗

(C)平行四边形是轴对称图形(D)用三条线段去拼成一个三角形

答案：C4、（2012年上海市黄浦二模）下列命题中，假命题是(▲)

A．一组邻边相等的平行四边形是菱形；

B．一组邻边相等的矩形是正方形；

C．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形；

D．一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形.答案：C5、（2012年上海金山区中考模拟）在下列命题中，真命题是……………………………………………………………………………………………（）

（A）两条对角线相等的四边形是矩形

（B）两条对角线互相垂直的四边形是菱形

（C）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

（D）两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

答案：C

二、填空题

1、三、解答题

1．（2012年江苏海安县质量与反馈）已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．

⑴求证：点D是AB的中点；

⑵证明DE是⊙O的切线．

答案：22．（1）略;（2）略．

2.（2012年江苏通州兴仁中学一模）如图，在□ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．

E C

答案：由□ABCD得AB∥CD，∴∠CDF=∠F，∠CBF=∠C．

又∵E为BC的中点，∴△DEC≌△FEB．

∴DC=FB．

由□ABCD得AB=CD，∵DC=FB，AB=CD，∴AB=BF．

3、（盐城地区2011～2012学适应性训练）（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，点A、C、D在⊙O上，过D作PF∥AC交⊙O于F、交AB于E，且∠BPF=∠ADC.（1）判断直线BP和⊙O的位置关系，并说明你的理由；

（2）当⊙O5，AC=2，BE=1时，求BP的长.(1)直线BP和⊙O相切.……1分

理由：连接BC,∵AB是⊙O直径,∴∠ACB=90°.……2分

∵PF∥AC,∴BC⊥PF, 则∠PBH+∠BPF=90°.……3分

P

∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,得AB⊥BP,……4分

所以直线BP和⊙O相切.……5分

(2)由已知，得∠ACB=90°,∵AC=2,AB=25,∴BC=4.……6分

∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,∴∠BPF=∠ABC,由(1),得∠ABP=∠ACB=90°,∴△ACB∽△EBP,……8分

∴ACBC解得BP=2.即BP的长为2.……10分 BEBP

4.（盐城市第一初级中学2011～2012学年期中考试）（本题满分10分）如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于P点，CP交⊙O于D；

（1）求证：AP=AC；

（2）若AC=3，求PC的长．

答案（1）证明过程略；（5分）

（2）3

35(徐州市2012年模拟)（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BECF，AFDE．

求证：（1）△ABF≌△DCE；

（2）四边形ABCD是矩形． A D

B C E F

（第21题）答案：解：（1）BECF，BFBEEF，CECFEF，······························· 1分 BFCE．

四边形ABCD是平行四边形，ABDC． ······························ 2分 在△ABF和△DCE中，ABDC，BFCE，AFDE，△ABF≌△DCE． ··························· 3分

△ABF≌△DCE，（2）解法一：

BC． ······························ 4分 四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD．

BC180．

BC90． ···························· 5分

·························· 6分 四边形ABCD是矩形．

解法二：连接AC，DB．

△ABF≌△DCE，AFBDEC．

AFCDEB． ··························· 4分 在△AFC和△DEB中，AFDE，AFCDEB，CFBE，△AFC≌△DEB．

ACDB． ······························ 5分 四边形ABCD是平行四边形，·························· 6分 四边形ABCD是矩形．

6.（盐城地区2011～2012学适应性训练）（本题满分12分）如图,△AEF中,∠

EAF=45°,AG⊥EF于点G,现将△AEG沿AE折叠得到△AEB,将△AFG沿AF折叠得到△AFD,延长BE和DF相交于点C．

(1)求证：四边形ABCD是正方形；

(2)连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．(3)若EG=4，GF=6，BM2，求AG、MN的长．

AHBENFDC(1)由∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,得矩形ABCD,……2分

由AB=AD，得四边形ABCD是正方形.……3分

222(2)MN=ND+DH.……4分

理由：连接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABD=45°, ∴∠NDH=90°,……6分

再证△AMN≌△AHN，得MN=NH，……7分

222∴MN=ND+DH.……8分

(3)设AG=x，则EC=x-4,CF=x-6,22由Rt△ECF，得(x-4)+(x-6)=100,x1=12,x2=-2(舍去)∴AG=12.……10分

由AG=AB=AD=12,得BD=122,∴MD=92,222设NH=y,由Rt△NHD,得y=(92-y)2),y=52,即MN=52.……12分

7.（盐城地区2011～2012学适应性训练）(本题满分8分)如图，已知E、F分别是□

ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．

(1)求证：四边形AECF是平行四边形；

(2)若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．

AFD

BEC

证：（1）由□ABCD，得AD=BC,AD∥BC.……2分

由BE=DF,得AF=CE, ∴AF=CE,AF∥CE.……3分

∴四边形AECF是平行四边形；

（2）由菱形AECF,得AE=EC，∴∠EAC=∠ACE.由∠BAC=90°，得∠BAE=∠B，∴AE=EB.∴BE=AE=EC，BE=5.……4分 ……5分 ……7分 ……8分

第三篇：初二数学讲义命题与证明

初二数学讲义（5）证明（3）

一、选择题（每题3分）

1.下列语句：①若直线a∥b，b∥c，则a∥c；②生活在水里的动物是鱼；③作两条相交直线；④AB＝3，CD＝3，问AB与CD相等吗？④连结A，B两点； ⑤内错角不相等，两直线不平行。是命题的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个 2.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（）

A.垂直B.两条直线C.同一条直线D.两条直线垂直于同一条直线

3.下列各组所述几何图形中，一定全等的是（）A.一个角是45°的两个等腰三角形

B.腰长相等的两个等腰直角三角形C.两个等边三角形D.各有一个角是40°，腰 长都为5㎝的两个等腰三角形

4.若三角形的三个外角的度数之比为2：3：4，则与之对应的三个内角的度数之比为„（）

A.4：3：2B.3：2：4C.5：3：1D.3：1：

55．如图，如果AB∥CD，那么角α，β，γ之间的关系式为（）

A.α+β+γ=360°B.α-β+γ=180°C.α+β+γ=180°D.α+β-γ=180°

6．已知，如图，在△ABC中，AB=AC，P是BC上任意一点，连结AP，则AC2AP2（）A.CPBPB.CPBCC.BPBCD.以上都不对

二、填空题（每题3分）

7．如图，若AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F,EP与EFD的平分线相交于点P，且EFD60，EPFP，则BEP

8．若一个三角形的外角平分线与三角形的一边平行，则这个三角形是三角形.9.用反证法证明“三角形三个内角中至少有两个锐角”时应首先假设.10.如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝__________.11.把命题“在同一个三角形中，等角对等边”改写成“如

果„„那么„„”的形式：.12.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若CAD=76°，则CBD度．

三、解答题：

13．如图，在RtABC中，∠

ACB＝90，AC=BC,D是斜边AB上的一点, AE⊥CD于E,BF⊥CD交

CD的延长线于F.求证：

ACE≌CBF.14．如图，点B在AC上，△ABE与△DBC是等

边三角形，M、N分别是AD、BC的中点，求证：△BMN是等边三角形．E

ABC

15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、P分别在边AC、AB上，且BD＝AD，PE⊥BD，PF⊥AD，垂足分别为点E、F．求证：PE＋PF＝BC．

A

EB

16.已知如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的角平分线，BH是∠ABC的平分线,∠BAC=58°.①求∠BHC.②求∠CAH

17．在△ABC中，AD平分∠BAC，DE＝DC，AC＝EF．求证：EF∥AB．A

F

CBED

18.如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．

19．已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，EP=3,求EF的值，20．操作：在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点.图①，②，③是旋转三角板得到的图形中的3种情况.三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？请

选择图②、图③中的一个加以证明.A

DC

AP

P

EB C①②

21．用反证法证明：设a，b，c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc，y=b2-ca，z=c2-ab.求证：x，y，z中至少有一个大于零

E

B

D

第四篇：初一数学命题、定理与证明练习

智立方教育初一数学“命题、定理与证明”练习

1、判断下列语句是不是命题

（1）延长线段AB（不是）

（2）两条直线相交，只有一交点（是）

（3）画线段AB的中点（不是）

（4）若|x|=2，则x=2（是）

（5）角平分线是一条射线（是）

2、选择题

（1）下列语句不是命题的是（C）

A、两点之间，线段最短B、不平行的两条直线有一个交点

C、x与y的和等于0吗？D、对顶角不相等。

（2）下列命题中真命题是（C）

A、两个锐角之和为钝角B、两个锐角之和为锐角

C、钝角大于它的补角D、锐角小于它的余角

（3）命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等。其中假命题有（B）

A、1个B、2个C、3个D、4个

3、分别指出下列各命题的题设和结论。

（1）如果a∥b，b∥c，那么a∥c

（2）同旁内角互补，两直线平行。

（1）题设：a∥b，b∥c结论：a∥c

（2）题设：两条直线被第三条直线所截的同旁内角互补。

结论：这两条直线平行。

4、分别把下列命题写成“如果„„，那么„„”的形式。

（1）两点确定一条直线；

（2）等角的补角相等；

（3）内错角相等。E

C（1）如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线 D（2）如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等。

（3）如果两个角是内错角，那么这两个角相等。

5、已知：如图AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，求证：BE∥CF

证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）

∴∠ABC=∠BCD=90°（垂直定义）

∵∠1=∠2（已知）

∴∠EBC=∠BCF（等式性质）∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）

6、已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角。求证：∠ACD=∠B。

证明：∵AC⊥BC（已知）

A D∴∠ACB=90°（垂直定义）

∴∠BCD是∠DCA的余角

∵∠BCD是∠B的余角（已知）∴∠ACD=∠B（余角定义，同角的余角相等）；

7、已知，如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4。求证：AD∥BE。

D

证明：∵AB∥CD（已知）∴∠4=∠BAE（两直线平行同位角相等）∵∠3=∠4（已知）

∴∠3=∠BAE（等量代换）∵∠1=∠2（已知）C E

∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等式性质）即∠BAE=∠CAD∴∠3=∠CAD（等量代换）

∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）

8、已知，如图，AB∥CD，∠EAB+∠FDC=180°。F

求证：AE∥FD。

B

证明：∵AB∥CD

D

∴∠AGD+∠FDC=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠EAB+∠FDC=180°（已知）∴∠AGD=∠EAB（同角的补角相等）∴AE∥FD（内错角相等，两直线平行）

9、已知：如图，DC∥AB，∠1+∠A=90°。

求证：AD⊥DB。证明：∵DC∥AB（已知）

B

∴∠A+∠ADC=180°（两直线平行，同旁内角互补）即∠A+∠ADB+∠1=180°∵∠1+∠A=90°（已知）∴∠ADB=90°（等式性质）∴AD⊥DB（垂直定义）

10、如图，已知AC∥DE，∠1=∠2。求证：AB∥CD。

证明：∵AC∥DE（已知）

∴∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2（已知）

∴∠1=∠ACD（等量代换）

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

11、已知，如图，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D。求证：BE⊥DE。

B

C

EB

D、证明：作EF∥AB∵AB∥CD B

∴∠B=∠3（两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠B（已知）

∴∠1=∠3（等量代换）

D∵AB∥EF，AB∥（已作，已知）

∴EF∥CD（平行于同一直线的两直线平行）∴∠4=∠D（两直线平行，内错角相等）∵∠2=∠D（已知）∴∠2=∠4（等量代换）

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角定义）∴∠3+∠4=90°（等量代换、等式性质）即∠BED=90°

∴BE⊥ED（垂直定义）

12、求证：两条平行直线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行。已知：AB∥CD，EG、FR分别是∠BEF、∠EFC的平分线。求证：EG∥FR。

B 证明：∵AB∥CD（已知）

1∴∠BEF=∠EFC（两直线平行，内错角相等）G

∵EG、FR分别是∠BEF、∠EFC的平分线（已知）F

∴2∠1=∠BEF，2∠2=∠EFC（角平分线定义）∴2∠1=2∠2（等量代换）∴∠1=∠2（等式性质）

∴EG∥FR（内错角相等，两直线平行）

13、如图，点E在DF上，点B在AC上，∠1=∠2，∠C=∠D． 试说明：∠A=∠F．

考点：平行线的判定与性质． 专题：证明题．

分析：先根据对顶角相等结合∠1=∠2推出∠3=∠4，然后根据内错角相等，两直线平行证明BD∥CE，再根据两直线平行，同位角相等得到∠5=∠C，从而推出∠5=∠D，再根据内错角相等，两直线平行证明AC∥DF，然后根据两直线平行，内错角相等即可得证．

解答：∴∠3=∠4，∴BD∥CE，∴∠5=∠C，∵∠C=∠D，∴∠5=∠D，∴AC∥DF，∴∠A=∠F．

证明：如图，∵∠1=∠3，∠2=∠4，∠1=∠2，

第五篇：对高考数学“两角和公式的证明”命题的思考

对高考数学“两角和公式的证明”命题的思考 今年的高考数学命题，让我们所有数学教师和学生不得不对数学考试大纲和新教材的学习方法重新审视。现将我的心得体会分述如下。

一，教师教学方式的转变。

传统教学是注入式教学，基本方式是“输入信息——反馈信息——补充和纠正信息”。“两角和公式的证明”的推导，基本上都是由教师来完成的，学生作为被动的、重视的听众。将公式背下来，会利用其解题就可以了。未经自己分析、概括、比较，对知识缺乏深入理解和领会。结果是：学生对数学知识记不牢，更不能灵活运用。

而新课程改革方案明确提出：有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、合作交流与自主探究是学生学习数学的重要方式。而今年高考命题思维的转变，是对新课程改革的最好诠释。教师应该换主动权与学生。

二，学生学习方式的转变。

课堂教学中教师应致力于探索激发学生学习兴趣的课堂形式，创设真实的问题情境，提供学生探索与交流的时间与空间。反对过去僵化的为“高分”而解题，反对题海战术。学生应在学习活动中，培养自己的创新精神和实践能力。让学生的学习成为“研究性学习”的模式。构建一个以情景为基础，提出问题与解决问题相互引发共同并进的“情景——问题”学习链。

三，教学理念的转变。

新课程标准要求学生真正成为课堂的主人，成为知识的“发现者”的“创造者”。使教学过程成为学生主动获取知识、启迪智慧、发展能力、体验数学的过程。教师成为学生学习的合作者、引导者，教师与学生是平等的关系。高考命题的转变，对我们提出了新的要求，立足新课标，认真钻研教材，探索新方法。

四，教学过程设计的转变。

在我今后的教学“两角和公式的证明”时，我想应该做到以下几点。1，创设学生生活中熟悉而感兴趣的数学情境。2，启发学生将现实问题转化、抽象、概括成数学问题。3，学生为了解决提出的数学问题，自主探索、合作交流、估算猜测，教师启发诱导，师生共同归纳总结。4，在“师生”与“生生”双边互动中，展示学生的数学思维建构的过程。培养学生推理、证明的能力。5，让学生用自己“发明”的“两角和的公式”来解决相关问题。体验数学来源于生活，又服务于生活的道理。

五，教学课堂的转变。

传统的教学课堂，要求“堂堂清”，对本堂课的知识点、内容完全掌握是最高境界。而新课程标准要求，学生不能仅仅停留在课堂的探索上。而要引导学生课后继续探究，把课堂延伸到课外。两角和的公式探索方法很多。可以利用单位圆中的三角函数线，可以利用不同角度探索公式„„这些探索证明方法的建构，都有着丰富的数学思想方法。让学生产生“欲罢不能”的求知欲望，惊声振奋地投入学习。从而使其获得良好的学习效果。

总之，高考命题思路的转变，对新课程改革的促进是一个良好开端。教师在今后的教学中就可以大胆实践，而没有后顾之忧。教师大胆的激发学生学习积极性，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。